二次函数在高考的考点

聂炜艺

二次函数是初中所学的知识，但高中继续深入学习，在高考中经常涉及，是中学阶段的一个重要函数.通常要求学生掌握二次函数的概念、解析式、图像及性质，能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件，能求二次函数的区间最值.

一般来说，高考所出的题型包括以下三类：

1.求二次函数的解析式

例1 已知二次函数的对称轴为x=-2，截x轴上的弦长为4，且过点（0，-1），求函数的解析式.

解 ∵二次函数的对称轴为x=-2，

设所求函数为f（x）=a（x+2）2+b，

又∵f（x）截x轴上的弦长为4，

∴f（x）过点（-2+2，0）.

f（x）又过点（0，-1），

∴4a+b=0，

2a+b=-1，a=12，

b=-2.

∴f（x）=12（x+2）2-2.

总结：求二次函数的解析式时，要根据条件选择不同的形式.

2.讨论二次函数的区间根的分布

这类问题的情况比较多，在考试时很少单独出题，数形结合是处理本类题目的重要思想方法.

例2 已知函数f（x）=x2-（2a-1）x+a2-2与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围.

解法一 由题知关于x的方程x2-（2a-1）x+a2-2=0至少有一个非负实根，设根为x1，x2，

则x1x2≤0或Δ≥0

x1x2>0

x1+x2>0，得-2≤a≤94.

解法二 由题知f（0）≤0或f（0）>0

--（2a-1）2>0

Δ≥0，得

-2≤a≤94.

总结：二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.

3.讨论二次函数的区间单调性与最值问题

例3 函数y=x2+bx+c （x∈[0，+∞））是单调函数的充要条件是（ ）.

A.b≥0 B.b≤0 C.b>0 D.b<0

分析 对称轴x=-b2.

∵函数y=x2+bx+c（x∈[0，+∞）是单调函数，

∴对称轴x=-b2在区间[0，+∞）的左边，即-b2≤0，得b≥0.

因此选A.

设f（x）=ax2+bx+c=0（a>0），则二次函数在闭区间m，n上的最大、最小值有如下的分布情况：

m

m<-b2a

即-b2a∈[m，n]

-b2a

圖

像f（x）=ax2+bx+c

=0（a>0）

f（x）=ax2+bx+c

=0（a>0）

f（x）=ax2+bx+c

=0（a>0）

最大、

最小值f（x）max=f（m）

f（x）min=f（n）

f（x）max=max{f（n），

f（m）}

f（x）min=f-b2a

f（x）max=f（n）

f（x）min=f（m）

对于开口向下的情况，讨论类似.其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若-b2a∈[m，n]，则

f（x）max=maxf（m），f-b2a，f（n），

f（x）min=minf（m），f-b2a，f（n）.

（2）若-b2am，n，则

f（x）max=maxf（m），f（n），f（x）min=minf（m），f（n）.

另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大;反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小.

例4 已知函数y=-sin2x+asinx-a4+12的最大值为2，求a的值.

分析 令t=sinx，问题就转为二次函数的区间最值问题.

解 令t=sinx，t∈[-1，1]，

∴y=-t-a22+14（a2-a+2），对称轴为t=a2.

（1）当-1≤a2≤1，即-2≤a≤2时，ymax=14（a2-a+2）=2，得a=-2或a=3（舍去）.

（2）当a2>1，即a>2时，函数y=-t-a22+14（a2-a+2）在[-1，1]单调递增，

由ymax=-1+a-14a+12=2，得a=103.

（3）当a2<-1，即a<-2时，函数y=-t-a22+14（a2-a+2）在[-1，1]单调递减，

由ymax=-1-a-14a+12=2，得a=-2（舍去）.

综上可得：a的值为a=-2或a=103.

总结 处理此类问题注意两个方面：①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在此区间上的单调性.