数学实验在高等数学教学中的应用

贾屹峰 郑红芬 王志高

【摘要】本文在实践教学的基础上，讨论了在高等数学教学中引入数学实验，改革课堂教学方法，探索新的教学模式，加强学生的实践性教学环节，在激发学生学习兴趣、提高成绩的同时，培养学生的应用和创新能力.

【关键词】高等数学;数学实验;Mathematica

一、数学实验的背景

随着计算机的发展，用计算机进行代数运算的研究发展非常迅速，在20世纪80年代，相继出现了功能齐全的计算机代数系统，例如Mathamatica、Maple、MathCAD、Axiom、Maxima等.计算机代数系统是集成化的计算机软件系统，集成了一系列的软件包，它主要包括：符号计算、数值计算和图形三个方面功能.利用计算代数系统，许多复杂的推导和计算可以用计算机来完成，并且一些难以用手工作出的函数图形也可以在计算机代数系统上画出.

数学实验是在计算机代数系统平台上，利用所学的数学知识解决实际问题为目的，在计算机上完成的一种实践活动，是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物，是一种新的方法和技术.利用计算机代数系统的函数以及程序，借助计算机快速、准确、功能强的优点在计算机上完成复杂的数值计算、符号演算、几何图像等数学教学过程，从而达到对实际问题的求解、分析、模拟仿真和归纳总结.数学实验不但需要扎实的数学功底和运用数学的能力，而且需要掌握数学建模以及运用计算机的能力，是综合能力的一种体现.

数学实验现在已经成为一门新的课程，很多大学都已经列为选修课或是必修课.借助计算机，在实验中，让学生自己设计和动手，在解决问题的过程体验数学知识在实际中的应用，从而去学习探索和发现数学规律，既巩固和提高数学的基础知识，又建立起了基本数学知识与数学的应用以及其他学科之间的联系.

二、高等数学课中引入数学实验的必要性

高等数学是理工科学生在大学期间的一门必修课，它不但对培养学生的抽象思维和逻辑思维能力有着举足轻重的作用，而且更是他们后续一些课程如大学物理、概率论以及一些专业课程的基础，另外也是分析、解决实际问题的工具.但是高等数学高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，特别是高度的抽象性使得很多学生很难理解，并有畏难情绪;再加上传统的“板书——分析——讲解”，这种只注重灌输知识，忽视动手能力、创新能力的培养教学模式，使学生感到很枯燥乏味，负担沉重，结果导致许多学生对高等数学学习失去了信心和兴趣，甚至放弃学习，进而对后续课程的学习也产生很大的影响，甚至影响到整个大学阶段的学习，这一点也一直困扰着大学数学的教学.

随着计算机代数的发展，大学数学中几乎所有的推理和计算都可以在计算机的辅助下完成，所有函数的图像都可以在计算机屏幕上显示，特别是三维图像，这些都对许多的大学数学课程的教学内容和教学手段产生了深刻的影响，特别是高等数学，并且产生了学习和数学应用的新途径——数学实验.利用计算机代数，在高等数学的课堂教学中引入数学实验，有利于将抽象问题具体化，比较典型的就是极限的定义、空间解析几何、多元函数以及重积分区域的选取等问题，使得学生更容易理解，从而改变传统的教学模式，使得高等数学不再枯燥乏味，力图改变学生“高等数学难学”的观念，大幅度提高等数学课程的及格率.同时激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力.

随着计算机的迅速发展和普及，大部分学生都拥有了自己的计算机，数学实验有了硬件的基础.在课堂教学引入数学实验的基础上，也可以让学生自己完成一些典型问题的实验，通过学生自己设计实验，完成实验，并通过观察总结规律，从中体验数学知识的应用，激发他们“学数学和用数学”，并进一步“研究数学”的兴趣.从而起到了促进数学教学良性循环的作用.

三、高等数学教学中的数学实验梗概

在实际教学中，我们采用Mathematica计算机代数系统，它是美国Wolfram Research公司开发的，是一个功能完善而且强大的计算机代数系统，其交互式操作方式简单易学.Mathematica突出的是其符号运算功能，能够完成多项式的运算和因式分解可及求函数值，能求极限、导数、不定积分、定积分、幂级数展开及求解某些微分方程等，对于向量、矩阵的各种运算也可以胜任.Mathematica的绘图能力也很强，可以很方便地画出一元函数和二元函数在所需范围内的平面图像与三维图形，并可以在同一坐标系内以不同的颜色显示进行比较.Mathematica还可以进行自定义函数和進行编程，也使得其可以应用于各领域涉及的复杂的符号运算和数值计算问题.

Mathematica在高等数学教学中的应用主要有三个方面：数值计算与绘图功能相结合，对一些抽象的知识，可以给学生直接的感受，从而使得学生更容易理解掌握抽象的知识;利用强大的绘图，画出一些难以手工画出的函数的图像，使得学生更容易理解相关的知识，特别是二元函数三维图像，更能增加学生的空间想象能力;Mathematica可以直接求一些复杂的极限，复杂函数的导数、微分、偏导数、全微分、不定积分、定积分以及一些简单的微分方程使得学生能够从复杂的计算中解脱出来.

在讲述数列的极限的定义时，首先利用Mathematica画出了数列12n，1+（-1）nn，（-1）n的图像，通过对三个数列变化趋势的观察，引入数列极限的概念;在此基础上，利用数值计算算出数列前1000项，并进一步给出数列极限的定义，使得学生在高等数学第一个比较抽象的概念学习中有一个比较直观的印象;在讲述第二个重要的极限limn→∞1+1nn时，也同样利用画图和数值计算，并结合该极限的一个应用实例：存款利率，使得学生对自然对数的基底e有着更为深刻的理解，并对以后研究函数y=ex的性质打下基础.类似的，在讲述定积分的定义的过程中也采用了数值计算与图像相结合的方式.

利用Mathematica强大的绘图功能，可以很方便地画出很多手工不能画出的图形，并在屏幕上显示出来，使得学生更容易理解相关知识.利用绘图功能，使得学生在学习函数的连续性、间断点、渐近线、微分的几何意义、函数的单调性和凹凸性及拐点时，通过对相关图形的显示，加深了学生对相关知识的感性认识和直观认识.例如对于震荡间断点，可以在屏幕上显示函数f（x）=sin1x在区间[-1，1]的图像，为了更进一步了解，还可以在同一坐标系显示函数f（x）=xsin1x在区间[-1，1]的图像.绘图功能的另一个重要的应用就是二元函数的三维图像，在增加学生空间想象力的同时，也有利于多元微积分的学习.

高等数学中的一些计算十分繁杂、枯燥，这些推导和计算都可以用Mathematica实现，Mathematica可以完成高等数学中的所有运算.Mathematica一个突出的特点是符号计算，并且可以编程，因此一些推导可以利用计算机完成.Mathematica的命令和函数是交互式的，且易学易记，运行也非常方便，能够迅速得到结果.利用强大的符号计算功能，可以使学生不必再死记硬背很多的公式，减轻学生的负担.

四、高等数学中引入数学实验的意义

数学实验引入高等数学教学中，改变原来的教学模式，丰富教学内容，活跃了课堂气氛，激发了学生的学习兴趣.利用数学实验，从直观的实验中抽象出数学知识，使得学生对数学的抽象性感到困惑，利用强大的画图功能为学生提供了直观的印象，利用强大计算功能使学生从繁杂的计算中解脱出来，更专注于对数学知识的理解.

数学实验的引入，是辅助而不是替代，對掌握数学概念、方法有极大的帮助，不会影响数学知识的学习.利用计算机代数系统，也需要扎实的数学基础.

数学实验辅助高等数学教学，不但可以激发学生的学习兴趣，更有利于培养学生的创新能力和利用所学数学知识解决实际问题的能力.

【参考文献】

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[3]付向南，王英辉，蒋婷.数学实验中Mathematica软件应用.吉林化工学院学报，第28 卷第7 期，2011年7月.