刘俊莲
【摘要】确定参数的范围历来是各级各类测试及高考命题的热点.由于此类问题综合性强,且确定参数取值范围的不等量关系也较为隐蔽,因而给解题带来了诸多困难.运用数形结合的方法是确定参数范围的一把金钥匙.
【关键词】 参数;取值范围;数形结合
确定参数的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点.由于此类问题综合性强,且确定参数取值范围的不等量关系也较为隐蔽,因而给解题带来了诸多困难.
如何突破这个难点?运用数形结合的方法是确定参数范围的一把金钥匙.
数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与几何图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意两点:第一要弄清所涉及的概念和运算的几何意义以及图形的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是需要设参数时,要恰当设参,注意参数的范围,合理用参,建立联系,由数思形,以形想数,做好数形转化.
一、已知函数的单调区间,确定参数范围
例1 若函数f(x)=13x3-12ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内是减函数,在区间(6,+∞)内是增函数,试求实数a的取值范围.
分析 这是利用导数研究函数单调性问题.我们可以把函数增减性问题转化为研究函数的导数的正负问题.
首先求出f′(x)=x2-ax+(a-1),问题就转化为求二次函数在区间(1,4)内是负数,在区间(6,+∞)内是正数的充要条件,可以借助于一元二次函数的图像来解决.由x2-ax+(a-1)=0x=1或者x=a-1.由于參数a的存在,要对a进行分类讨论.
图 1因为导函数的图形开口向上,所以
当a-1≤1时,与x轴交点的横坐标a-1在1的左侧,
导函数的图像如图1所示,观察发现导函数在
区间(1,4)内是正数.说明原函数是增函数,
这与题意不符.
同理,当1 当4≤a-1≤6时, 与x轴另一个交点的横坐标a-1在4与6之间,导函数在区间(1,4)内是恒小于0的.而在区间(6,+∞)内恒是正数.这说明原函数在区间(1,4)内是减函数,在区间(6,+∞)内是增函数,符合题意. 当a-1>6时,导函数的图像与x轴另一个交点的横坐标a-1在6的右侧,导函数在区间(1,4)内是恒小于0的,但是在区间(6,+∞)内并不是恒大于0的.这说明原函数在区间(6,+∞)内不一定是增函数.这与题意不符. 综上讨论,原函数只有当4≤a-1≤6时符合题意. 解得实数a的范围为[5,7]. 二、已知两条曲线的位置关系确定参数范围 图 2例2 曲线y=1+4-x2 (-2≤x≤2)与直线y=k(x-2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是. 解析 方程y=1+4-x2的曲线为半圆, y=k(x-2)+4为过定点M(2,4)的直线.如图2 所示.观察图像,直线y=k(x-2)+4位于切线MT 和割线MA之间区域内时,符合题意.由半圆圆心(0,1)到直线y=k(x-2)+4的距离等于 半径2得:k0-2-1+4k2+1=22k-3k2+1=2 k=512.A-2,1代入方程 y=k(x-2)+4中 得:k=34.故实数k的取值范围为(512,34]. 这道题如果不借助于图像,根本无法解答. 三、已知不等式在某个区间内恒成立确定参数范围 图 3例3 当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2 分析 若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,图像是抛物线,右边为对数函数,故可以通过图像求解. 解 设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图像为图3所示的抛物线,要使对一切x∈(1,2),y1 故loga2>1,a>1,∴1 从以上几个例子可以看到,如果不借助于函数的图像,就没有办法确定所求参数的范围.数形结合的方法在确定参数范围时起到了不可估量的作用.所以确定参数范围的金钥匙就是数形结合法.