开放性问题之探究

郑子谕

近几年全省各地中考出现了一批符合学生的认识水平和年龄特点，个性独特设计优美的开放探究题。开放性试题已成为一个热点问题，为了培养学生的发散思维能力，我们有必要对数学开放题进行研究和实践。初中数学问题一般可以分成两大类：一类是封闭性问题，另一类是开放性问题，封闭性问题是已知和结论都有确定要求的问题，而答案不固定或者条件不完备的习题一般则称为开放题。初中数学开放性问题为学生提供了以自己喜欢的方式解答问题的机会，在实际的解题过程中，学生可以将自己的知识、技能以各种方式相结合，以发现新的思想方法。实践证明，初中数学开放性试题的教学有助于培养学生的优化意识，提高解决问题的能力，可以使学生更全面地理解数学的本质，体会数学的美感，从而达到素质教育的要求。

一、数学开放性问题具备的特征

1.非完全性

指数学开放型问题的组成因素是不完备的，要么条件不充分，要么结论不完全，要么解题方法和解题依据不明确。

2.不确定性

指数学开放型问题或者条件不确定；或者结论不确定；或者解题方法、解题依据不唯一；或者只给出了一种情景、其条件、解题策略需要解题者在情景中去设定，进而寻求结论。

3.探究性

指解答开放型数学问题没有传统的、现成的模式可效仿，必须经过主动探索，认真思考研究，设计解题方案。

4.灵活性

指开放型数学问题的解答方式、解题方法以及答案是灵活多样的。

5.新颖性与创新性

指数学开放型问题内容、形式的新颖性，对学生素质与能力考查的创新性。

二、常见的开放型问题题型

1.给出结论，没有给出条件

要解题者自行研究使结论成立的各种必备条件；或对已知条件作出某种删减或增添，要求解题者归纳出原先给定结论的相应变化。

2.给出条件，没有给出明确结论或结论不唯一的问题

要解题者探索出结论，必要时给出推理过程或理论说明。

3.方法探索型问题

指解题途径或解题方法超越常规，要解题者思考合适的解题方法，寻找合理的解题途径，去探求满足题意的结论，在这里，特别强调的是，用不完全归纳猜想去寻找共同规律是中考中常考的题型。

4.存在说理探索型

指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

5.猜想验证探究型

指能够根据题目中的图形或者数学直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测、估计它的规律或者其他相关结论。

6.信息迁移型问题

这类问题大多通过定义一个概念，或规定一种运算，或给出一个规则，通过阅读相关信息，寻找解题方法；或是与其他学科相结合，解决其他学科的相关问题。

7.方案决策探究型

考查数学实践能力和创新设计才能。

三、开放型问题常见的解法

1.从简单最特殊情况入手

有时也可借助直接观察或判断，从特殊到一般的归纳，从具体到抽象的概括，得出一般性的结论。

2.借助类比手段

通过寻找其类同之处，去推测新结论与类比对象的可能成分，也可以通过分析特征、提出猜想，再进行必要的论证。

3.假设结论存在或成立

若推证无矛盾，则结论确实存在或成立；若推出矛盾，则结论不存在过不成立，这是处理存在型问题的一般模式。

四、常见的解题切入点

1.利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置）进行归纳、概括，从而得出规律

2.反演推理

根据假设进行推理，看看推导出矛盾的结果还是能否与已知条件一致。

3.分类讨论

当命题的题设和结论不唯一确定时，则需对可能出现的情况做出既不重复、也不遗漏，分门别类地加以讨论求解，将不同结论综合讨论归纳得出正确结论。

五、常见题型

1.题型一：条件开放性试题

此类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知或不完备，或条件有误需纠错，或满足结论的条件不唯一，条件开放型问题的明显特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是必要的条件，即所需补充的条件不能由结论完全推出。

一般来说，条件开放型问题的标准答案包括：将所缺的条件补充完整和根据自己给出条件形成的封闭题做出完整解答，解此题的基本策略都是执果索因，寻找结论成立的条件，在判断条件不存在时，常举反例说明。

例1.如图1：四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）。

解析：答案不唯一，可以是：AB=CD或AD//BC等，只要满足平行四边形的判定定理即可。

2.题型二：结论的开放与探索

这类问题的主要特征是有条件而无结论，自然地，解题的首要任务是探索结论。基本策略是通过对符号已知条件的特例（如特殊的数值、特殊的图像、特殊的图形位置等）或問题的简单情形的分析研究，考查其规律，猜想其结论然后进行证明。

解决这类问题的方法是根据条件，结合已学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论；或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解。求解此类问题时，切勿凭空乱想，应仔细对照条件，观察图形特征，联想已学知识、方法或已解决过的问题，全方位、多角度地做全面分析。

例2.如图2，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦OD⊥CB于点E，交圆于点D。

（1）请写出三个不同类型的正确结论；

（2）连结CD，设∠CDB=α∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系式并给出证明。

解析：（1）不同类型的正确结论不唯一。（2）结论也不唯一，如若得出α与β的关系式为α>β，证明正确的也判对。

例3.已知一元二次方程有一个根是2，那么，这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）。

分析：只要把2代入所给一元二次方程成立即可。

3.题型三：方法探索性试题

这类问题的主要特征是既有开放性，又具有探索性，是典型的综合题，有方法的探索，还有对规律的探索，以后要加强对教材中探究性问题和研究性问题的重视。

一般来说，题目常分多步，第一步往往较基础，要解题者思考合适的解题方法，寻找合理的解题途径，去探求满足题意的结论；接下来几步可以看作阅读理解，可采用类似的方法来处理。

4.题型四：信息迁移型问题

这类题型的特点是设计或定义一个陌生的数学情景。要求考生在理解的基础上将所学知识和方法灵活地进行迁移。由于数学是学好物理、化学、地理等课程的基础，因此在近几年的中考命题中，以其他学科的问题为载体设计的数学问题随处可见，令人耳目全新。既能体现数学的作用，又能考查学生综合运用知识的能力，更符合当前课程改革的需要。在今后的中考试题中，信息迁移型问题仍是命题的热点。

解决此类问题的常用方法：

（1）假设存在，直接推断；

（2）剖析特例，发现结论（有些比较抽象，规律隐蔽的题目，可通过构造实例进行剖析与比较）；

（3）等价转化，迂回探索。

5.题型五：方案设计型问题

一般来说，方案设计问题是近几年全国各地中考命题的热点，解决此类问题的思路如下：

（1）阅读理解，即认真阅读题目，理解题意；

（2）建立模型，即针对题意，完成由实际问题向数学问题的转化；

（3）模型求解，即运用具备的数学知识，技能和方法，完成对所建模型的解答；

（4）回归实际，由于数学模型的解答不一定完全符合题的实际意义，所以应根据实际情况给出正确解答。

例4.市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元。有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%。

（1）若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株？

（2）若购买树苗的钱不超過34000元，应如何选购树苗？

（3）若希望这批树苗的成活率不低于92%，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？

总之，开放性试题紧密联系生活实际，把生活问题提炼为数学问题，调动生活经验用于数学问题的创造性活动积极性，以利于学生运用所学知识解决实际问题，体会数学的实用价值，体验数学知识来源于生活，又服务于生活的真谛。数学开放性问题在促进学生发展方面具有重要意义，有助于培养学生的创造意识和创新能力，以上仅仅是笔者十几年来教学的心得体会，有不完善的地方还需要在今后的教学中不断探索、实践，但我们的目标是坚定的，为培养开放型、创造型人才而努力工作。

参考文献：

[1]倪高文.试论开放性问题教学策略在初中数学教学中的应用[J].新课程研究：基础教育，2009（10）.

[2]任志鸿.初中总复习优化训练教学.学苑出版社，2004-06.