小学生推理能力的主要形式及培养策略

沈银大

数学知识是一个系统化的逻辑体系，而推理则是抽象逻辑思维的基础，在小学数学教学中，经常见到归纳推理、类比推理、演绎推理、合情判断的痕迹. 本人从一年级到六年级一个大循环教下来，对小学生学习过程中推理的主要形式及能力培养的策略有了进一步的认识和理解.

一、归纳推理——让学生体验数学规律

归纳推理，即通过对某类事物一定数量的具体实例进行观察、比较、分析、概括，得出某些结论，并将其所具有的规律作为该事物的普遍规律. 借助归纳，人们能从有限的事物中受到启发，提出假说和猜想. 在小学数学教材中，几乎大部分定律、性质、法则是由归纳推理得出的，而且一般用的是不完全归纳法，用不完全归纳法得出的结论容易犯以偏概全的错误，还有待严格证明. 但不完全归纳法符合人的思维特点，是一种基础性认知能力，易于被学生接受. 因此，在小学数学教学中引导学生适度应用归纳推理，可以让学生更好地体验数学规律的形成过程.

【案例1】 “商不变的性质”教学片段

教师逐题出示：36 ÷ 12，360 ÷ 120，……

师：3600……0（末尾100个0） ÷ 1200……0（末尾100个0）的得数是多少？你是怎么知道的？

生：得数是3，我是猜出来的.

师：商是不是3，我们来研究一下.

教师根据36 ÷ 12 = 3，编了9道新算式引导学生先独立计算，再看看商的变化情况，把商没变的算式整理出来，如下：

（36 × 2） ÷ （12 × 2） = 3 （36 × 3） ÷ （12 × 3） = 3

（36 × 10） ÷ （12 × 10） = 3 （36 × 5） ÷ （12 × 5） = 3

師：它们的商为什么没变？你能发现什么？把发现的规律和同学交流一下.

生1：我发现被除数和除数同时乘几，商不变. 我还发现被除数和除数同时除以几，商不变.

生2：我可以把他们的话并成一句话来说，被除数和除数同时乘或除以几，商都不变.

师：好的，按照你们刚才的话，老师把题目改成（36 × 0） ÷ （12 × 0），这句话还成立吗？

师：有（36 ÷ 0） ÷ （12 ÷ 0）这样的算式吗？0可以作为除数吗？为什么？

生：哦，我们发现了，被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变.

策略1：提供关系结构或规律相同的多个同类型材料，让学生归纳.

针对归纳推理，教师给学生提供或引导学生收集材料时，应做到：一是提供一定数量的同类型材料，一般不少于3个；二是提供关系结构相同或规律明显的材料；三是提供的材料蕴含的关系或呈现出来的规律应是学生能够通过自主探索得到并具有推广价值的. 这样的材料便于学生“多”中求“同”，“多”中得“全”. 从不完全归纳到完全归纳，从而得出有效结论.

二、类比推理——让学生体验数学联系

类比推理是根据不同对象的某些方面（如特性、属性、关系等）相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，是由特殊到特殊的推理. 常见的类比有直线和平面的类比、平面和空间的类比、加减和乘除的类比、有限和无限的类比、个体和整体的类比等. 类比推理抓住了事物的相似性，把两类不同对象按其内在联系的相似性加以类比. 类比推理可以帮助学生由旧知探究新知，充分体验新旧知识之间的联系，因此，教师应引导学生恰当运用类比推理，更好地体验数学知识之间的联系.

【案例2】 “梯形的面积计算”教学片段

师：怎样把梯形转化为我们熟悉的平面图形？想想能把梯形剪、拼成什么样的图形，想好后动手剪一剪或拼一拼.

师：谁能向大家汇报一下自己把梯形剪、拼成了什么图形？

生1：根据我们前面学习平行四边形、三角形面积计算的经验，我把两个完全一样的梯形拼成了一个平行四边形.

生2：我还有一个办法，从梯形中割下一个小三角形，旋转后拼成了一个平行四边形.

生3：我则是从两腰中点作下底的垂线，分割成两个三角形，拼成了一个长方形.

生4：我则是从梯形的一个顶点作与一腰中点的连线延长与底边的延长线相交，将割下的三角形旋转拼在底的旁边使其拼成一个三角形.

师：同学们真聪明，想出了很多方法，现在能仔细观察梯形与这些图形之间的关系吗？然后想办法得出梯形面积的计算方法.

生：……

生：最终得出梯形的面积 = （上底 + 下底） × 高 ÷ 2.

策略2：提供具有某些相似性的不同类型材料，让学生类比.

类比推理的基础是比较，关键是迁移，当我们遇到一个新的问题时，首先想到的是有没有一个类似的、已经解决的问题可以与之对比，因此素材选择恰当与否是影响学生类比推理的关键因素. 选择类比推理的素材时，教师首先要深入分析需要探究的问题的特点，以及其中蕴含的数学关系和结构；其次是寻找学生已有知识中具有相似特点的素材，基于这种相似性分析类比、迁移出其他性质的可行性和可靠性；再次是对可供选择的材料进行适当处理，使之能够凸显有待解决问题的主要性质或关系，这样才能让学生进行有效类比，从而得出正确结论.

三、演绎推理——让学生体验数学作用

演绎推理又称为论证推理，是根据已有的事实和正确的结论 （ 包括定义、公理、定理等） ，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，是从一般到特殊的推理，它是以某类事物的一般判断为前提作出这类事物的个别、特殊事物判断的推理方法. 演绎推理以形式逻辑或论证逻辑为依据，它的过程正好与归纳推理的过程相反，它的前提与结论之间有着必然的联系，只要前提是真的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论.

演绎推理的基本方式是三段论证法，即“大前提、小前提、结论”. 演绎推理的正确与否取决于两个前提的正确性，只有当大前提和小前提都正确时，才能得到正确的结论. 因此，教师应引导学生恰当运用演绎推理，更好地体验数学中逻辑思维的作用.

【案例3】 “分数应用题”教学片段

例如，“一个食堂原有煤200吨，用去■，还剩多少吨？”推理的步骤如下：

师：要求还剩多少吨，必须知道什么条件？

生：要求还剩多少吨，必须知道原有的吨数和用去的吨数.

师：这两个条件哪个是已知的，哪个是未知的？怎么办？

生1：这道题原有200吨已知，用去的吨数未知，所以，要先求出用去的吨数.

生2：要求用去的吨数，必须知道原有的吨数和用去的占原有的几分之几.

生3：根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，所以算式是200 × ■.

师：那现在会求还剩多少吨吗？尝试列式解答.

……

策略3：提供合适的推理素材，让学生演繹.

解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程. 解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂. 先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对地结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案.

在教学过程中，我们可以先让学生猜或发现一个命题的内容，在完全作出证明之前，先提出自己的猜想，然后推测出证明的思路，继而一次又一次地进行尝试，在这一系列的过程中，让学生进行演绎推理.

演绎推理能力是小学数学教育中需要注重培养的能力. 由于小学生的入学年龄是6岁左右，而毕业年龄是12岁左右，因此，小学数学中的逻辑推理应该从具体形象思维逐步向逻辑思维过渡. 特别是在高年级，更应重视逻辑推理能力的培养，以便更好地与初中数学教育相衔接.

四、合情推理——让学生体验数学魅力

合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程. 在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.

【案例4】 “圆的周长”教学片段

师：如果测量圆的周长，比如就是你手中这个直径为10厘米的圆，你会采用什么办法？（小组讨论，利用手中的工具帮忙）

生1：滚圆法，但要先做好记号，否则会不知道滚到哪里算好.

生2：我用绳围圆一周，再打开就可以量出圆的周长了.

师：用你们的数学眼睛观察这两个圆，猜想一下圆的周长可能和谁有关系？

生：我估计和直径有关系，因为我看到直径长的圆就大，直径短的圆小.

师：和直径到底有怎样的关系呢？

师：下面我们就一起来做个实验（图略）.

生：先实验，再汇报.

师：观察表中的数据你有什么发现？为什么有人算出的数据有3点几、有2点几的？

生：那是因为我们在量的时候误差造成的.

师：大部分得出的数据是多少呢？

生：3点几.

……

师：相机介绍圆周率的知识，让学生正确认识π.

策略4：提供恰当的推理情境，让学生合情.

由于合情推理带有较强的情境性、个体性，因此部分老师认为合情推理只要讲道理、说得通就行. 其实，合情推理不是无根之本、无源之水，而是立足于学生已有知识经验和数学思考的，也要有一定根据. 首先，要给学生提供合情的情境，让学生在经历探索过程后在进行推理. 其次，要教给学生一定的合情推理方法，让学生猜想或推测出可能的规律、结论. 第三，要鼓励学生积极寻找猜想的依据，思考猜想的合理性和准确性，而不能满足于已经得出的结论.

总之，数学教学中对学生进行推理能力的培养，对于老师，能提高课堂效率，增加课堂教学的趣味性，优化教学条件，提升教学水平和业务水平；对于学生，它不但能使学生学到知识，会解决问题，而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法.