以问题引领教学之《方程的根与函数的零点》

傅小云

摘 要：本文以《方程的根与函数的零点》为背景通过设计一系列问题，引导学生发现本质，理解概念。

关键词：教学设计 问题

中图分类号：G448 文献标识码：A 文章编号：1672-8882（2014）10-006-01

一、前言

本文以《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的零点为背景，根据本节重点：①函数零点与方程根之间的关系；②连续函数在某区间上存在零点的判定方法；难点：①发现与理解方程的根与函数零点的关系；②探究发现函数存在零点的方法。把知识转化为一系列的问题，用问题来组织教学，让学生在解决问题的过程中，提高对函数零点概念和零点存在性定理的认识，从而养成发现问题、分析问题和解决问题的习惯，并加深对知识的理解。

高一年学生的动手动脑能力、观察能力和语言表达能力还没有很全面发展，所以在学习本节课的时候仍然会遇到很多问题。因此，本节课教学设计将从学生熟悉的一次函数入手介绍函数的零点，环环紧扣提出问题让学生思考，将学生至于主动地位，利用其好奇与探索的心理，调动他们的思维积极性和主动性，增强他们观察问题、分析问题和解决问题的欲望，从而挖掘学生综合潜能和提高自主学习的能力。

基于以上，教学过程设计如下：

（一）方程的根与函数的零点以及零点存在性的探索

1、引入课题

问题1：苏轼的《题西林壁》这样写到：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中。”从诗中你读到了什么？

生：它告诉我们想要了解庐山真面目，必须要从不同角度看待问题。

第一阶段设计意图

零点就是从函数的角度看其对应方程的解，从古诗引入，不仅有利于活跃课堂气氛，同时可以让学生体验到本节课的精髓，从不同的角度看问题。

2、方程的根与函数的零点

问题2：请同学们说说y=x+3从函数的角度是什么？它的图像是什么？从方程的角度看它又是什么？

生：一次函数，直线，二元一次方程。

问题3：令y=0，则x=-3，-3从代数的角度看它是函数y=x+3所对应的方程x+3=0的解，那么几何角度看是什么？

生：函数y=x+3与x轴交点的横坐标。-----几何法

师：教师引导学生推广到一般的方程和函数，引出零点概念。

零点概念：对于函数y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）（x∈D）的。

问题4：[分组讨论]二次函数 ， ， 的零点个数分别有几个？可以从哪几个角度去判断？

生：学生分组讨论完成问题4，各小组选派代表上台展示成果，教师适时点拨，引导学生从代数、几何角度归纳方法。

追问：二次函数 的零点个数还可以通过什么判断？

生：△>0，二次函数有两个零点；△=0，二次函数有一个零点

△<0，二次函数无零点.

问题5：请同学总结下求函数零点的常用方法？

生：可以解方程 而得到（代数法）；

可以利用函数 的图像找出零点.（几何法）

第二阶段设计意图

本节主要是让学生理解函数零点的定义，一次函数相比二次函数，学生更为熟悉，以一次函数作为引入，更有利于学生理解、掌握零点的概念。在以二次函数设置习题，逐步突破重点。

3、零点存在性的探索

问题6：请同学们用连续不断的几条曲线连接如图1 A、B两点，观察所画曲线与直线x轴有怎样的关系？

图1

生：画出连接A、B两点的几条曲线后发现这些曲线必与x轴相交。

师：教师引导学生结合函数图像，形成结论：

一般地，我们有：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c ∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

问题7：[独立探究]阅读并思考下列问题：

（1）从上述结论中可看出，函数具备了哪些条件，就可断言它有零点存在呢？

（2）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？

（3）如果把结论中的条件“图像连续不断”除去不要，又会怎样呢？

（4）如果把结论中的条件“f（a）f（b）<0”去掉呢？

（5）若函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，一定能得出f（a）·f（b）<0的结论吗？

（6）在什么样的条件下，就可确定零点的个数呢，零点的个数是惟一的呢？

师：学生先独立完成上述问题，对于无法完成的问题可以进行小组讨论。老师巡视，并给以必要的指导。最后抽点不同层次的学生进行交流展示。

第三阶段设计意图：

教师引导学生探索、归纳、总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维。

（二）课堂小结

问题8：本节课你学习了哪些知识？你感受到哪些思想方法？你还有什么困惑？

设计意图：

问题8的设计在于发挥学生的主观能动性，改变传统由教师总结的方式，把课堂还给学生，让他们在学习中总结，反思，构建知识体系。

（三）设计感想

对于函数的零点教学，以往的授课都是参照课本从二次函数与二次方程的关系引入零点的概念，但这种教学对于基础比较薄弱的学生来讲，他可能忙于求值，画二次函数图像，而无法充分理解函数与方程二者之间的關系，本节课以一次函数的图像与对应的一元一次方程的关系为突破口，探索方程的根与函数的零点的关系，再以二次函数为例题，进行拓展，螺旋式上升，有利于学生掌握知识，理解概念。

其次，改变传统讲练模式，以问题为主线，通过小组合作探究，倡导积极主动、勇于探索的学习方式；培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。