高中数学教学中运用化归思想的案例分析

张剑祥 周云

【摘要】作为最基本、最常用的思想方法，化归思想在高中数学教学中扮演着重要的角色，使学生能够快速准确地解题。本文对化归思想及其原则进行了论述，并通过几个案例分析了化归思想在高中数学教学中的应用。

【关键词】化归思想；原则；高中数学教学；案例分析

一、引言

目前，很多教师都已经意识到了思想教学在数学教学中的重要性，并努力尝试从数学思想角度去教学。但大多数教师只是将数学思想拘泥于解题技巧的运用，不能够深入地认识数学教学中的数学思想，更不能站在一定高度上使其广泛化。好多学生反映上课时能听懂，但是碰到稍微难一点的数学题就不会解，中学学到的数学知识，毕业之后常因用不到就忘掉了，但数学精神、数学思维和推理方法仍铭记在脑海中。这些都是数学思想方法在起作用，化归思想是数学教学中最基本和最常用的思想方法，但是许多高中学生对这一思想的运用还不熟练，教师有必要加强对学生化归思想方面的培养。

二、化归思想及其重要性

化归思想是一种基本的数学思想方法，就是在处理复杂问题时，通过将题目变化或转化，归结为比较简单的问题或已经解决的问题，从而使复杂问题得到解决。在高中数学教学过程中，化归思想方法无疑占据着重要的地位，数学问题的解决总与化归思想密切联系，在数学研究中得到了广泛的应用，如由未知向已知的转化、由复杂向简单的转化，由新知识向旧知识的转化、由实际问题向数学问题的转化等各种转化，结果都是由陌生转位熟悉，从而解决问题。化归思想有利于改变数学教育落后的局面，不断促进数学教学内容和教学方法改革的深入，从而加强学生思维能力的培养，全面提高数学教育质量。

三、划归原则

化归思想具有多层次和重复性的特点，贯穿于整个数学学科中，为了充分调动和运用我们熟悉的知识、方法和经验，有效地进行划归，在划归过程中应遵循以下原则：首先是熟悉化原则，就是将陌生的复杂问题转化为熟悉的简单问题，如将非等差等比数列转化为等差等比数列；第二是简单化原则，是将复杂的高难度的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决从而解决原复杂问题；第三是具体化原则，在分析和解决问题时，将抽象的问题具体化，将问题直观化进行求解；最后是和谐化原则，就是将问题的展现形式转变为更加符合数学中和谐统一的形式，如让没有规律的式子变得越来越有规律。

四、案例分析

1.由高次式向低次式的转化

在高中数学中有许多高次式，使学生们不知道从何下手，如果能用化归思想把高次式转化为低次式，问题就可以很容易迎刃而解。

例：已知，求的值。

从题目中可以看出，本题所给的条件是含字母x的一次等式，而问题是含x的四次式，我们可以把问题通过降次，转化为熟悉的低次等式从而解决问题。

2.由多元向一元转化

当题目中出现未知数时，学生一般都会想到消除未知数。一元的未知数很好消除，但对于多元未知数就有一定难度了，如果能把多元转化为一元未知数，问题就容易多了。

例：若，求。

本题可以新增加一个未知数k，表面看似乎是把问题更加复杂化了，但是可以把问题中的三个未知数都转化为一个未知数k，问题就简单多了。

,x=3k，y=-5k，z=8k，

3.几何问题向代数问题转化

例：在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°， P为AB边上任意一点。求证：|AP2|+|BP2|=2|CP2|

分别以AC、BC所在的直线为x轴、y轴，C为原点建立平面直角坐标系，依题意设A(a， 0)，B(0，a)， C(0， 0). 则AB边上的点P为（x， y）

|AP2|+|BP2|=(x-a)2+(y-0)2+(x-0)2+(y-a)2=

2x2+2y2-2a(x+y-a)

由于点P在AB边上，所以

x+y-a=0，|AP2|+|BP2|=2x2+2y2，

2|CP2|=2x2+2y2=|AP2|+|BP2|

由此可见，用化归思想把几何问题转化为代数问题，就把问题的难度降低了很多。

4.由动向静转化

世间万物都是相对静止的，绝对运动的，我们要用运动的，变化的观点来看待问题，在解答数学问题时也一样，把通常认为的不变量看成变量，或许就可以使复杂问题简单化。

例：对于任意a∈[-1,1]，函数f(x)=x2+(a

-4)x+2-2a的值恒大于零，求x值的取值范围。

在本题中，一般学生都会把x看成变量，这样的话，题目就成了比较繁杂的二次函数问题，这时候我们可以利用化归思想把a看成变量，就使题目转化为简单的一次函数问题。

设g(a)=x2+(a-4)x+2-2a=(x-2)a+x2-4x+2=f(x)

为以a为变量的一次函数，要使g(a)>0并且满足条件a∈[-1,1]，则只需要g(-1)>0并且g(1)>0即可，把a=-1和1分别代入(x-2)a+x2-4x+2>0即可求出x的取值范围为(-∞,0)∪(4,+∞)

除了以上分析的几种方法外，规划思想方法还有很多种，比如配方法、分解法、建模法、特殊化法等，这些划归方法在高中数学中无处不在，教师在平时的教学实践过程中，应当对这些方法不断进行总结，充分引导学生发散思维，把必要的解题技巧传授给学生，让学生能够感受到划归方法的精妙和作用，并使学生熟练掌握这些方法。

五、结语

总之，化归思想从复杂到简单、从陌生到熟悉来解决数学问题，在数学解题中发挥着重要的作用。在高中数学教学中，教师应加强学生运用化归思想解题的训练，使学生熟练掌握划归方法，快速准确地进行解题，提高数学教育质量。

参考文献：

[1]史善国.探析初中数学教学中的化归思想[J].教师观点，2012(9):76-77

[2]房臣钢.在高中数学教学中运用化归思想的案例分析[J].教学案例，2013(8):45

[3]韩新社.数学教学中的分类与化归思想[J].武汉船舶职业技术学院学报，2012(6):75-77

[4]戴再平.数学方法与解题研究[M].北京：高等教育出版社，1996

[5]顾越岭.数学教学中化归方法的难点及其突破[J].数学教育学报，2001，10(1):19-22