勾股数公式的推导及其应用

张爱献 张天倚

摘要: 针对如何求解勾股数，本文进行了系统的分析和研究，给出了几种奇妙的勾股数公式的一般性推导过程，解决了给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数的方法，为勾股数的求解提供了理论依据。

关键词: 勾股数公式推导 应用

中图分类号：O434文献标识码： A

内容：

我们知道凡是能满足a2+ b2= c2成立的a、b、c的正整数解，都是一组勾股数。当给出任意一个大于等于3的正整数为直角边时,如何求解一组勾股数中另外的两个勾股数的值，下面就这一问题探讨如下：

一、给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数

我们知道任意大于等于3的正整数都可表示成2mn（偶数）或mn（奇数或偶数）的形式 (m＞n, m ，n属于正整数)

当a= 2mn 时则a2= 4m2n2

由勾股定理a2+ b2= c2

则a2= c2- b 2=4m2n2

∵c2- b 2=2m2n2+2m2n2

=2m2n2-（-2m2n2)

=[ m4+2m2n2+ n4] - [ m4-2m2n2+ n4]

=（ m2+n2)2 -（m2-n2)2

∴c= m2+n2b = m2-n2

则有a = 2mn b = m2-n2 c =m2+n2 (m＞n, m ，n属于正整数)a、b、c三数构成勾股数。(1)式

同理：当a =mn则a 2= m2n2由勾股定理a2+ b2= c2

a2= c2- b2 =m2n2

c2- b2=1/2m2n2+1/2m2n2=1/2m2n2-（-1/2m2n2)

=[ 1/４m4+1/２m2n2+1/４n4] - [ 1/４m4-1/２m2n2+ 1/４m4n4]

=[1/２（m2+n2) ]2 -[1/２（m2-n2) ]2

∴c= 1/２（m2+n2) b = 1/２（m2-n2)

则有 a = mnb =1/2（m2-n2） c =1/2（m2+n2）(m＞n, m ，n属于正整数且m ，n同为奇数或偶数)a、b、c三数构成勾股数。(2)式

由此我们得到给定任意大于等于3的正整数为1个直角边，求解勾股数的方法；

1、当给定的直角边为大于等于3的奇数或大于等于4的偶数时，先将给定的奇数或偶数分解成两数的乘积mn (m＞n, m ，n属于正整数) ，当m，n同为奇数或偶数时。

利用a = mnb=1/2（m2-n2）c =1/2（m2+n2）(m＞n, m ，n属于正整数) a、b、c三数构成勾股数公式求解勾股数b、c的值。

例1： a =11，求勾股数b，c的值

解∵a =mn=11×1， m=11，n=1（ m，n同为奇数）

将m=11，n=1代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（112-12）=60

将m=11，n=1代入c =1/2（m2+n2）=1/2（112+12）=61

∴11、60、61为1组勾股数。

例2：a =81，求勾股数b，c的值

解∵a =mn=27×3，m=27，n=3 （ m，n同为奇数）

将m=27，n=3代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（272-32）=360

将m=27，n=3代入c =1/2（m2+n2）=1/2（272+32）=369

∴81、360 、369为1组勾股数。

例3：a =16，求勾股数b，c的值

解∵a =mn=8×2，m=8，n=2（ m，n同为偶数）

将m=8，n=2代入b= 1/2（m2-n2）=1/2（82-22）=30

将m=8，n=2代入c =1/2（m2+n2）=1/2（82+22）=34

∴16、30 、34为1组勾股数。

2、当给定的直角边为大于等于4的偶数时，利用a = 2mn b = m2-n2 c =m2+n2 (m＞n, m ，n属于正整数)，a、b、c三数构成勾股数公式

求解勾股数b、c的值。即先将给定的偶数除以2，再将余数分解成两数的乘积mn，求得m，n的值代入b=（m2-n2）c =（m2+n2）公式求解勾股数b、c的值。

例1： a =26，求勾股数b，c的值

解∵a =2 mn=2×13×1 m=13，n=1

将m=13，n=1代入a=（m2-n2）=（132-12）=168

将m=11，n=1代入c =（m2+n2）=（132+12）=170

∴26、168、170为1组勾股数。

例2： a =6，求勾股数b，c的值

解∵a =2 mn=2×3×1 m=3，n=1

将m=3，n=1代入b=（m2-n2）=（32-12）=8

将m=3，n=1代入c =（m2+n2）=（32+12）=10

∴6、8 、10为1组勾股数。

二、给定大于等于3的奇数为直角边，求解勾股数

我们先看几个勾股数如;

32+42=52勾3股4弦53，4，5 是勾股数

52+122=132 勾5股12弦135，12，13是勾股数

72+242=252 勾7股24弦257，24，25是勾股数

92+402=412 勾9股40弦41 9，40，41是勾股数

从以上几组勾股数可归纳出：

1：勾为大于等于3的奇数 。

2：股和弦是数字相差1的两个正整数，股为偶数，弦为比股大1的奇数。

∵任何一个大于等于3的奇数都可表示成2 n +1(n≥1，n属于正整数)。

（任何一个大于等于3的奇数）2

=(2n+1)2

=4 n 2+4 n +1

=(2 n 2+2 n)+ (2 n 2+2 n +1)

令a = 2 n +1 b= 2 n 2+2 nc =2 n 2+2 n +1（或c = b+1）

即：任何一个大于等于3的奇数的平方可分解成两个数字相差1的正整数的和。那么a、b、c这三数能否构成勾股数？

如果我们能证明

(2 n +1)2+(2 n 2+2 n) 2=(2 n 2+2 n +1) 2 (n≥1，n属于正整数)成立，

即可证明a、b、c三数构成勾股数。

证明：∵左式= (2 n +1)2+(2 n 2+2 n) 2

=(4 n 2+4 n +1) +(4 n 4+8 n 3+4 n 2)

=4 n 4+8 n 3+8 n 2+4 n +1

右式=(2 n 2+2 n +1) 2

=(2 n 2+2 n) 2+2(2 n 2+2 n)×1+1

=(4 n 4+8 n 3+4 n 2) + (4 n 2+4 n) +1

=4 n 4+8 n 3+8 n 2+4 n +1

∴左式=右式

结论：任何一个大于等于3的奇数的平方都可分解成两个数字相差1的正整数的和，则该三数构成勾股数。

即给定任意大于等于3的奇数时

则有a = 2 n +1 b= 2 n 2+2 nc =2 n 2+2 n +1（或c = b+1）

(n≥1，n属于正整数) a、b、c三数构成勾股数。(3)式

由此我们得到给定任意大于等于3的奇数为直角边，求解勾股数的方法；

1、由给定的奇数a，代入a= 2 n +1求得n值

2、将n值代入b= 2 n 2+2 n求得b值

3、将b值代入c= b+1求得c值

4、则a 、b 、c三数为1组勾股数。

例1：a =15，求勾股数b，c的值

解∵a =2 n+1=15解得n=7

将n值代入b= 2 n 2+2 n =2×72+2×7=112

将b代入c = b+1 =112+1=113

∴15、112、113为1组勾股数。

或a2=152=225

a2=b+c= b+ b+1=2 b+1

2 b+1=225b=112c= b+1=113

∴15、112、113为1组勾股数。

例2：a =23，求勾股数b，c的值

解∵a =2 n+1=23，解得n =11

将n =11代入b= 2 n 2+2 n =2×112+2×11=264

将b代入c = b+1 =264+1=265

∴23、264、265为一组勾股数。

或a2=232=529

a2=b+c= b+ b+1=2 b+1

2 b+1=529b=264c= b+1=265

∴23、264、265为1组勾股数。

三、当给定大于等于4的偶数为直角边，求解勾股数

我们知道任意大于等于4的偶数都可表示成2 n（偶数）的形式 (n≥2, n属于正整数)当a= 2 n时则a2= 4 n 2

由勾股定理a2+ b2= c2

则a2= c2- b 2=4 n 2

∵c2- b 2=2 n 2+2 n 2

=2 n 2-（-2 n 2)

=[ n 4+2 n 2+1] - [n 4-2 n 2+1]

=（n 2+1)2 -（n 2-1)2

∴c= n 2+1 b = n 2-1

即给定任意大于等于4的偶数时

则有a = 2 n b= n 2-1 c = n 2+1(n≥2, n属于正整数)

a、b、c三数构成勾股数。(4)式

分析:a、b、c的关系

a = 2 n b= n 2-1 c = n 2+1

a2=4 n 2b+ c= （n 2-1）+（ n 2+1）=2 n 2=1/２a2c-b=（ n 2+1）-（ n 2-1）=2

b=1/4a2-1c=1/4a2+1

结论：任何一个大于等于4的偶数的平方的一半都可分解成两个数字相差2的正整数的和，则该三数构成勾股数。

例：a=18，求勾股数b，c的值

解∵a= 2 n =18n =9

b= n 2-1=9 2 -1 =80

c = n 2+1=9 2 +1 =82

∴18、80、81为1组勾股数。

另解∵a=18

b=1/4a2-1=1/4×324-1=80

c=1/4a2+1=1/4×324+1=82

∴18、80、81为1组勾股数。

参考文献: 徐本顺、解恩泽编著《数学猜想集》湖南科学技术出版社1999年4月

作者简介: 张爱献（1964—） 男 河南省民权县高级工程师

张天倚（1998—）男，安徽省淮南市二中，高一35班学生。