高等数学教学方法的研究与实践

孙艳蕊

(东北大学理学院， 辽宁沈阳110819)

高等数学课是理、工、文、管、法诸学科重要的基础课.它具有理论缜密，概念抽象，同时又具有应用广泛的特点.加之，高等数学的授课对象是一年级新生，对大学大量信息量的授课一时难以适应.这就给高等数学任课教师的授课提出了更高的要求.如果高等数学的教学过程只是概念、定理的讲解和计算方法的推演，很容易使学生感到学习内容枯燥.大堆的公式和繁琐的理论推导也容易造成学生的惧怕心理.致使学生产生一定程度的心理障碍，因而不能主动、积极地去学习.爱因斯坦曾经说过:“教育应该使提供的东西,让学生作为一种宝贵的礼物来欣赏,而不是作为艰苦的任务来负担”.因此，研究教学方法和教学手段，探讨如何使课堂教学生动形象，如何使学生身心愉快地学习高等数学是高等数学任课教师必须面对的课题.同时，为了适应现代社会的需要，提高大学生的创新思维能力也成为高等数学任课教师义不容辞的责任.面对新形势的要求，精心设计，反复总结归纳了以下几点教法.在此写出，与同行共同探讨高等数学教学方法，以期提高教学水平.

1 从问题出发，激发学生的求知欲望

2 注重概念、理论的直观化，减轻学生的学习压力

3 鼓励学生大胆猜想，培养学生观察问题、分析问题的能力

从数学的发展过程可以看出，许多新的数学概念、定理、法则等的形成都经历了积累经验的过程，从大量观察、猜想、计算……，归纳出其共性和本质的东西.在教学中遵循数学的发展过程，注重启发式教学，引导学生通过观察分析，归纳等发现问题，猜出结论，然后用严密的分析语言正确给出叙述，再进行严格的逻辑论证.例如，讲解中值定理时，从几何直观引导学生给出Rolle中值定理，然后去掉端点函数值相等的条件，让学生思考会有什么结论？大胆地写出结论，再给出严格的叙述和证明，告诉学生这就是Lagrange中值定理；讲解费尔马定理、函数取极值的充分条件、曲线凹、凸的判断时，画出图形，引导学生猜出条件和结论；讲解常系数齐次线性微分方程的求解时，猜想它有指数函数形式的解，猜出二阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其求解法，进而归纳出n阶常系数线性齐次微分方程通解的结构及其求解法…….同时，鼓励学生对已有的理论和方法提问，这样既可以使学生能积极地、主动地去思考，充分调动学生的积极性，又可以教给学生研究问题的方法，培养学生研究问题的能力.为了实现素质教育，我们不仅教会学生知识，更重要的是培养一种科学直觉的习惯，培养学生研究问题的能力及创新精神.

4 结合身边的实际问题，培养学生的学习兴趣

多数高等数学教材，都偏重于知识的传授.学生既感受不到它的应用性，也看不到它的发展前景，更预见不到数学训练对一个人素质培养的作用.因此学生经常问的一个问题就是“学习高等数学有什么用？”学生缺乏学习的动力，缺少创新意识和创新能力，这显然是不利于人才培养的.针对这一问题，在讲课的过程中，尽量和实际问题结合起来，找一些身边的例子来解决，让学生感受到高等数学是一门应用非常广泛的课程，从而激发学生的学习兴趣.例如，在讲函数概念时，让学生讨论外币兑换中的损失问题；讲完一元函数的连续性后，让学生利用闭区间上连续函数的性质研究为什么在地面上椅子总能找到一个平衡位置放稳；讲函数极值问题时，让学生解决核弹头尺寸的设计问题、磁盘的存储量问题及身边的衣柜搬家问题等；讲一元函数的微分时，让学生研究100万元钱存入银行，银行的年复利率按a%计，大约多少年后100万元变为200万元；在讲微分方程时，让学生讨论马尔萨斯人口问题、治污问题等[1，5].这样做既能激发学生的学习兴趣又可以提高学生分析问题和解决问题的能力.

兴趣是最好的老师.学生对高等数学产生了学习的兴趣，直接或间接地培养了学生的创新意识，收到了好的教学效果.

5 注重学生归纳与类比能力的培养

华罗庚有句学习名言：“读书要从厚到薄，再从薄到厚”.教书也一样，这种过程的实现，我们是经过归纳和类比达到的.首先对同一数学问题进行系统的归纳：例如极限的计算，将常见极限的类型及计算方法进行归纳，使学生能够容易地掌握求极限的方法.对积分的计算、级数敛散性的判断等都作类似的归纳.另外，对同类型的教学内容进行归纳.例如，一元函数的导数、多元函数的偏导数及方向导数实质都是变化率的问题，但它们之间也有区别，前二者要考虑左右极限即双侧极限，方向导数考虑的是单侧极限；又如定积分、重积分、线面积分，其实质都是分割、近似、求和、取极限，只是积分区域Ω分别为区间、平面区域、空间区域、平面曲线、空间曲线和空间曲面[4].学完这些内容，让学生考虑是否能给出一个统一表达式定义所有积分？ 类比Newton-Leibniz公式的实质，给出Green公式，Gauss公式和Stokes公式，让学生思考这些公式的本质是什么，能否将上述四个公式归纳统一起来.这样可以引导学生真正的去思考，去研究.

在教学过程中将归纳与类比结合起来，书越教越薄，越学越薄，学生的学习能力和研究能力也得到了提高.

6 注重知识的拓宽，培养学生的发散思维

为了培养学生的创新能力，在教学中注意拓宽知识面，有意识地培养学生的发散性思维.在讲解经典内容的同时，适时有机地融入现代数学的知识和成果，开拓学生的视野，以利于学生的进一步深造，并留有学生独立思考的余地，激发学生创造思维.引入部分现代应用数学的内容为学生将来解决实际问题，打开知识的大门.例如讲一元函数极值的时候，利用最速降线问题将函数极值推广到泛函极值，并介绍变分法.在定积分部分介绍Lebesgue积分，引导学生变换一个角度思考问题.在级数部分引进Koch曲线，介绍数学的最新分支——分形理论.通过微分方程稳定性的讨论，引入混沌理论初步[6].将多元函数极值与离散的优化组合结合起来…….这样做，花费的学时并不多，有些同学听过了也可能很快就忘记了，但也可能对有些同学有影响，开拓了学生的视野，使同学们能从高等数学的范畴跳出去，看看高等数学后面的数学天地是什么样的.数学修养在潜移默化下得到提高，而这正是我们教学的目的.

教学改革的目的是提高教学质量，培养学生的创新思维，培养现代化人才.如何实现这一目的，还需要我们不断地探索.

[参 考 文 献]

[1] 李心灿，等. 高等数学应用250例[M]. 北京：高等教育出版社，1999：40-150.

[2] 徐利治. 谈谈我的一些数学治学经验[J]. 数学通报, 2000 (5):1-4.

[3] 车向凯，谢崇远，等. 高等数学(上)[M]. 北京：高等教育出版社，2005：12-19.

[4] 车向凯，谢崇远，等. 高等数学(下)[M]. 北京：高等教育出版社，2005：135-220.

[5] George B，Thomas J. Thomas’ Calculus [M]. Tenth edition. Beijing：Higher Education Press, 2004：560-681.

[6] 车向凯，谢崇远，等. 现代数学选讲 [M]. 沈阳：东北大学内部教材，1997：56-101.