关于高等代数的结论及证明教学的思考与探讨

钟 梅

(嘉应学院数学学院，广东梅州514015)

美国数学家Peirce曾说：“数学是产生必要结论的科学”，数学离不开“结论”，离不开“证明”.而高等代数这门课程具有概念多、抽象度高、论证量大的特点，结论、证明几乎充满了它的每一章、每一节，这些结论支撑了高等代数的理论体系，相应的证明则建立这理论体系的内在联系及逻辑关系.所以这些“结论及证明”的教学是高等代数教学极其重要的一部分，是需要也值得我们思考和探讨的.

1 结论及证明的教学方向

高等代数是大学本科数学各个专业的主干基础课，是数学在其他学科应用的基础课，也是数学修养的核心课程.而结论与证明作为高等代数的知识体系中的重要部分，有它的角色，有它的作用.因此，对高等代数结论及证明的教学，教师要有相应的努力方向.我们简称之为教学方向.

1.1 帮助学生建构自己对高等代数知识的理解

结论及证明作为高等代数内容的重要组成部分，其教学方向应是帮助学生深入地理解结论与证明本身；帮助学生建立概念、结论、方法之间的逻辑关系；帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，从而使学生更好地了解高等代数课程的结构和特点，最终使学生能系统化所获得的高等代数知识，能建构自己对高等代数的理解.

1.2 引导学生学习论证问题的方法

高等代数的开设时间常常是大学一年级的第一学期，这给已经习惯中学数学学习模式的学生带来很多困难.而学生普遍感到“困难”的是“证明”，一是很多结论的证明难理解，二是习题的证明无方法.所以结论及证明的教学仅仅讲清结论以及证明推导的逻辑步骤是不够的.Bourbaki学派指出：“每一个数学工作者都知道，单是验证了一个数学证明的逐步逻辑推导，却没有洞察获得这一连串推导的背后意念，并不算理解了那个证明.”因此，结论及证明的教学方向还应是教师在创设的教学情境中，注意引导学生从中体会、学习论证问题的思想、方法，从而能应用所学的证明方法.结论及证明的教学应是学生学习论证方法的过程和渠道.

1.3 带领学生品味结论及证明的发现过程

高等代数是专业的基础课程，同时也是数学修养的核心课程，它承载的不仅仅是高等代数的知识.日本的数学教育家米山国藏认为：“无论是对科学工作者、技术人员还是数学工作者，最重要的就是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的.”所以结论及证明的教学方向还应是带领学生品味发现结论本身及其证明所用思想方法的过程，从而提高学生的数学修养.

2 结论及证明的教学过程

对于结论及其证明的讲授，传统的方法主要是介绍结论然后讲解结论的证明过程，这种相对单一的讲授模式既不能给予学生更有效地帮助，也不符合教学方向，更不能达到我们的教学目标.所以对结论及证明，尤其是一些经典的结论及证明，我们的教学过程要多视角.

2.1 视角一 ——结论产生的背景

任何一个结论的产生都有其背景，或是实际问题的背景，或是其它学科的问题背景，或是相应的数学问题的背景等等.让学生了解这些背景有利于学生从直观上、情感上接受结论的内容，从而有利于学生记忆结论、理解结论、应用结论.如

结论1[1]设W1和W2都是数域F上向量空间V的有限维子空间， 那么W1+W2也是有限维的，并且

dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2).

这个结论我们可从分析解析几何的三维空间V3的两个相交平面π1,π2入手，由

dim(π1+π2)=3, dimπ1=2, dimπ2=2 及 dim(π1∩π2)=1，

得

dim(π1+π2)=dimπ1+dimπ2-dim(π1∩π2).

由此推想对一般向量空间是否有相应的结论1.

类似地，由整数的一些结论推想多项式的相关结论，由正交变换与正交矩阵的关系的一些结论推想对称变换与对称矩阵的关系的相关结论等等.

2.2 视角二——证明方法的发现

虽然结论的证明方法常常不是教师原创的，但教师还是要给选择这种证明方法一个引导、一个启发或一个合理的解释.让学生感到自然可接受，同时也让学生从中学习证明时选择恰当方法的一些基本思考方式.

如结论1是讨论四个子空间W1,W2,W1∩W2,W1+W2的维数的关系，而维数的讨论常常离不开基，所以如果我们能够建立这四个子空间基的关系，或许我们就可以得出他们的维数的关系式.为了建立这四个子空间的基密切关系，引导学生思考是否应先设出最小的子空间W1∩W2的基，再利用基的扩充定理分别得到W1,W2得基，从而分析猜测出W1+W2的基.这样基本的证明方法就呈现出来了.

2.3 视角三——证明的整体架构

讲授定理证明的具体过程之前，要讲清证明方法的整体架构，让学生对定理的证明方法有一个宏观的、粗线条的认识.这对学生理解、学习、应用结论的证明方法有很大帮助.

如结论1的证明的整体架构可表示如下：

2.4 视角四——证明的关键点

每个定理的证明过程中，都有一两步关键的地方，一旦这关键点被突破，整个证明就豁然开朗，一蹴而就.教师在讲解证明的过程中一定要讲清并强调此处，这也帮助学生提炼、积累证明的技巧.

如结论1的证明过程的关键点就是向量组α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt线性无关.只要引导学生给出这一步的证明，再由α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt为W1+W2的生成元就得出α1,…,αr,β1,…,βs,γ1,…,γt为W1+W2的基.这样不仅完成了证明也让学生再次体验向量组线性无关的证明方法.

3 结论及证明的教学拓展

结论及证明的教学过程完成后，我们还要在高等代数教学的各个环节中，进一步引导学生深入地思考并动手操作有关结论及证明的一些问题，从而能更好的完成我们的教学目标.

3.1 证明方法的学习与应用

每一个结论的证明都有相应的方法，有些结论的证明方法还有一定的普适性，所以结论的证明完成后，要及时总结，适时应用.可能的话留一些恰当的题目让学生应用所学的证明方法去解决，一方面有利于学生加深对定理的理解，另一方面也让学生体会到这一方法应用的一般规律.

如结论1的证明结束后，讨论下面的结论2就可利用结论1的方法.

结论2[1]n维向量空间V的任意一个子空间W都有余子空间.如果W′是W的余子空间，那么dimV=dimW+dimW′.

类似的，结论2的证明的基本架构如下：

在进一步学完线性变换后，可考虑留给学生这样的练习题目：

练习1[2]设σ是n维向量空间V的线性变换，W是V的一个子空间.证明

dimW=dimσ(W)+dim(Ker(σ)∩W).

练习1证明的基本架构如下：

从结论1、结论2、练习1三个证明架构中，不难发现一般的规律，由此学生可提炼出这类问题证明的一类方法.

3.2 类似结论的比较

高等代数的结论多，有些结论相似又有联系.初学时，学生易混易乱，教师有必要通过课堂讲解引导或作业引导等形式，让学生有意识的比较一些类似的结论.如以下结论：

结论3[1]设A是数域F上一个n阶矩阵，则A可以对角化的充要条件是

(i)A的特征根都在F内；

(ii) 对于A的每一特征根λ，有秩

(λI-A)=n-s，

其中s是λ的重数.

结论4[1]设A是一个n阶实对称矩阵，则存在一个n阶正交矩阵U，使得UTAU是实对角形.

结论5[1]设A是数域F上一个n阶对称矩阵，则总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得PTAP是对角形.

以上都跟对角化问题有关，相似但又有区别.所以我们要提醒学生仔细思考并比较这三个结论的条件、证明方法及具体的对角化的方法.这样学生对这类易混乱的问题的认识和理解会更清楚准确.

3.3 同类结论的归纳

学习高等代数，娴熟地掌握高等代数中的“结论”是非常必要的.只有这样，在讨论问题的时候，才能根据问题的具体内容将所需要的结论信守捏来，应用自如.因此，我们同样有必要通过各种方式，利用各种渠道让学生养成对同类结论进行归纳总结的习惯.如矩阵可逆的充要条件有哪些？线性变换是正交变换的充要条件有哪些？正交矩阵有哪些性质？等等.

高等代数的结论及证明的教学是高等代数教学的一项重要内容，涉及高等代数教学的方方面面，是需要也值得我们花时间精力去思考与探讨的.

[参 考 文 献]

[1] 张禾瑞. 郝鈵新. 高等代数[M].5版. 北京:高等教育出版社, 2007.

[2] 白述伟. 高等代数选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2002.