直线与圆锥曲线综合问题的求解策略

●宋益超 (奉化市第二中学 浙江奉化 315506) ●杨亢尔 (奉化中学 浙江奉化 315500)

直线与圆锥曲线综合问题的求解策略

●宋益超 (奉化市第二中学 浙江奉化 315506) ●杨亢尔 (奉化中学 浙江奉化 315500)

自实施新课程高考以来，浙江省数学高考自主命题一贯坚持“有利于高校选拔新生，有利于推进课程改革”的命题原则，以考试大纲和考试说明为依据，从学科知识、思想方法和学习潜能出发，立足数学教材，回归数学本源，重视数学基础知识和基本技能，突出数学能力的考查，着力体现“控制难度，稳中渐变，贴近实际，回归课本”的命题特色.鉴于此，在临近高考的专题复习阶段，深入研究高考试题不失为提高教学效率的一种有效手段.

1 考点回顾

作为高中数学的核心内容之一，解析几何历来是高考的重点、热点和难点.根据《2013年浙江省普通高考考试说明(理科)》所列数学考试内容要求，直线与圆锥曲线的位置关系考查重点是直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系(文科主要考查直线与圆、抛物线的位置关系).借助于导数，曲线的切线也经常出现在试题中.从近5年的高考试题来看，选择、填空题主要考查圆锥曲线的方程及其几何性质，如离心率、距离、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归思想以及解析几何的运算能力;解答题一般安排在理科的倒数第2题和文科的压轴题，主要考查最值和范围问题，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

2 典例剖析

2.1 求解策略1：合理选取直线方程

综观近几年的直线与圆锥曲线综合题，无论是理科还是文科，一个明显的特点是试题设计平和，考查的都是一些常见的数量和几何关系，如椭圆、抛物线的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，可谓平淡无奇，但试题对解析几何基本思想和运算求解能力的考查要求并不低，没有扎实的数学功底难以完成解答，其中合理选取直线方程往往成为解决此类问题的关键.

图1

(1)求 p，t的值;

(2)求△ABP面积的最大值.

(2012年浙江省数学高考文科试题)

(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点坐标为Q(m，m)，直线AB的斜率为k

评注从以上解答过程看到，无论是联立方程、消元、韦达定理的应用，还是弦长公式、点到直线距离和利用导数求函数的最值，处处围绕解析几何的通性通法展开.而题中直线AB方程形式的确定，无疑是解决本题的关键一步.

事实上，多数学生是习惯于从设直线AB方程为y=kx+m入手.

显然，由于直线方程选择的不同，求解过程中运算、变形和推理论证的难度也大不相同.

如果考虑到线段AB的中点为(m，m)，可设直线AB的方程为

这样得到的m，k的关系式更容易为学生所接受.

(下略.)

由以上过程可以看到，试题在平和、朴实的外表之下，蕴含着丰富的解析几何基本思想，直线AB方程的多样性选择为我们提供了精彩纷呈的解题方法，而这些解法的后半部分又殊途同归，通过配凑、换元，再借助导数求出最值，对运算求解能力有较高要求，真正体现了高考试题“平凡之中见功底”的命题原则.

2.2 求解策略2：灵活运用平面几何知识

解析几何作为利用代数方式研究几何问题的一门学科，决定了求解直线与圆锥曲线综合问题的2把钥匙：代数法和几何法.如果题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，可以充分挖掘已知条件，灵活运用平面几何知识，或直接利用图形的性质及圆锥曲线的定义来求解，以期达到事半功倍的效果.

例2如图2，F1，F2分别是椭圆 C：的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)已知△AF1B的面积为，求 a，b的值.

(2012年安徽省数学高考文科试题)

评注本题也可用代数方法求解：

借助韦达定理求出c的值.这些方法对于数式变形、运算求解和推理论证有较高的要求，与之相比，运用平面几何知识求解显得更为简洁、快捷、灵活.

图3

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，联结PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线 PM交 C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围;

(3)略.

(2013年山东省数学高考理科试题)

评注本题第(2)小题利用平面几何知识求解有多种方法：既可利用角平分线性质定理寻找线段间的比例关系，也可以利用向量的数量积定义，还可利用角平分线上的点到2条边的距离相等来确定m的取值范围.这种借助平面几何知识解决直线与圆锥曲线综合问题的求解策略，需要我们认真把握.

2.3 求解策略3：熟记某些常用结论

直线与圆锥曲线涉及的知识点多，综合性强，能力要求高，这就要求我们明确概念，认真梳理，熟记与圆锥曲线有关的一些常用结论、性质及思想方法，如焦半径、通径的有关性质、求轨迹方程的常用方法等，深入体会解析几何基本思想，不断提高分析问题、解决问题的能力.在此，我们介绍椭圆中一个结论和它的应用.

我们知道，圆的任一条直径的2个端点与圆上任意一点连线的斜率乘积为定值，将这个结论类比到椭圆中，会得到什么结果?

图4

于是我们得到如下的结论：

图5

例4如图5，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆的顶点，过原点的直线与椭圆相交于点 P，A，其中点 P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，联结AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.

(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值;

(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d;

(3)对任意的 k＞0，求证：PA⊥PB.

(2011年江苏省数学高考试题)

这里只证明第(3)小题.

评注本题有多种证明方法.如通过直线求解交点坐标，或者利用三点共线及点在曲线上列出多个等式，其运算和变形过程将会非常复杂，即使借助韦达定理及向量工具证明

如果考虑到kPA=tan∠POC，kAB=tan∠ACO，由平面几何知识即得tan∠POC=2tan∠ACO，从而命题得证.这再次显示了平面几何性质在解决直线与圆锥曲线问题时收到的神奇效果!

3 精题集萃

(2010年四川省数学高考理科试题)

图6

图7

图8

图9

(1)求椭圆的方程.

(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的2个点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与直线BF1交于点P.

②求证：PF1+PF2是定值.

(2012年江苏省数学高考试题)

参考答案