一个“交汇性试题”的教学设计展示

●杨苍洲 (泉州市第五中学 福建泉州 362000)

一个“交汇性试题”的教学设计展示

●杨苍洲 (泉州市第五中学 福建泉州 362000)

为了切实提高新课程复习课的教学质量、研究复习教学中“减负增效”的策略与方法，进一步发挥数学例题在高三数学复习的教学功能，笔者有幸参加了“2013届高中毕业班数学教学工作会议暨泉州市高三数学新课程学科教学研训会议”，会上的一个重要议程是：高中毕业班数学学科课堂教学析题技能展示、观摩、研讨.会上4位教师分别展示了各自的“例题教学设计”，展示了个人对于例题教学的不同理解.下面笔者将教学设计展示如下：

题目(1)设函数证明：当 x＞0时，f(x)＞0.

(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方法连续抽取20次.设抽得的20个号码互不相同的概率为p，证明：

(2011年全国数学高考理科试题第22题)

1 试题评价

1.1 考试评价功能

本题主要考查函数、导数、概率、不等式等基础知识，并以这些基础知识为载体，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、或然与必然思想.试题通过函数、导数知识与不等式等知识的交汇，来实现对学生综合运用学科知识分析问题和解决问题能力的考查.试题的交汇自然和谐，综合程度较高，充分体现了“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”的考查要求(《考试大纲》).从本题所考查的数学能力与数学思想方法，可以看出本题的命制严格遵循“数学学科的考试按照‘考查基础知识的同时，注重考查能力’的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养”这一命题原则(《考试大纲》).

1.2 教学导向功能

试题导向中数学教学必须坚持以学生为本、落实“三维目标”的理念，注重提高学生的数学思维能力，全面实施素质教育，促进学生的全面发展.

2 教学意图

2.1 课堂情景

本题宜在高三第二轮复习中作为“函数、导数综合问题”的典型例题进行使用.

2.2 教学目标

基于试题的内容、课程标准的要求、学生情况的实际，遵循教学目标的“三维”理念，确定本课的教学目标为：通过第(1)小题掌握利用导数证明不等式的方法;通过第(2)小题掌握古典概型的求法，掌握证明不等式的几种思路;并通过经历不等式证明的探究过程，感受函数与方程思想、化归与转化等数学思想，体验数学发现、解题成功的快乐.

2.3 学情预设

通过平时对学生的观察、了解，以及在长期的教学中积累、沉淀的经验，可以判断学生的大致情况为：学生已经掌握了函数、导数、概率、不等式等基础知识，积累了一定的证明不等式的相关经验，但是在观察能力、化归能力、解题经验上还有一定的不足.如：学生不一定能观察出“要证f(x)＞0即证f(x)＞f(0)”;不一定能观察出“在不等式，即可建立起与不等式的关系”;不一定能观察出“待证的不等式中，到首尾距离相等的2项之和等于”.这些都是学生在求解本题时可能遇见的思维障碍.

3 教学流程

为了更好地让学生理解和掌握，笔者打算依据波利亚解题表的4个步骤进行讲题展示：理解问题、拟定计划、执行计划、回顾反思.

3.1 阅读理解、提取信息

本题的题干非常简洁.

3.2 分析思路、拟定计划

在第(1)小题中，观察得f(0)=0，于是目标转化为证明f(x)＞f(0)，再转化为证明函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，因此我们可以先利用导数判断函数f(x)的单调性.

根据经验，命题者在命制试题时，往往会考虑解答题中问题前后的连续性.一般地，一个较有难度的解答题，上一步都将是下一步的一个“台阶”，因此解题时要充分考虑上一步的提示作用，利用好命题者的“善意”，下好台阶.观察不等式的结构、结合已有解题经验，考虑利用第(1)小题的结论进行证明，该结论可以转化为ln(1+x)＞，因此可以考虑对上述不等式进行适当的赋值，再把对数式转化为指数式，使问题顺利得到证明.

(2)证法1抽得的20个号码互不相同的概率为

3.4.2 问题解决的思考方式

(1)观察题目结构

数学解题过程中的“观察”是“理解题意”的一种方式，它往往贯穿于整个解题过程的始终.拿到一个题目时，需要经过初步观察弄清题意，明确解题的目的、任务，然后有目的地对问题的局部从不同角度进行观察，分析它们的结构特征以及彼此之间的关系，为“拟定计划”打下基础.本题的解决就得益于对问题中不等式结构的观察，如f(0)=0、不等式的关系、不等式中到首尾距离相等的2项之和等于定值等.

(2)联想知识迁移

联想是解题计划的重要一环.所谓联想，是指由一事物想到另一事物的心理过程，它是从已经掌握的途径、原则、方法等方面去寻求接近当前问题解决的途径、原则和方法，联想是数学发现和数学解题的一种常用方法.如何让学生学会联想是成功进行数学解题教学的关键，本题不等式的证明灵感来自于类比联想，为了解决“数列求积”的问题，我们联想到熟悉的“数列求和”方法，思考寻找其中可类比的一些方法、技巧，为本题的求解提供参考.

(3)启迪解题经验

在解题过程中，不同的学生有不同的解题体验，并获得了不同的解题经验，随着解题经验的积累，不同的学生在数学上得到了不同的发展.而解题是建立在经验之上的数学活动，因此，解题经验的丰富与否直接关系到解题的成败.本题从“不等式的转化需要解题者有一定的解题经验.经验告诉我们，命题者在命制解答题时，为了体现梯度、区分度，常分成几个步骤进行设问，而为了“步”与“步”之间的承接自然，往往“前一步”是“后一步”的台阶.因此，解题时我们要尽量利用好这些已设的“台阶”，使之成为我们重要的解题资源.

［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2003：2-3.

［2］杨苍洲.解题，从结构联想开始［J］.数学通讯，2011(4)：14-16.