位移谱阻尼调整系数模型研究*

王国弢，胡克旭，周礼奎

(同济大学 土木工程学院,上海 200092)

位移反应谱衰减模型在地震危险性分析和工程结构的抗震设计及分析中具有十分重要的意义.通常的统计分析仅给出阻尼比为5%的位移反应谱衰减模型，而实际结构具有各种阻尼比，对每一阻尼比都提供一个衰减模型是不切实际的，因而需要采用阻尼调整系数将阻尼比为5%的位移反应谱衰减模型调整到其它阻尼比的位移反应谱衰减模型.在阻尼比为5%的位移反应谱衰减模型的基础上，通过阻尼调整系数得到其它阻尼比位移反应谱衰减模型的合理性及可靠性取决于阻尼调整系数的合理性及可靠性.在这方面，国外已有不少学者对其进行了研究：如Newmark和Hall[1]，Wu和Hanson[2]及Idriss[3]提出了考虑阻尼比和周期影响的位移谱阻尼调整系数回归方程，Ashour[4]及Tolis和Faccioli[5]提出了仅考虑阻尼比影响的位移谱阻尼调整系数回归方程；而国内学者主要针对我国抗震规范[6-7]中设计反应谱阻尼调整系数的不足，建议了相应的改善方法或对其适用性进行了评价，如胡聿贤[8]及王曙光等[9]提出了与周期和阻尼比有关的阻尼调整系数，曹加良等[10]对我国抗震规范设计反应谱阻尼调整系数进行了定性的评价.以上研究仅考虑了结构自身参数(主要是自振周期和阻尼)对阻尼调整系数的影响，并没有考虑结构外部因素(如震级、断层距、场地条件、地震动持时等)对阻尼调整系数的影响.近年来，不少学者开始对外部因素的影响进行研究，如Lin和Chang[11]研究了场地条件对位移谱阻尼调整系数的影响，对不同场地类别给出了相应的阻尼调整系数回归方程，结果表明，场地类别对阻尼调整系数的影响较弱；Bommer和Mendis[12]及Cameron和Green[13]初步探讨了矩震级、断层距、场地条件和地震动持时等对位移谱阻尼调整系数的影响，但并未进行深入定量的分析；Stafford 等[14]则在Bommer和Mendis研究的基础上，定量地分析了地震动持时对位移谱阻尼调整系数的影响，并提出直接考虑地震动持时的阻尼调整系数模型，但由于目前所使用的位移谱衰减模型[15-19]均未包含持时这个参数，所以直接包含地震动持时的阻尼调整系数模型不便于工程应用.鉴于以往研究的不足，本文首先深入地研究了各种外部因素对位移谱阻尼调整系数的影响.研究表明：持时和矩震级对阻尼调整系数有显著的影响；断层距和场地类别影响较弱可忽略.然后根据地震动持时与矩震级存在正的强相关性[20]，且谱衰减模型[15-19]中均包含了矩震级这个参数，本文采用非线性回归分析提出了仅包含矩震级项的位移谱阻尼调整系数模型.最后通过模型的残差分析，验证了提出的模型能间接地考虑地震动持时对位移谱阻尼调整系数的影响.

1 地面运动加速度时程记录

本文使用了408条地震地面运动记录，这些地面运动记录下载于太平洋地震工程研究中心的强震数据库(http:// peer.berkeley.edu/peer ground motion database).地面运动记录的相对能量持时[21](D5-95)分布在1.4～80.3 s之间，矩震级(Mw)分布在5～8之间，观测点到断层破裂面的最近距离(Rrup)分布在0.1～100 km之间，地表厚度30 m内平均剪切波速(Vs,30)分布在116.3～2 016.1 m/s之间，峰值地面加速度(PGA)分布在0.1～1.434 5 g之间.

2 阻尼调整系数的概率分布

位移谱阻尼调整系数被定义为：

(1)

式中:DSF为位移谱阻尼调整系数；ξ为阻尼比；T为单自由度体系的自振周期；SD(ξ,T)为ξ≠5%，周期为T时弹性单自由度体系的位移谱值；SD(5%,T)为ξ=5%，周期为T时弹性单自由度体系的位移谱值.通常可以认为在指定周期和阻尼比处的位移谱值服从对数正态分布[22]，对式(1)两边取自然对数有：

ln (DSF(ξ,T))=ln (SD(ξ,T))-ln (SD(5%,T))．

(2)

由式(2)可知，如果SD(ξ,T)与SD(5%,T)不相关，则ln(DSF(ξ,T))服从正态分布，DSF服从对数正态分布.但是SD(ξ,T)与SD(5%,T)是相关的，所以在理论上DSF并不严格服从对数正态分布.根据本文的分析，在T∈[0.1, 7.5]的范围内，ln(DSF(ξ,T))与正态分布曲线拟合得较好；而在此周期范围外，拟合结果并不理想，如图1所示.图 1给出了ξ=2%时，在T=0.2 s和1 s处，ln(DSF)数据点的直方图、累积分布函数曲线图及相应的正态分布函数的拟合结果.

图1 阻尼调整系数自然对数的分布和拟合曲线

在指定的周期和阻尼比处，本文认为阻尼调整系数近似地服从对数正态分布，并取回归模型为：

ln(DSF)=μ(ξ,T,X)+ε．

(3)

式中：μ(ξ,T,X)为ln(DSF)的期望；X为对阻尼调整系数有显著影响的外部因素向量；ε为随机误差且ε～N(0,σ2)；σ2为方差.由于阻尼调整系数近似服从对数正态分布，以下的统计分析中均采用阻尼调整系数的中值.

3 外部因素对阻尼调整系数的影响分析

本文采用软件SeismoSignal对每条输入地震波分别计算了11个阻尼比下的位移谱，这11个阻尼比分别为：0.5%，1%，2%，3%，5%，7%，10%，15%，20%，25%和30%.对每个阻尼比，单自由度体系取如下20个周期：0.02，0.04，0.06，0.08，0.10，0.14，0.20，0.24，0.30，0.40，0.50，0.60，0.80，1.00,2.00,3.00,4.00,5.00,7.50和10.00 s.然后再根据式(1)，对每条输入地震波求得各阻尼比下的位移谱阻尼调整系数.

3.1 地震动持时的影响

工程中对于地震动持时有各种不同的定义，本文采用的持时为相对能量持时[21]D5-95，即从地震动能量达到总能量的5%开始至达到总能量的95%为止所经历的时间.总能量定义为地面加速度平方的积分，即Arias强度[23].

为了研究D5-95对阻尼调整系数的影响，本文作出了不同周期和阻尼比处的阻尼调整系数与D5-95之间的散点图.限于篇幅，图2仅给出了周期T=0.2 s和3 s时，分别在阻尼比ξ=0.5%，2%，10%和20%处，阻尼调整系数与D5-95之间的散点图.图2中直线为阻尼调整系数和D5-95的线性拟合线，其斜率表明了D5-95对阻尼调整系数的影响程度.由图2可知，D5-95对阻尼调整系数的影响与周期和阻尼比有关：在短周期范围内(如T=0.2 s，见图2(a)～(d))，D5-95对阻尼调整系数无显著影响，而在短周期范围外(如T=3 s,见图2(e)～(h))，当ξ<5%时，阻尼调整系数随D5-95的增加而增加，且阻尼比越小这种趋势越明显；当ξ>5%时，阻尼调整系数随D5-95的增加而减小，且阻尼比越大这种趋势越明显.图2还表明了阻尼调整系数相对于阻尼比存在异方差性，即随着阻尼比越远离5%，阻尼调整系数的离散程度越大.

图2 相对能量持时D5-95与阻尼调整系数之间的散点图

3.2 矩震级的影响

为了研究矩震级对阻尼调整系数的影响，本文将地面运动记录按矩震级分为3组(见表1).

表1 基于矩震级的地面运动记录分组

图3为阻尼比ξ=0.5%,3%,7%和30%时，不同矩震级分组的阻尼调整系数中值随周期的变化情况.由图3可知，矩震级对阻尼调整系数中值的影响与周期和阻尼比有关：在T<～0.6 s的范围内，当ξ<5%时，阻尼调整系数中值随周期的增加而线性增加；当ξ>5%时，阻尼调整系数中值随周期的增加而线性减小；在该范围内，矩震级对阻尼调整系数中值无显著影响，各周期点处的阻尼调整系数中值基本相同.在T>～0.6 s的范围内，当阻尼比ξ<5%时，阻尼调整系数中值随周期的增大而减小，减幅随矩震级的增大而趋缓，各周期点处的阻尼调整系数中值随矩震级的增大而增大；当ξ>5%时，阻尼调整系数中值随周期的增大而增大，增幅随矩震级的增大而趋缓，各周期点处的阻尼调整系数中值随矩震级的增大而减小；阻尼比越远离5%，上述现象越明显.

图3 矩震级对阻尼调整系数中值随周期变化的影响

图4给出了T=3 s时，分别在阻尼比ξ=0.5%,2%,10%和20%处，矩震级与阻尼调整系数之间的散点图.图4中直线为矩震级和阻尼调整系数的线性拟合线,其斜率表明了矩震级对阻尼调整系数的影响程度.此外，由图4可见，阻尼调整系数相对于阻尼比存在异方差性.由图4与图2(e)～(h)的直线斜率对比可知，矩震级对阻尼调整系数的影响程度与D5-95对其的影响程度基本相当.

图4 矩震级与阻尼调整系数之间的散点图

3.3 断层距的影响

工程中一般采用震源距、震中距或断层距来考虑地震波传播途径对地震动的影响.本文采用断层距来考虑传播途径的影响，采用的断层距为观测点到断裂面的最近距离(Rrup).

为了研究断层距Rrup对阻尼调整系数的影响，本文将地面运动记录按断层距Rrup分为3组(见表2).

表2 基于断层距的地面运动记录分组

图5为阻尼比ξ=0.5%,3%,7%和30%时，不同断层距Rrup的阻尼调整系数中值随周期的变化情况.由图5可知，Rrup对阻尼调整系数中值的影响与周期和阻尼比有关：在T<～0.6 s的范围内或当阻尼比接近5%时(如ξ=3%和7%时)，Rrup对阻尼调整系数中值无显著影响，各周期点处的阻尼调整系数中值基本相同；在T>～0.6 s的范围内，当阻尼比ξ<5%且远离5%时(如ξ=0.5%时)，各周期点处的阻尼调整系数中值随Rrup的增大而增大；当ξ>5%且远离5%时(如ξ=30%时)，各周期点处的阻尼调整系数中值随Rrup的增大而减小.与矩震级对阻尼调整系数中值的影响相比，Rrup对阻尼调整系数中值的影响较弱.

图5 断层距对阻尼调整系数中值随周期变化的影响

图6给出了T=3 s时，分别在阻尼比ξ=0.5%，2%，10%和20%处，Rrup与阻尼调整系数之间的散点图.图6中直线为Rrup和阻尼调整系数的线性拟合线，其斜率表明了Rrup对阻尼调整系数的影响程度.此外，由图6可见，阻尼调整系数相对于阻尼比存在异方差性.将图6中的直线斜率分别与图2(e)～(h)和图4中的直线斜率对比可知，与D5-95和矩震级对阻尼调整系数的影响相比，Rrup对阻尼调整系数的影响较弱.

图6 断层距与阻尼调整系数之间的散点图

3.4 场地类别的影响

为了研究场地类别对阻尼调整系数的影响，本文按ASCE 7-10[24]中的场地分类标准将场地分为A, B,C,D和E 五类，各类场地与我国《建筑抗震设计规范》GB 50011-2010中的场地类别的对应关系可参见文献[25].地面运动记录按场地类别的分组见表3.

表3 基于平均剪切波速的地面运动记录分组

由于A类场地上的记录较少，表3中将A和B类场地上的记录归为一组；E类场地上的记录过少，统计分析时未予考虑.图7为阻尼比ξ=0.5%，3%，7%和30%时，不同场地类别的阻尼调整系数中值随周期的变化情况.由图7可知，场地类别对阻尼调整系数中值的影响与周期和阻尼比有关：在T<～0.6 s的范围内或当阻尼比接近5%时(如ξ=3%和7%时)，场地类别对阻尼调整系数中值无显著影响，各周期点处的阻尼调整系数中值基本相同；在T>～0.6 s的范围内，当阻尼比ξ<5%且远离5%时(如：ξ=0.5%时)，各周期点处的阻尼调整系数中值随地表厚度30 m内平均剪切波速Vs,30的减小(AB类场地变化到D类场地)而增大；当ξ>5%且远离5%时(如：ξ=30%时)，各周期点处的阻尼调整系数中值随Vs,30的减小(AB类场地变化到D类场地)而减小.与矩震级对阻尼调整系数中值的影响相比，场地类别对阻尼调整系数中值的影响较弱.

图7 场地类别对阻尼调整系数中值随周期变化的影响

图8给出了T=3 s时，分别在阻尼比ξ=0.5%，2%，10%和20%处，地表厚度30 m内平均剪切波速Vs,30与阻尼调整系数之间的散点图.图8中直线为Vs,30和阻尼调整系数的线性拟合线，其斜率表明了Vs,30对阻尼调整系数的影响程度.此外，由图8可见，阻尼调整系数相对于阻尼比存在异方差性.将图8中的直线斜率分别与图2(e)～(h)和图4中的直线斜率对比可知，与D5-95和矩震级对阻尼调整系数的影响相比，场地类别对阻尼调整系数的影响较弱.

图8 平均剪切波速与阻尼调整系数之间的散点图

4 考虑矩震级影响的阻尼调整系数模型

根据以上分析，持时和矩震级对阻尼调整系数影响显著，而断层距和场地类别对阻尼调整系数的影响较弱，可忽略，因此合理的阻尼调整系数模型应能体现持时和矩震级的影响.由于在目前所使用的位移谱衰减模型[15-19]中均未包含持时这个参数，为便于工程应用，本文在阻尼调整系数模型中仅考虑矩震级这个变量，并通过矩震级与持时的相关性来间接考虑持时的影响.

4.1 不考虑矩震级影响的阻尼调整系数残差随矩震级的分布

为了确定考虑矩震级影响的阻尼调整系数模型，本文首先计算了不考虑矩震级影响的阻尼调整系数的残差，作出残差随矩震级的分布，然后根据其分布来确定阻尼调整系数回归方程的形式.残差采用式(4)计算：

(4)

式中：ξj和Ti为代表第j个阻尼比和第i个周期点处的值；ln[DSF(ξj,Ti)k]为在ξj和Ti处阻尼调整系数DSF(ξj,Ti)的第k个数据值的自然对数．

(5)

将计算出的残差按矩震级分为9组，计算每组残差的均值.按矩震级分组的情况为：5≤Mw<5.3，5.3≤Mw<5.6，5.6≤Mw<5.9，5.9≤Mw<6.2，6.2≤Mw<6.5，6.5≤Mw<6.8，6.8≤Mw<7.1，7.1≤Mw<7.4和Mw≥7.4.限于篇幅，图9仅给出了在T=0.1 s和3 s处，ξ=2%和20%时，残差相对于矩震级的分布，在T<～0.6 s范围内，各周期点处的残差随矩震级的分布与T=0.1 s处基本相同；在T>～0.6 s范围内，各周期点处的残差随矩震级的分布趋势与T=3 s处基本相同；以下类同，不再赘述.图中实心方点代表每组残差的均值，实线为均值的连线，表明了残差随矩震级的变化趋势.由图9可知，在T=0.1 s处，各阻尼比下的残差基本随机对称地分布于零水平线的两侧，这表明了在T<～0.6 s范围内矩震级对阻尼调整系数没有显著的影响；在T=3 s处，各阻尼比下的残差相对于矩震级近似呈直线分布，表明在T>～0.6 s范围内矩震级对阻尼调整系数有显著的影响.可见，通过残差分析所反映的矩震级对阻尼调整系数的影响与前文的分析结果是一致的.

图9 不考虑矩震级影响的阻尼调整系数中值的残差相对于矩震级的分布

4.2 考虑矩震级影响的阻尼调整系数的回归方程

由于在长周期范围内，不考虑矩震级影响的阻尼调整系数的残差相对于矩震级近似呈直线分布，为了改善长周期处残差相对于矩震级的分布，在指定周期点Ti处，本文将回归方程取为矩震级Mw的线性函数：

μ(ξ,Ti,Mw)=b0(Ti)+b1(Ti)lnξ+

b2(Ti)(lnξ)2+[b3(Ti)+b4(Ti)lnξ+

b5(Ti)(lnξ)2]Mw．

(6)

式中：阻尼比取百分号中的整数(如阻尼比为2%，取ξ=2).在每个周期点处，采用SPSS统计分析软件进行多元非线性回归分析，可得到每个周期点处式(6)中各参数的估计值.20个周期点处b0～b5各参数估计值列于表4.根据表4、式(6)和式(4)可求得在ξj和Ti处每个数据与包含了线性震级项的回归方程的残差，然后可作出残差相对于矩震级的分布.图10为在T=0.1 s和3 s处，ξ=2%和20%时， 残差相对于矩震级的分布.对比图9和图10可知：在T=0.1 s处，残差相对于矩震级的分布与不考虑矩震级影响时基本相同，再次说明了T<～0.6 s范围内矩震级对阻尼调整系数无显著影响，各阻尼比的残差随机对称地分布于零水平线的两侧；在T=3 s处，残差相对于矩震级不再具有直线分布，各阻尼比下的残差随机对称地分布于零水平线的两侧(见图10)，这说明本文回归模型的合理性且能反映出在T>～0.6 s范围内矩震级对阻尼调整系数的影响.图11为在ξ=0.5%和30%处，按式(6)(取Mw=5.5，6.5和7.5)所计算的阻尼调整系数中值与表1中分组Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ所计算的阻尼调整系数中值的对比.由图11可见，两者吻合得较好且本文模型能体现矩震级对阻尼调整系数中值随周期变化趋势的影响.

图10 本文模型的残差相对于矩震级的分布

图11 本文模型计算得到的阻尼调整系数中值与不同矩震级分组的阻尼调整系数中值的对比

4.3 模型标准差

由式(2)得：

μln (SD(ξ,T))=μln (SD(5%,T))+μln (DSF(ξ,T))，

(7)

(8)

式中：μln(SD(ξ,T))，μln(SD(5%,T))，μln(DSF(ξ,T))，σln(SD(ξ,T))，σln(SD(5%,T))和σln(DSF(ξ,T))分别为ln(SD(ξ,T))，ln(SD(5%,T))和ln(DSF(ξ,T))的期望和标准差；ρ为ln(SD(5%,T))和ln(DSF(ξ,T))之间的相关系数.

由式(3)可知，要得到阻尼调整系数的概率分布还必须要确定阻尼调整系数的标准差σln(DSF(ξ,T))；由式(7)和式(8)可知，要得到阻尼比不同于5%的位移谱的概率分布除了要确定阻尼调整系数的标准差σln(DSF(ξ,T))外，还需要确定相关系数ρ.由于本文主要研究位移谱阻尼调整系数模型，对于相关系数ρ的确定将另作文章论述.

在式(6)中，令：

a=b0(Ti)+b1(Ti)lnξ+b2(Ti)(lnξ)2，

b=b3(Ti)+b4(Ti)lnξ+b5(Ti)(lnξ)2．

可得一元线性方程：

μ(ξ,Ti,Mw)=a+bMw．

(9)

对于一元线性方程，在Ti和ξj处，模型标准差的无偏估计可用式(10)[26]计算：

(10)

在指定的周期Ti处，用式(10)可求得11个阻尼比处标准差的估计值，然后本文采用式(11)的函数形式来拟合标准差的估计值与阻尼比之间的关系：

(11)

式(11)中，阻尼比取百分号中的整数(如阻尼比为2%，取ξ=2).在每个周期点处，采用SPSS统计分析软件进行非线性回归分析，可得到每个周期点处a0～a3各参数的估计值(见表4).图12给出了在T=0.1 s和3 s处，标准差估计值与阻尼比之间的关系及式(11)的拟合结果，由图可见拟合结果较好，且式(11)能合理地反映阻尼调整系数相对于阻尼比的异方差性.

图12 标准差与阻尼比之间的关系及标准差的拟合曲线

综上，本文提出的考虑矩震级影响的阻尼调整系数模型为：

ln(DSF)=b0(Ti)+b1(Ti)lnξ+

b2(Ti)(lnξ)2+[b3(Ti)+b4(Ti)lnξ+

b5(Ti)(lnξ)2]Mw+ε．

(12)

表4 模型回归系数

5 本文模型对持时影响的间接考虑

以下通过残差分析来验证本文所提出的阻尼调整系数模型(式(12))对地震动持时影响的体现.首先将4.1节和4.2节计算的残差按相对能量持时D5-95分为9组，计算每组残差的均值.按D5-95分组的情况为：ln(D5-95)≤1.7，1.73.8.然后分别作出不考虑矩震级影响的残差和本文回归方程(式(6))的残差随D5-95的分布.图13为在T=0.1 s和3 s处，ξ=2%和20%时，不考虑矩震级影响的残差相对于D5-95的分布.可以看出，在T=0.1 s处，各阻尼比下的残差基本随机对称地分布于零水平线的两侧，这表明了在短周期范围内D5-95对阻尼调整系数没有显著的影响；在T=3 s处，各阻尼比下的残差相对于D5-95呈曲线分布，这表明了在短周期范围外D5-95对阻尼调整系数有显著的影响.

图13 不考虑矩震级影响的阻尼调整系数中值的残差相对于相对能量持时的分布

图14为在T=0.1 s和3 s处，ξ=2%和20%时，式(6)的残差相对于D5-95的分布.对比图13和图14可知：在T=0.1 s处，残差相对于D5-95的分布与不考虑矩震级影响时基本相同，再次说明在短周期范围内D5-95对阻尼调整系数无显著影响，各阻尼比的残差随机对称地分布于零水平线的两侧；在T=3 s处，本文提出的包含线性矩震级项的回归方程极大地改善了该处残差相对于D5-95的分布，使得残差相对于D5-95不再呈曲线分布，残差基本随机对称地分布于零水平线的两侧，说明了本文模型能体现短周期范围外地震动持时对阻尼调整系数的影响.

图14 本文模型的残差相对于相对能量持时的分布

根据以上分析，由于矩震级与地震动持时的强相关性，本文所提出的包含线性矩震级项的阻尼调整系数模型能体现地震动持时对阻尼调整系数的影响.此外，由于谱衰减模型[15-19]中通常都包含了矩震级这个参数,所以本文模型更便于工程运用.

6 结 论

基于408条地震地面运动记录，研究了地震动持时、矩震级、断层距和场地类别对位移谱阻尼调整系数的影响，并在此基础上提出了能体现地震动持时和矩震级影响的阻尼调整系数回归模型，得出以下结论：

1)相对能量持时D5-95和矩震级对阻尼调整系数的影响与周期和阻尼比有关.在短周期范围内，D5-95和矩震级对阻尼调整系数无显著影响.在短周期范围外，D5-95和矩震级对阻尼调整系数的影响显著；当ξ<5%时，阻尼调整系数随D5-95和矩震级的增加而增加；当ξ>5%时，阻尼调整系数随D5-95和矩震级的增加而减小；阻尼比越远离5%，上述阻尼调整系数随D5-95和矩震级变化的趋势越显著.

2)在短周期范围内，观测点到断层面的最近距离(Rrup)和场地类别(Vs,30)对阻尼调整系数均无显著影响.在短周期范围外，当ξ<5%时，阻尼调整系数随Rrup的增加或随Vs,30的减小而增加，当ξ>5%时，阻尼调整系数随Rrup的增加或随Vs,30的减小而减小，但与持时和矩震级的影响相比，Rrup和Vs,30的影响较弱.

3)阻尼调整系数相对于阻尼比存在异方差性；阻尼比越远离5%时，阻尼调整系数的离散程度越大.

4)本文所提出的包含线性震级项的回归方程能体现矩震级和地震动持时对阻尼调整系数的影响，且模型的方差能体现阻尼调整系数相对于阻尼比的异方差性.

5)本文的研究结果可直接用于阻尼比为5%的位移谱衰减模型，也可为我国抗震设计规范的制订和修改提供参考.

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