以三视图为载体，培养学生空间想象能力

黄结伟

摘 要： 立体几何是数学高考中的重点内容，空间想象力薄弱的文科学生的立体几何比较差.本文主要探究如何通过三视图培养学生的空间想象能力，从而强化立体几何的复习效果.

关键词： 立体几何 三视图 空间想象能力

立体几何是数学高考中的重点内容.作为一线老师，我们应该如何抓好立体几何的高考复习呢？从2008年开始，高考对于学生空间想象能力的考查有所加强，加大了深度和力度，而空间想象能力正是学生最缺乏的.所以要想复习好立体几何，就要培养学生的空间想象能力.

由于笔者教文科，因此就文科班的教学谈谈复习体会与反思.在文科班，立体几何题的得分率往往较低.经过了解，发现学生三视图看不懂，更别说识别出它是什么.于是，笔者上第一节立体几何的复习课，就以最常规的空间几何体，让学生熟悉后再展开.天天拿着几何模型上课，一个星期后，再让他们想象出相应的几何体的直观图.学生对正三棱柱特别头疼，正规地放着感觉非常顺，但是将它推倒在地上，就完全卡死了，这说明学生的空间想象能力需要加强.在上课的时候，针对他们这个特点，专门设计一些不常规的放置方法，进一步增强学生的空间想象能力。对几何体进行截割后，让学生研究其三视图、体积，以及一些线面的位置关系.针对学生存在的一系列问题，笔者准备了以下内容.

（1）让学生观察正方体的三视图是如何得到的.

（2）在正方体中，用面A■BC■截取得到三棱锥A■-B■C■B的三视图.

（3）画出四棱锥D■-ABCD的三视图.

练习1：画出被截面截后的两部分的几何体的三视图.

练习2：已知某几何体的正视图、侧视图均是以2为边长的等边三角形，俯视图是圆，求出该几何体的表面积和体积.

重点梳理：圆锥的侧面积公式与扇形的面积公式.

练习3：已知正三棱柱的所有棱长都为2，请画出它的三视图，以及求出它的表面积和体积.

重点强调：正三棱柱的侧视图的形状.

变式1：已知A■B■=4，AA■=6，则正三棱柱的表面积和体积分别是？摇？摇？摇 ？摇.

变式2：已知正三棱柱，请画出它的三视图，以及求出表面积和体积.

练习4：侧棱长都为6，P点的投影落在矩形ABCD的中心上，请画出三视图

重点梳理：正视图、侧视图的形状.

变式1：已知正四棱锥的高为4，底面边长为2，则它的侧面积是？摇 ？摇？摇？摇，体积是？摇？摇？摇 ？摇.

变式2：已知正四棱锥的侧棱长均为4，底面边长为2，则它的侧面积是？摇 ？摇？摇？摇，体积是？摇？摇？摇 ？摇.

综合练习：

举一反三：

1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）：

（1）试画出它的直观图；

（2）求它的表面积和体积.

解：（1）直观图如图所示.

（2）由三视图可知，该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A■A，A■D■，A■B■为棱的长方体体积的■.

在直角梯形AA■B■B中，作BEA■B■，则AA■EB是正方形，EA■=BE=1.

在Rt中，BE=1，EB■=1，BB■=■.

几何体的表面积S=S■+2S■+S■+S■+S■=1+2×■×（1+2）×1+1×■+1+1×2=7+■（m■）

几何体的体积V=■×1×2×1=■（m■）.

该几何体的表面积为（7+■）m■，体积为■m■.

别解：以上是用割补法的思想解题.有的学生想到其实这个几何体就是一个四棱柱，是以直角梯形AA■B■B为底面的直四棱柱.

这个题目带给学生的反思是：一个几何体可以由不同的角度去看的，再复杂的组合体也是由简单的面组合在一起的.

2.（2007年高考海南卷）已知某几何体三视图如下所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得这个几何体的体积是？摇？摇？摇？摇.

学生在做这题时，非常容易得出底面是正方形，也知道是四棱锥，但该棱锥顶点的位置就不容易确定了，这也是这道高考题的难点.把几何体还原后，找到高，答案就出来了.有学生就觉得好像不用还原，也可以把答案做出来.首先这是四棱锥，底面是正方形，边长是20.由于正视图和侧视图的高反映的就是几何体的高度，因此高就是20，这样很快就可以得出答案.完全正确，于是，笔者把这种方法加以推广，学生觉得很容易上手.有些时候学生的想法是要挖掘的，更需要得到老师的肯定和表扬.

经过这样的梳理，学生就会对自己存在的问题一目了然，然后对症下药.笔者要求他们对越熟悉的几何体，就越应该从不同角度研究它们.从对2009年全国各地高考试题分析，立体几何的题型一般都是1个解答题，1～2个填空或选择题，考查的分数基本上都在17～23分.立体几何选择题与填空题的难度设计均为容易题或中档题，解答题通常也在前三题，大多数以中档题给出。笔者给学生分析立体几何的重要性，鼓励他们努力解出这些近20分的题.让学生做到考点心中有数，要掌握几何体的中心投影、平行投影，由几何体得正视图、俯视图和侧视图，以及依据三视图还原几何体等，学会读图、用图、作图.让学生剖析自身所存在的理解问题，把它们一一突破.三视图中，学生最容易错的就是侧视图.笔者告诉他们，看到的不一定是真实的，要让自己的眼睛有穿透力.只有想通这点，三视图才能有所突破，空间想象能力才能提高.

空间想象力的培养不是一朝一夕的事，在教学过程中，可通过“讲练结合”，以循序渐进的方式进行培养，使每个学生头脑中建立起一座“空间骨架”，会看图、想图、画图，逐步增强学生的空间想象能力.多与学生进行交流，关注学生的学习与心理，提高学生的学习积极性，让更多的学生乐于学数学，培养他们学好数学的自信心.

在2010年广州一模的文科试卷中，立体几何考查了一道小题、一道大题，分别是第5和第17题，笔者所教的班级第5题的得分是3.55，第17题的得分是6.925.全市的第5题的平均分是3.01，第17题的平均分是6.83.在笔者和学生的共同努力下，学生的立体几何成绩取得了进步，这是来之不易的，我们都特别珍惜，同时特别受鼓舞.空间想象能力的培养，仍然是立体几何复习的一大难题，但只要愿意花时间探究复习的方法，不断地完善，就会获益无穷.endprint

摘 要： 立体几何是数学高考中的重点内容，空间想象力薄弱的文科学生的立体几何比较差.本文主要探究如何通过三视图培养学生的空间想象能力，从而强化立体几何的复习效果.

关键词： 立体几何 三视图 空间想象能力

立体几何是数学高考中的重点内容.作为一线老师，我们应该如何抓好立体几何的高考复习呢？从2008年开始，高考对于学生空间想象能力的考查有所加强，加大了深度和力度，而空间想象能力正是学生最缺乏的.所以要想复习好立体几何，就要培养学生的空间想象能力.

由于笔者教文科，因此就文科班的教学谈谈复习体会与反思.在文科班，立体几何题的得分率往往较低.经过了解，发现学生三视图看不懂，更别说识别出它是什么.于是，笔者上第一节立体几何的复习课，就以最常规的空间几何体，让学生熟悉后再展开.天天拿着几何模型上课，一个星期后，再让他们想象出相应的几何体的直观图.学生对正三棱柱特别头疼，正规地放着感觉非常顺，但是将它推倒在地上，就完全卡死了，这说明学生的空间想象能力需要加强.在上课的时候，针对他们这个特点，专门设计一些不常规的放置方法，进一步增强学生的空间想象能力。对几何体进行截割后，让学生研究其三视图、体积，以及一些线面的位置关系.针对学生存在的一系列问题，笔者准备了以下内容.

（1）让学生观察正方体的三视图是如何得到的.

（2）在正方体中，用面A■BC■截取得到三棱锥A■-B■C■B的三视图.

（3）画出四棱锥D■-ABCD的三视图.

练习1：画出被截面截后的两部分的几何体的三视图.

练习2：已知某几何体的正视图、侧视图均是以2为边长的等边三角形，俯视图是圆，求出该几何体的表面积和体积.

重点梳理：圆锥的侧面积公式与扇形的面积公式.

练习3：已知正三棱柱的所有棱长都为2，请画出它的三视图，以及求出它的表面积和体积.

重点强调：正三棱柱的侧视图的形状.

变式1：已知A■B■=4，AA■=6，则正三棱柱的表面积和体积分别是？摇？摇？摇 ？摇.

变式2：已知正三棱柱，请画出它的三视图，以及求出表面积和体积.

练习4：侧棱长都为6，P点的投影落在矩形ABCD的中心上，请画出三视图

重点梳理：正视图、侧视图的形状.

变式1：已知正四棱锥的高为4，底面边长为2，则它的侧面积是？摇 ？摇？摇？摇，体积是？摇？摇？摇 ？摇.

变式2：已知正四棱锥的侧棱长均为4，底面边长为2，则它的侧面积是？摇 ？摇？摇？摇，体积是？摇？摇？摇 ？摇.

综合练习：

举一反三：

1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）：

（1）试画出它的直观图；

（2）求它的表面积和体积.

解：（1）直观图如图所示.

（2）由三视图可知，该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A■A，A■D■，A■B■为棱的长方体体积的■.

在直角梯形AA■B■B中，作BEA■B■，则AA■EB是正方形，EA■=BE=1.

在Rt中，BE=1，EB■=1，BB■=■.

几何体的表面积S=S■+2S■+S■+S■+S■=1+2×■×（1+2）×1+1×■+1+1×2=7+■（m■）

几何体的体积V=■×1×2×1=■（m■）.

该几何体的表面积为（7+■）m■，体积为■m■.

别解：以上是用割补法的思想解题.有的学生想到其实这个几何体就是一个四棱柱，是以直角梯形AA■B■B为底面的直四棱柱.

这个题目带给学生的反思是：一个几何体可以由不同的角度去看的，再复杂的组合体也是由简单的面组合在一起的.

2.（2007年高考海南卷）已知某几何体三视图如下所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得这个几何体的体积是？摇？摇？摇？摇.

学生在做这题时，非常容易得出底面是正方形，也知道是四棱锥，但该棱锥顶点的位置就不容易确定了，这也是这道高考题的难点.把几何体还原后，找到高，答案就出来了.有学生就觉得好像不用还原，也可以把答案做出来.首先这是四棱锥，底面是正方形，边长是20.由于正视图和侧视图的高反映的就是几何体的高度，因此高就是20，这样很快就可以得出答案.完全正确，于是，笔者把这种方法加以推广，学生觉得很容易上手.有些时候学生的想法是要挖掘的，更需要得到老师的肯定和表扬.

经过这样的梳理，学生就会对自己存在的问题一目了然，然后对症下药.笔者要求他们对越熟悉的几何体，就越应该从不同角度研究它们.从对2009年全国各地高考试题分析，立体几何的题型一般都是1个解答题，1～2个填空或选择题，考查的分数基本上都在17～23分.立体几何选择题与填空题的难度设计均为容易题或中档题，解答题通常也在前三题，大多数以中档题给出。笔者给学生分析立体几何的重要性，鼓励他们努力解出这些近20分的题.让学生做到考点心中有数，要掌握几何体的中心投影、平行投影，由几何体得正视图、俯视图和侧视图，以及依据三视图还原几何体等，学会读图、用图、作图.让学生剖析自身所存在的理解问题，把它们一一突破.三视图中，学生最容易错的就是侧视图.笔者告诉他们，看到的不一定是真实的，要让自己的眼睛有穿透力.只有想通这点，三视图才能有所突破，空间想象能力才能提高.

空间想象力的培养不是一朝一夕的事，在教学过程中，可通过“讲练结合”，以循序渐进的方式进行培养，使每个学生头脑中建立起一座“空间骨架”，会看图、想图、画图，逐步增强学生的空间想象能力.多与学生进行交流，关注学生的学习与心理，提高学生的学习积极性，让更多的学生乐于学数学，培养他们学好数学的自信心.

在2010年广州一模的文科试卷中，立体几何考查了一道小题、一道大题，分别是第5和第17题，笔者所教的班级第5题的得分是3.55，第17题的得分是6.925.全市的第5题的平均分是3.01，第17题的平均分是6.83.在笔者和学生的共同努力下，学生的立体几何成绩取得了进步，这是来之不易的，我们都特别珍惜，同时特别受鼓舞.空间想象能力的培养，仍然是立体几何复习的一大难题，但只要愿意花时间探究复习的方法，不断地完善，就会获益无穷.endprint

摘 要： 立体几何是数学高考中的重点内容，空间想象力薄弱的文科学生的立体几何比较差.本文主要探究如何通过三视图培养学生的空间想象能力，从而强化立体几何的复习效果.

关键词： 立体几何 三视图 空间想象能力

立体几何是数学高考中的重点内容.作为一线老师，我们应该如何抓好立体几何的高考复习呢？从2008年开始，高考对于学生空间想象能力的考查有所加强，加大了深度和力度，而空间想象能力正是学生最缺乏的.所以要想复习好立体几何，就要培养学生的空间想象能力.

由于笔者教文科，因此就文科班的教学谈谈复习体会与反思.在文科班，立体几何题的得分率往往较低.经过了解，发现学生三视图看不懂，更别说识别出它是什么.于是，笔者上第一节立体几何的复习课，就以最常规的空间几何体，让学生熟悉后再展开.天天拿着几何模型上课，一个星期后，再让他们想象出相应的几何体的直观图.学生对正三棱柱特别头疼，正规地放着感觉非常顺，但是将它推倒在地上，就完全卡死了，这说明学生的空间想象能力需要加强.在上课的时候，针对他们这个特点，专门设计一些不常规的放置方法，进一步增强学生的空间想象能力。对几何体进行截割后，让学生研究其三视图、体积，以及一些线面的位置关系.针对学生存在的一系列问题，笔者准备了以下内容.

（1）让学生观察正方体的三视图是如何得到的.

（2）在正方体中，用面A■BC■截取得到三棱锥A■-B■C■B的三视图.

（3）画出四棱锥D■-ABCD的三视图.

练习1：画出被截面截后的两部分的几何体的三视图.

练习2：已知某几何体的正视图、侧视图均是以2为边长的等边三角形，俯视图是圆，求出该几何体的表面积和体积.

重点梳理：圆锥的侧面积公式与扇形的面积公式.

练习3：已知正三棱柱的所有棱长都为2，请画出它的三视图，以及求出它的表面积和体积.

重点强调：正三棱柱的侧视图的形状.

变式1：已知A■B■=4，AA■=6，则正三棱柱的表面积和体积分别是？摇？摇？摇 ？摇.

变式2：已知正三棱柱，请画出它的三视图，以及求出表面积和体积.

练习4：侧棱长都为6，P点的投影落在矩形ABCD的中心上，请画出三视图

重点梳理：正视图、侧视图的形状.

变式1：已知正四棱锥的高为4，底面边长为2，则它的侧面积是？摇 ？摇？摇？摇，体积是？摇？摇？摇 ？摇.

变式2：已知正四棱锥的侧棱长均为4，底面边长为2，则它的侧面积是？摇 ？摇？摇？摇，体积是？摇？摇？摇 ？摇.

综合练习：

举一反三：

1.一几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）：

（1）试画出它的直观图；

（2）求它的表面积和体积.

解：（1）直观图如图所示.

（2）由三视图可知，该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A■A，A■D■，A■B■为棱的长方体体积的■.

在直角梯形AA■B■B中，作BEA■B■，则AA■EB是正方形，EA■=BE=1.

在Rt中，BE=1，EB■=1，BB■=■.

几何体的表面积S=S■+2S■+S■+S■+S■=1+2×■×（1+2）×1+1×■+1+1×2=7+■（m■）

几何体的体积V=■×1×2×1=■（m■）.

该几何体的表面积为（7+■）m■，体积为■m■.

别解：以上是用割补法的思想解题.有的学生想到其实这个几何体就是一个四棱柱，是以直角梯形AA■B■B为底面的直四棱柱.

这个题目带给学生的反思是：一个几何体可以由不同的角度去看的，再复杂的组合体也是由简单的面组合在一起的.

2.（2007年高考海南卷）已知某几何体三视图如下所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm）可得这个几何体的体积是？摇？摇？摇？摇.

学生在做这题时，非常容易得出底面是正方形，也知道是四棱锥，但该棱锥顶点的位置就不容易确定了，这也是这道高考题的难点.把几何体还原后，找到高，答案就出来了.有学生就觉得好像不用还原，也可以把答案做出来.首先这是四棱锥，底面是正方形，边长是20.由于正视图和侧视图的高反映的就是几何体的高度，因此高就是20，这样很快就可以得出答案.完全正确，于是，笔者把这种方法加以推广，学生觉得很容易上手.有些时候学生的想法是要挖掘的，更需要得到老师的肯定和表扬.

经过这样的梳理，学生就会对自己存在的问题一目了然，然后对症下药.笔者要求他们对越熟悉的几何体，就越应该从不同角度研究它们.从对2009年全国各地高考试题分析，立体几何的题型一般都是1个解答题，1～2个填空或选择题，考查的分数基本上都在17～23分.立体几何选择题与填空题的难度设计均为容易题或中档题，解答题通常也在前三题，大多数以中档题给出。笔者给学生分析立体几何的重要性，鼓励他们努力解出这些近20分的题.让学生做到考点心中有数，要掌握几何体的中心投影、平行投影，由几何体得正视图、俯视图和侧视图，以及依据三视图还原几何体等，学会读图、用图、作图.让学生剖析自身所存在的理解问题，把它们一一突破.三视图中，学生最容易错的就是侧视图.笔者告诉他们，看到的不一定是真实的，要让自己的眼睛有穿透力.只有想通这点，三视图才能有所突破，空间想象能力才能提高.

空间想象力的培养不是一朝一夕的事，在教学过程中，可通过“讲练结合”，以循序渐进的方式进行培养，使每个学生头脑中建立起一座“空间骨架”，会看图、想图、画图，逐步增强学生的空间想象能力.多与学生进行交流，关注学生的学习与心理，提高学生的学习积极性，让更多的学生乐于学数学，培养他们学好数学的自信心.

在2010年广州一模的文科试卷中，立体几何考查了一道小题、一道大题，分别是第5和第17题，笔者所教的班级第5题的得分是3.55，第17题的得分是6.925.全市的第5题的平均分是3.01，第17题的平均分是6.83.在笔者和学生的共同努力下，学生的立体几何成绩取得了进步，这是来之不易的，我们都特别珍惜，同时特别受鼓舞.空间想象能力的培养，仍然是立体几何复习的一大难题，但只要愿意花时间探究复习的方法，不断地完善，就会获益无穷.endprint