谈谈二次函数图像和性质的教学

马颖

二次函数在初中数学函数教学中的地位非常重要，又是学生难于掌握的教材内容.它既联系着一元一次方程、一元一次不等式，又是解决极值应用题的必要基础.《二次函数》教学的重点为二次函数的图像性质及应用，教学难点为a、b、c与二次函数的图像的关系.因此，必须想方设法使学生理解和掌握函数的图像和性质.

例如：为了讲清形如y=ax■+bx+c（a≠0）的图像和性质，我采用的教学程序是：从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函数的性质，并帮助学生总结性地记忆.

（1）首先从系数具体化的实例入手.先研究y=2x■及y=-2x■的图像和性质，再看y=2x■+3和y=-2x■-3的图像和性质，并反复把它们的开口方向、顶点坐标、对称轴等方面进行对照，这部分内容中等偏下的学生容易混淆，需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形分析.通过教学，学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识，学会了分析问题的初步方法.

在学生相当熟悉的情况下，才提出形如y=2x■-3x+1的函数的图像和性质，引导学生用配方法将函数式写成y=2x■+m的形式，即y=2（x-3/4）■-1/8.由于学生能熟练地找出y=2x■+3的对称轴方程是x=0，因此对照上式就容易找出y=2（x-3/4）■-1/8的对称轴方程是x-3/4=0，即x=3/4.用类比的方法找出这个二次函数的图像的顶点坐标（3/4，-1/8），最小值为-1/8，开口方向更是显而易见.

（2）根据上述得出的数据，可以以x=3/4为中心，选取适当的函数值列表、描点、画图，在画图时处处注意图像关于x=3/4的对称性.

（3）讨论图像与x轴的交点坐标，与函数值等于零、大于零、小于零之间的联系，对称轴左右两侧函数的增减情况，并利用图像反复讲清函数“递增”及“递减”的含意.

（4）根据抛物线与x轴的两个交点的横坐标可以求出方程2x■-3x+1=0的两根，及两个交点间的距离，不等式2x■-3x+1>0或2x■-3x+1<0的解集.由于所画的抛物线开口向上，因此抛物线有最低点（3/4，-1/8），这个点的纵坐标就是函数的最小值y=-1/8，这需要反复强调.

（5）启发学生从特殊的函数y=2x■-3x+1的研究中能推广到一般的二次函数y=ax■+bx+c（a≠0）配方法：

y=ax■+bx+c=a（x■+bx/a+c/a）=a[x■+bx/a+（b/2a）■-（b/2a）■+c/a]=a[（x+b/2a）■+（4ac-b■）/4a■]=a（x+b/2a）■+（4ac-b■）/4a

此时，抛物线的开口方向、对称轴方程、顶点坐标和极值也容易得到了，并要求学生作为公式牢牢记住：顶点坐标（-b/2a，（4ac-b■）/4a），对称轴方程x=-b/2a，极值y=（4ac-b■）/4a，并找出顶点的横、纵坐标与对称轴、极值的关系.

这样，通过“画图—观察—联系—归纳”的方法逐步培养学生根据函数的图像寻找规律，解决问题的能力，从而提高总结归纳和分析问题、解决问题的能力.在建构概念的过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想描述、研究变量之间变化规律的意义.

之后给出习题让学生解：

二次函数y=2x■+bx+c与y轴的交点为（0，3），图像的顶点A的坐标是（2，-1），（1）求这个二次函数图像与x轴两个交点间的距离；（2）将此图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个新的二次函数的图像，求新的二次函数的解析式；（3）设新的二次函数的顶点为C，若以A为圆心，AC为半径画圆，与y轴交于点B，D，求Cos∠BAD的值.

很多学生能利用已知条件画出草图，进行分析，从而能迅速得出：

（1）由题意：①a·0■+b·0+c=3②-b/2a=2③（4ac-b■）/4a=-1，并解得a=1，b=-4，c=3，顺利地写出了解析式y=x■-4x+3.

还有部分学生能根据条件：顶点坐标设出了y=a（x-2）■-1的函数关系式，再以（0，3）代入即得a=1，得函数式y=（x-2）■-1=x■-4x+3.

学生还能灵活地运用因式分解法把以上函数式写成y=（x-3）（x-1）的形式，从而找到了函数图像与x轴两个交点的横坐标，于是交点间的距离显而易见，为|3-1|=2.

（2）把函数式写成y=（x-2）■-1后再按条件平移，实际上只要把顶点A（2，-1）向左平移2个单位，向上平移1个单位，得新的顶点坐标为C（0，0），也就不难得到新的函数解析式为y=x■.

（3）以A为圆心，AC为半径画圆，则BD=2，AB=AD=■，∴Cos∠BAD=3/5.

经过练习发现：大部分学生都能运用草图进行分析，找出解题途径，在得出数据以后又能正确地画出函数的图像，能利用数形结合提高解题能力；部分数学基础相对较差的学生在老师的启发、引导下也能找出条件，解决该题中的基本问题，收到了良好的分层次教学效果.