基于Matlab的数学分析极限概念教学实践

邓宇龙

(湖南科技学院数学与计算科学系计算数学研究所,湖南永州425199)

数学分析是数学与计算科学系各专业的一门必修的重要的专业基础课程.由于数学分析中的一些数学概念十分抽象,长期以来对于该课程的学习,学生普遍感到非常困难.极限概念贯穿数学分析课程的始终,学生对于极限概念的理解直接影响到数学分析课程的学习和掌握.从以往的教学实践当中发现,学生对于极限概念的ε语言理解模糊,难于把握.因此,在数学分析教学中加强极限概念的教学尤为重要.

在数学分析课程里使用Matlab可以很容易的实现和验证所讲述的内容,这对于学生深刻理解和应用数学知识有着巨大的促进作用[1].Matlab有强大的图形图像功能,对于那些数学分析中难于理解的概念,采用Matlab的辅助教学,通过形象的几何解释,可化难为易,使数学分析的教学更生动和直观,引发学生的学习兴趣.本文结合Matlab语言和数学分析极限概念的特点,阐明Matlab在数学分析极限概念教学中的3种实践.

1 运用Matlab实现数列极限概念的理解

在Matlab打开figure(1)图形窗口,在命令窗口输入程序:

n=1:100;

an=n./(n+1);%数列

for i=1:100

plot(n(i),an(i),′rd′)%作数列图像

hold on%图形保持

pause %等待键盘输入操作

end

通过空格键或者回车键的键盘输入操作,可以再现数列an随着n变化所生成的点列的图形变化形式.图1是figure(1)图形窗口中an的最终极限形式.从图1可以看出1的任何邻域中都包含an的无穷多个点,因此an以1为极限.

如果用程序bn=(-1).^n.*an代替an,在图形窗口figure(2)中可以再现数列bn的生成过程,并且可以发现数列bn中的点在-1和1波动,因此bn的极限不存在.

图1 数列an的图像 图2 数列bn的图像

例1给出的程序中,只需要对an的表达式作相应修改,我们可以通过这种方法求出一系列的数列的极限或者利用它来判断数列极限的不存在.值得注意的是,数列an中n的幂次不能太高,一般不超过3次,否则超过Matlab所能容许的操作.

2 运用Matlab实现一元函数极限概念的理解

设函数f(x)的定义域为D,考察函数f(x)的极限就是考察自变量x在定义域D内变化时,相应的函数值f(x)的变化趋势.在高等数学所选用的教材中,函数极限概念普遍采用了定性描述的方式,即“若当x无限接近于x0∈D(x≠x0)时,函数f(x)无限逼近于某一个常数A,则称A为f(x)当x→x0时的极限.”这种定义有“只可意会不可言传”之感,因而难以理解[2].而数学分析采用定量的ε-δ语言更具有严密的逻辑性和高度的抽象性,学生更难于接受.对于一元函数求极限问题,利用Matlab提供的符号计算功能可以直接求解.由于数列可以看作定义域为自然数集的一类特殊的函数,因此我们也可以利用Matlab的符号计算功能求极限.虽然Matlab提供的符号计算功能可以调用库函数limit( )很方便地求出一元函数的极限,但是一元函数的极限概念从数值计算中根本无法理解.

根据数学分析中严格的函数极限ε-δ定义,对任给的ε>0,总存在与ε相应的δ(ε)>0,使得x进入x0的δ去心邻域时,f(x)的图像全部落在以直线y=A为中心线,宽为2ε的横带内.函数图像能直观形象的反映函数的变化趋势,通过函数图像,能够很好的体现抽象的一元函数极限概念.一些简单的易于理解的函数图像,学生很容易能作出,但一些复杂的抽象的图形,往往难于准确作出,也无法解释的清楚.这时,利用Matlab的作图功能,只需几行简单的命令,就能画出直观准确的函数图像,从而使函数在x趋于x0的变化趋势一目了然.

在Matlab命令窗口输入程序：

syms x%说明x是符号变量

fx=x/(x-1)-1/(x^2-x);%函数

ezplot(fx,[-5,5])%函数作图

grid on%作网格线

hold on; plot(1,2,′rd′)

xlabel(′图3 f(x)的图像′)

从图3可知,当x→1时,函数f(x)以2为极限.而当x→0时,由f(x)的图形知x→0+时,f(x)→+∞;x→0-时,f(x)→-∞.故f(x)当x→0时极限不存在.

图3 f(x)的图像 图4 g(x)的图像

函数整体的作图可以从函数图像变化趋势观察函数极限的情况,但是不能演示函数极限的生成过程.为了演示函数极限的变化情况,可以通过Matlab动画来展示.

在Matlab命令窗口输入程序,画出g(x)在[-1,1]上的图形：

for x=-1:0.01:0;%循环改变横坐标取值

g1=x.*sin(1./x);%函数g(x)

drawnow%截取图形

hold on%图形保持

plot(x,g1, ′r+′)%作g(x)在x=0的左极限

pause(0.1)%停留0.1秒

end%循环结束

hold on

for t=1:-0.01:0;%循环再次改变横坐标取值

g2=t.*sin(1./t);%函数g(x)

drawnow%截取图形

hold on

plot(t,g2, ′bd′)%作g(x)在x=0的右极限

pause(0.1)

end

hold on

plot(0,0, ′g.′)

title (′g(x)=xsin(1/x)′)%加图名

xlabel(′图4 g(x)的图像′)

图4演示了函数g(x)当x→0时的极限生成过程.可以看出g(x)随着x的减小,虽然频率越来越高作无限次振荡,但振幅越来越小趋近与0,因而函数g(x)当x→0时的极限为0.利用这种方法可以对任一函数的极限进行动画演示.对于极限不存在的情况,也可以通过动画演示来观察其变化情况[2].

3 运用Matlab对二元函数极限概念理解的实践

与一元函数极限概念类似,二元函数的极限也是反映函数值随自变量变化而变化的趋势.设函数f(P)的定义域是平面区域D,P0∈D,当P∈D且无限趋于P0时,f(P)无限趋于常数A,则称A为f(P)当P趋于P0时的极限.注意到P在区域D内沿着任意的路径趋于定点P0时,f(P)都要以A为极限.虽然利用Matlab作图功能,可以作出三维图形,但是根据函数图形却不能如一元函数一样直观的看出自变量趋于某定值时函数的变化趋势.

二元函数的极限知识还涉及到重极限、累次极限等概念,而重极限的存在是一个比较复杂的问题.一般不能通过累次极限来确定重极限,但是数学分析关于重极限和累次极限之间有这样的联系：如果二元函数f(x,y)的重极限和两个累次极限都存在,则三者必相等.换句话说,这个联系给出了一个判断累次极限交换顺序的充分而非必要条件,或者也可以说给出了一个判断重极限不存在的方法.

Matlab在求二元函数的极限时,用的是limit函数的嵌套来完成的.但是通过在Matlab中输入help limit命令,我们可以看到程序的说明并不可以用来求多元函数的极限.虽然有时确实能用limit函数嵌套碰巧得到真实的结果,但从实质上来说,多元函数极限的求法并不是一系列的一元函数分别求极限的问题.因此,我们在考虑多元函数极限问题时,一定要考虑重极限和累次极限的关系,注意验证结果.

4 结束语

将Matlab引入到数学分析极限概念的教学中,不仅有利于克服传统教学中讲解内容抽象、概念理解困难的不足,也有利于培养学生学数学、用数学的意识.在学习数学课程中,明白理解数学概念的重要性.值得注意的是,Matlab函数作图的功能尽管很强大,但是对于多元函数的极限问题,我们不能如一元函数一样,通过Matlab函数作图来清楚极限过程,对于函数列求极限问题,也没有找到适当的方法来描述极限函数.另外,数学分析课程主要讲授的还是数学的经典知识,即以极限概念为基础的微积分知识,Matlab在极限概念理解中的应用仅仅是起到辅助教学的作用,而不能喧宾夺主,淡化了学生对极限概念的理解和掌握,冲淡了学生对数学经典知识的学习.

[参 考 文 献]

[1] 张志涌.精通Matlab6.5版教程[M].北京:北京航空航天大学出版社,2003.

[2] 杨志明.Matlab动画在函数极限教学中的应用[J].数学教学研究,2010,29(7):45-48.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2009.