不定积分的代数解法

郑华盛

(南昌航空大学数学与信息科学学院，江西南昌330063)

众所周知，微积分学是高等数学的主要内容，积分运算与微分运算二者互为逆运算. 但积分的计算要比微分的计算更为复杂，更为灵活，更具有技巧性.文献[1]对不定积分的一些基本计算方法作了较为详细地介绍.文献[2]从微分的角度研究了不定积分的解法.本文主要从线性代数的角度研究如何求解不定积分，进而探索新的积分方法，提出一种计算不定积分的代数方法，并成功地应用于求解高等数学中几类特殊函数的不定积分.

1 主要结论

先给出有关分块矩阵逆的一个结论：

定理1设V为上全体可微函数所组成的一个线性空间，pi(x)∈V，(i=1, 2, …,n) ，p1(x) ,p2(x) ,…,pn(x)线性无关，

W=Span(p1(x),p2(x),…,pn(x))，f(x)∈W，

且微分运算D关于W是封闭的，即∀p(x)∈W，Dp(x)=p′(x)∈W，则

(i)D(p1(x),p2(x),…,pn(x))=(p1(x),p2(x),…,pn(x))A，其中A∈n×n；

(ii) 若Dp1(x),Dp2(x),…,Dpn(x) 线性无关，则A可逆；

(iii) 若A可逆，不妨设A-1=(bij)n×n，则

其中C为任意常数.

证(i)由已知，有

Dp1(x)=p′1(x)=a11p1(x)+a21p2(x)+…+an1pn(x),

Dp2(x)=p′2(x)=a12p1(x)+a22p2(x)+…+an2pn(x),

……

Dpn(x)=p′n(x)=a1np1(x)+a2np2(x)+…+annpn(x).

即

D(p1(x),p2(x),…,pn(x))=(p1(x),p2(x),…,pn(x))A，

其中A=(aij)n×n.

(ii) 若Dp1(x),Dp2(x),…,Dpn(x) 线性无关，则由

λ1·Dp1(x)+λ2·Dp2(x)+…+λn·Dpn(x)=0，

得λ1=λ2=…=λn=0 ，即

只有零解，从而得A≠0，即A可逆.

(iii) 若A可逆，不妨设A-1=(bij)n×n，则在相差任意常数的情况下，微分变换D可逆，且其逆变换D-1满足

D-1(p1(x),p2(x),…,pn(x))=(p1(x),p2(x),…,pn(x))A-1+C，

即

2 应用实例

为了验证本文方法的有效性，我们计算以下五种类型的不定积分.

解设f(x)=eαxcosβx, 则f′(x)=αeαxcosβx-βeαxsinβx，且由eαxcosβx及eαxsinβx求导后的表达式，可知选取基函数

p1(x)=eαxcosβx，p2(x)=eαxsinβx，

则有

D(p1(x),p2(x))=(p′1(x),p′2(x))=(p1(x),p2(x))A，

解设f(x)=cosαxsinβx, 则

f′(x)=-αsinαx·sinβx+βcosαx·sinβx，

且由sinαxsinβx及cosαxsinβx求导后的表达式，可知选取基函数

p1(x)=cosαxsinβx，p2(x)=sinαxcosβx，

p3(x)=sinαxsinβx，p4(x)=cosαxcosβx，

则有

D(p1(x),p2(x),p3(x),p4(x)) =(p′1(x),p′2(x),p′3(x),p′4(x))

=(p1(x),p2(x),p3(x),p4(x))A,

其中

而由引理1，得

其中s=α2-β2， 故由定理1得

解设f(x)=x2e3x, 则

f′(x)=2xe3x+3x2e3x，

且由xe3x及x2e3x求导后的表达式，可知选取基函数

p1(x)=x2e3x,p2(x)=xe3x,p3(x)=e3x，

则有

D(p1(x),p2(x),p3(x)) =(p′1(x),p′2(x),p′3(x))

=(p1(x),p2(x),p3(x))A，

注 (i)当m较大时，A为稀疏矩阵，可将A分块后由引理1求A-1，计算并不复杂；

解设f(x)=x3cos2x, 则f′(x)=3x2cos2x-2x3sin2x，且由x2cos2x与x3sin2x求导后的表达式，可知选取基函数

则有

D(p1(x),p2(x),…,p8(x))=(p1(x),p2(x),…,p8(x))A，

其中

而由引理1可先求B-1,D-1，再求A-1，得

故由定理1可得

解设f(x)=xeαxcosβx, 则

f′(x)= eαxcosβx+αxeαxcosβ-βxeαxsinβx，

且由eαxcosβx，xeαxcosβx及xeαxsinβx求导后的表达式，可知取基函数

p1(x)=xeαxcosβx,p2(x)=xeαxsinβx，

p3(x)=eαxcosβx,p4(x)=eαxsinβx，

则有

D(p1(x),p2(x),p3(x),p4(x))=(p1(x),p2(x),p3(x),p4(x))A，

其中

由引理1得

其中l=α2+β2， 故由定理1得

[参 考 文 献]

[1] 同济大学应用数学系. 高等数学(上册)[M]. 5版.北京：高等教育出版社，2005:182-221.

[2] 郭鹏云，云文在，田强，陈向华，宋志平. 不定积分解法研究[J]. 大学数学，2012,28(3)：149-153.

[3] 同济大学应用数学系. 线性代数[M].4版. 北京：高等教育出版社，2008:46-56；141-157.

[4] 北京大学数学力学系. 高等代数[M].北京：人民教育出版社，1978:177-189.