ζ(2k)的一种简便算法

周华生

(江苏常熟市中学 ，江苏常熟215500)

定理1设z∈，则

(1)

其中bn满足

或

且b0=1，b2k+1=0(k∈+).

设t=2iz,则

比较tn的系数得b0=1，且有

两边乘以(n+1)!，得

或

(2)

若将bn看成bn，上式可利用如下的二项式定理帮助记忆，即

(b+1)n+1-bn+1=0 (n=1,2,3，…).

由于zcotz为偶函数，故z2k+1的系数b2k+1=0(k∈+).

依次将n=1,2,3，…代入(2)，由b0=1可逐步求得

将t换回到z，可得

(3)

zcotz还有另一种展开形式，我们有

定理2当|z|<π时，

证首先，考虑coszx是偶函数，故可以在(-π,π)上展开为余弦级数.又

以x=π代入，得

(4)

所以

又当|z|<π时，

故

(5)

其中Bk=(-1)k-1b2k(k=1,2,3，…)称为贝努利数.

证比较(3),(5)，zcotz两种展开式相等，令Bk=(-1)k-1b2k，可得

因为z2k的系数相等，故有

化简，可得ζ(2k)的表达式.

(6)

公式(6)称为欧拉公式，其中Bk称为贝努利数，且

由公式(6)可得

(华南工学院1979年研究生入学试题)

此外还可求得

欧拉公式还有如下的一些应用：

[参 考 文 献]

[3] 华罗庚.高等数学引论(第一卷第二分册)[M].北京：科学出版社，1979：282-284.