从三届全国大学生数学竞赛看线性代数在高等数学中的应用

陈桂东， 崔周进

(1.解放军理工大学理学院，江苏南京211101； 2. 江苏海事职业技术学院，江苏南京211170)

全国大学生数学竞赛是一项面向本科生的全国性高水平学科竞赛，它为青年学子提供了一个展示数学基本功和数学思维的舞台. 自2010年起已连续举办三届，现已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一.竞赛分为数学专业和非数学专业组，其中规定的非数学专业组竞赛内容为理工科本科教学大纲所包含的的高等数学教学内容，并未涉及到线性代数，然而在这三届竞赛中都出现了与线性代数内容直接或间接相关的试题，体现了线性代数对高等数学较强的渗透性. 本文对此进行了分析，希望能够对这两门课的教学工作有所裨益.

1 矩阵、行列式在高等数学中的应用

解析 该题为第一届竞赛的决赛试题. 因为

由此推出

的元素之和，将其记为sumA. 另一方面，记

则

于是

从而命题得证.

注1 估计F(n)的值之所以困难，是由于其中e-n系数的形式复杂而难以理清，当采用矩阵表示以后，其形式变得简洁明了而便于处理. 事实上矩阵、行列式在高等数学中的向量积、混合积、旋度、Stokes公式等知识点中都有具体的应用，尽管它们大多是作为速记符号出现的，却能够使得这些知识点变得清晰而便于掌握，也体现了数学的简洁之美. 另一方面，作为现代数学语言的矩阵的作用远不止于此，矩阵的对角化在解线性微分方程组中的应用[1]充分说明了线性代数在高等数学中的广泛应用.

2 线性方程组在高等数学中的应用

例2设函数f(x)在点x=0的某邻域内有二阶连续导数，且f(0),f′(0),f″(0)均不为零. 证明存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得

解析 该题为第二届竞赛的决赛试题. 由题设可知，在x=0的某邻域内

于是

k1f(h)+k2f(2h)+k3f(3h)-f(0)

=(k1+k2+k3-1)f(0)+(k1+2k2+3k3)f′(0)h+(k1+4k2+9k3)f″(0)h2+o(h2).

其系数行列式为不等于零的Vandermonde行列式，故方程有唯一解，从而命题得证.

注2 线性方程组不仅是线性代数的主要内容，在高等数学多元函数微分学、空间解析几何、微分方程等章节中也有着重要的应用，同时也是数学解决实际问题的一个常用工具.

3 正交变换在求曲面积分中的应用

此时单位球面x2+y2+z2=1变成u2+v2+w2=1，则

注3 该命题即为普阿松公式. 正交变换能够保持几何体的形状、大小不变这一性质在积分学中有着广泛的应用[2]. 需要说明的是证明中我们未采用曲面的参数方程，而采用了学生更加熟悉的微元法来确定新坐标系下的面积微元表达式. 事实上对于某些积分曲面，如果不知道或者很难使用参数形式表示出来，则可尝试正交变换的方法[3].

在竞赛中，以上三题，尤其是例1和例3，参赛学生的得分率都非常低，这一方面反映了学生欠缺将数学不同学科知识相融合的能力. 另一方面也反映了我们在教学、竞赛辅导中缺少相关的引导. 事实上，线性代数与高等数学是大学理工科的两门重要的基础课．虽然这两门课解题方法有些差异，却密切相关，在很多方面都有内在的渗透. 例如二次型在函数极值、不等式中有着重要的应用，线性空间理论也可用于数列极限的求解. 而另一方面，高等数学中的许多内容，譬如函数的连续性，导数等都可广泛地应用于线性代数众多章节之中[4]. 如何在教学中将这两门课的内容更好地交叉、融合，近三届的全国大学数学竞赛在命题中作了积极的探索，给了我们许多有益的启示. 笔者认为, 这也是我们大学数学教学工作者所面临的一个有待进一步研究的课题.

[参 考 文 献]

[1] 李明泉. 线性代数在高等数学中的一些应用[J]. 长春师范学院学报，2007, 26 (4)：27-30.

[2] 凌征球, 龚国勇，龚文振. 高等代数在数学分析解题中的某些应用[J].玉林师范学院学报，2010, 31 (5)：34 -37.

[3] 米永生，梁静. 线性代数方法在高等数学中的渗透[J]. 石家庄学院学报, 2007, 9(6): 17-21.

[4] 米永生. 线性代数与微积分学问题与解法的渗透[J]. 大学数学,2007, 23(2)：108-111:185-189.