由建模走向“数学化”

黄芬芬

2011版数学课程标准提出，建模思想是数学的基本思想。它强调，数学符号化过程，数学规律的发现，数学法则的总结，数学原理的建构……其本质都是数学建模的过程。学生将生活情境“数学化”的过程，在数学学习中具有普遍性意义。摸清数学建模中的几个重要特性，是理解学生数学活动本质的要点之一。有效地把握教学方向，明确教学目标，从学生数学学习活动用度来说，其本质就是由数学建模实现“数学化”的过程。

一、“形式化”——让数学思维更加简约

在数学建模中，形式化是它的重点方向。当我们用数学符号表达数量及其关系，用抽象的数学概念表达数学思维，用图形表示物体的空间关系时，这些思考方式的变化，也就是数量关系和空间关系形式化的过程。这个过程，使我们的思维从繁复的“杂多”里解放。简化集约后的现实情境，经建模实现形式化，更易于数学思维对它进行“操作”，更符合人的思考的心理机制。例如，北师大版《生活中的数》一课中的1-10的数的教学（见下图）。

先让学生列举生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、两个苹果、三张船票等。接着，用小棒、圆圈、手指、计数器等记录这些数。这个过程，舍弃了熊的颜色、苹果的大小、船票上的图案……这时数学思维活动，处于“半抽象”的状态，减轻了思维的“负荷”，使操作更为简便。当要求学生用数字符号表示这些数时，学生的数学思维进入高度的形式化，也是生活情景到数学模型的抽象、简化的过程。从“生活中的数”到“数字符号”，是“数概念”与符号“对应结构”的形成，是数的“数学含义”与符号的融合。这些数学符号的“形式化”，给了我们极大的“自由空间”，进而使我们得以表达大数、发展小数和分数并进行更复杂的运算。

二、“结构化”——让数学关系成为整体

数学是描述数量关系与空间形式的科学。数学模型的形成，也就是从多个维度建构数学关系的过程。各种数学关系相互联系、多重交互，构成了“整体性”的结构。在教学过程中，帮助学生发现、揭示或理解数学情境中的各种关系，进而让学生通过抽象、建构得出数学模型，并帮助学生从总体上把握数学模型中各要素间的相互联系。例如，每一边可以放19个棋子的围棋棋盘，外围最多可以摆几个棋子？

如果不想一个一个地数，就必须对棋盘外围的棋子进行“结构化”，通过“结构化”，使弥散的“数学因子”形成一个有组织、有次序的整体。不同的“结构”将“规划”“包含”不同的“数量间的关系”，能使我们更加准确地把握数学问题的本质，正确选择解决问题的方向，利用建构的数学模型对数学问题展开有步骤的解答。数学模型的“结构化”具有重要的意义，通过了解结构中各“数学因子”之间的未知与已知联系，我们可以借助已知条件求出未知条件，借助各种形式的数学模型和推理，实现问题的解决。

三、“喻体化”——让隐性结构突显其形

在数学结构里，当关系是隐性的，或一些“要素”看不见的时候，数学就变得生涩难懂，产生巨大的距离感、生疏感。前苏联数学家马宁有一个论断：“数学是一种比喻。”数学模型可以借助“喻体”，揭开数学结构的神秘面纱，露出“曼妙的身段”。好的喻体，能让原本无形的数学结构“一目了然”，让枯燥的数学模型充满生活的趣味，焕发文化气息。重要的是，它使数学易于理解，容易让学生接受。如下图，这是美国加州小学数学第四册上的一个“方程模型”，这个数学模型，以杯子代表“未知数”，用筹码当“已知数”。

这个简单的“比喻”，形象的描绘了包含“未知数”的加法模型，让学生生动地理解了等式两边数量之间的关系，为学生进一步抽象出“X+3=5”这个方程式提供了很好的铺垫。从这个角度，我们可以看出，数学模型的建构，包括了“与自我的对话”和“与他人的交流”的价值。所以，好的“喻体”能使其形象，得以“浅显”，能被接受，使蕴藏在背后的隐性数量关系得以彰显出来。

四、“工具化”——让数学模型能够伸延

数学模型的工具化，指的是我们可以利用己经建构的数学模型进行描述，解释生活中的数量关系和空间形式，创造性地解决现实中的具体问题，形成学生的数学应用意识，培养学生的创新思维，让学生体会“数学有用”，体验数学的应用价值观。它使数学模型得以在“同构”问题中伸延，并拓展数学模型的利用空间。例如下面这个几何图形，我们可以通过“圆的面积公式模型”轻易地解决它。

先把它看成一个“圆环”，再用“圆环面积”除以2，也就是用“（大圆面积-小圆面积）÷2”来求面积。这里把“圆的面积公式模型”作为解决问题的“工具”。发现、建构、解释问题间的关系，将复杂的数量关系，转化成可以解读的数量间的联系。学生数学素养的提升，一方面离不开“工具箱”的备齐、备全；另一方面，又是对“工具”应用的延伸、拓展，以及灵活的掌握和创造性的应用。在不同的问题情境中，抽象出数学关系，把握数学本质，利用相应的数学模型工具，可以解决具体的数学问题，体验数学的实用价值。

五、“多样化”——让数学视角得以转化

数学模型的多样性指的是它的同构异型。同样的数学情景可能根据不同类型、方式建构数学模型，比如：数学语言描述，数式、图示、几何图形等，也可能在不同的抽象层级上建构数学模型。这便于我们从不同角度来审视数学关系、讨论数学问题，发挥数学模型解释、分析数学信息的最佳功能。例如，一桶油，连桶重15千克，用去一半后，连桶重9千克，这桶油重多少千克？

这道习题中，包含着几个关键的数量：“油连桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。简单地说，它反应的是“总体—部分”的关系。可以用这个图例来表示这些数量间的关系：

这个示意图例是在生活原型的基础上，对其进行简单的抽象、升华、重构而得到的“数学模型”。它既保留“原貌”，又能反应各部分间的关系。同时我们还可用维恩图、线段图、“分析树形图”、数学关系式、算式等多种形式，建构同构异型的数学模型，来反映 “总体—部分”结构。转换形式、变换视角，凸显内在数量间的相互关系。

建模，是学生思维走向数学化的重要环节。它为学生造就了一双数学的眼睛，把生活中纷繁复杂的现实情境，用抽象的方式，以模型作为载体，建构数量和空间关系，从而描述并凸显数学问题的本质，成为数学思考的一把“利器”，实现思维方式上的简约而经济，灵活能变通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的张力，使数学成为一门有生命力的基础学科。

（责任编辑：李雪虹）endprint

2011版数学课程标准提出，建模思想是数学的基本思想。它强调，数学符号化过程，数学规律的发现，数学法则的总结，数学原理的建构……其本质都是数学建模的过程。学生将生活情境“数学化”的过程，在数学学习中具有普遍性意义。摸清数学建模中的几个重要特性，是理解学生数学活动本质的要点之一。有效地把握教学方向，明确教学目标，从学生数学学习活动用度来说，其本质就是由数学建模实现“数学化”的过程。

一、“形式化”——让数学思维更加简约

在数学建模中，形式化是它的重点方向。当我们用数学符号表达数量及其关系，用抽象的数学概念表达数学思维，用图形表示物体的空间关系时，这些思考方式的变化，也就是数量关系和空间关系形式化的过程。这个过程，使我们的思维从繁复的“杂多”里解放。简化集约后的现实情境，经建模实现形式化，更易于数学思维对它进行“操作”，更符合人的思考的心理机制。例如，北师大版《生活中的数》一课中的1-10的数的教学（见下图）。

先让学生列举生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、两个苹果、三张船票等。接着，用小棒、圆圈、手指、计数器等记录这些数。这个过程，舍弃了熊的颜色、苹果的大小、船票上的图案……这时数学思维活动，处于“半抽象”的状态，减轻了思维的“负荷”，使操作更为简便。当要求学生用数字符号表示这些数时，学生的数学思维进入高度的形式化，也是生活情景到数学模型的抽象、简化的过程。从“生活中的数”到“数字符号”，是“数概念”与符号“对应结构”的形成，是数的“数学含义”与符号的融合。这些数学符号的“形式化”，给了我们极大的“自由空间”，进而使我们得以表达大数、发展小数和分数并进行更复杂的运算。

二、“结构化”——让数学关系成为整体

数学是描述数量关系与空间形式的科学。数学模型的形成，也就是从多个维度建构数学关系的过程。各种数学关系相互联系、多重交互，构成了“整体性”的结构。在教学过程中，帮助学生发现、揭示或理解数学情境中的各种关系，进而让学生通过抽象、建构得出数学模型，并帮助学生从总体上把握数学模型中各要素间的相互联系。例如，每一边可以放19个棋子的围棋棋盘，外围最多可以摆几个棋子？

如果不想一个一个地数，就必须对棋盘外围的棋子进行“结构化”，通过“结构化”，使弥散的“数学因子”形成一个有组织、有次序的整体。不同的“结构”将“规划”“包含”不同的“数量间的关系”，能使我们更加准确地把握数学问题的本质，正确选择解决问题的方向，利用建构的数学模型对数学问题展开有步骤的解答。数学模型的“结构化”具有重要的意义，通过了解结构中各“数学因子”之间的未知与已知联系，我们可以借助已知条件求出未知条件，借助各种形式的数学模型和推理，实现问题的解决。

三、“喻体化”——让隐性结构突显其形

在数学结构里，当关系是隐性的，或一些“要素”看不见的时候，数学就变得生涩难懂，产生巨大的距离感、生疏感。前苏联数学家马宁有一个论断：“数学是一种比喻。”数学模型可以借助“喻体”，揭开数学结构的神秘面纱，露出“曼妙的身段”。好的喻体，能让原本无形的数学结构“一目了然”，让枯燥的数学模型充满生活的趣味，焕发文化气息。重要的是，它使数学易于理解，容易让学生接受。如下图，这是美国加州小学数学第四册上的一个“方程模型”，这个数学模型，以杯子代表“未知数”，用筹码当“已知数”。

这个简单的“比喻”，形象的描绘了包含“未知数”的加法模型，让学生生动地理解了等式两边数量之间的关系，为学生进一步抽象出“X+3=5”这个方程式提供了很好的铺垫。从这个角度，我们可以看出，数学模型的建构，包括了“与自我的对话”和“与他人的交流”的价值。所以，好的“喻体”能使其形象，得以“浅显”，能被接受，使蕴藏在背后的隐性数量关系得以彰显出来。

四、“工具化”——让数学模型能够伸延

数学模型的工具化，指的是我们可以利用己经建构的数学模型进行描述，解释生活中的数量关系和空间形式，创造性地解决现实中的具体问题，形成学生的数学应用意识，培养学生的创新思维，让学生体会“数学有用”，体验数学的应用价值观。它使数学模型得以在“同构”问题中伸延，并拓展数学模型的利用空间。例如下面这个几何图形，我们可以通过“圆的面积公式模型”轻易地解决它。

先把它看成一个“圆环”，再用“圆环面积”除以2，也就是用“（大圆面积-小圆面积）÷2”来求面积。这里把“圆的面积公式模型”作为解决问题的“工具”。发现、建构、解释问题间的关系，将复杂的数量关系，转化成可以解读的数量间的联系。学生数学素养的提升，一方面离不开“工具箱”的备齐、备全；另一方面，又是对“工具”应用的延伸、拓展，以及灵活的掌握和创造性的应用。在不同的问题情境中，抽象出数学关系，把握数学本质，利用相应的数学模型工具，可以解决具体的数学问题，体验数学的实用价值。

五、“多样化”——让数学视角得以转化

数学模型的多样性指的是它的同构异型。同样的数学情景可能根据不同类型、方式建构数学模型，比如：数学语言描述，数式、图示、几何图形等，也可能在不同的抽象层级上建构数学模型。这便于我们从不同角度来审视数学关系、讨论数学问题，发挥数学模型解释、分析数学信息的最佳功能。例如，一桶油，连桶重15千克，用去一半后，连桶重9千克，这桶油重多少千克？

这道习题中，包含着几个关键的数量：“油连桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。简单地说，它反应的是“总体—部分”的关系。可以用这个图例来表示这些数量间的关系：

这个示意图例是在生活原型的基础上，对其进行简单的抽象、升华、重构而得到的“数学模型”。它既保留“原貌”，又能反应各部分间的关系。同时我们还可用维恩图、线段图、“分析树形图”、数学关系式、算式等多种形式，建构同构异型的数学模型，来反映 “总体—部分”结构。转换形式、变换视角，凸显内在数量间的相互关系。

建模，是学生思维走向数学化的重要环节。它为学生造就了一双数学的眼睛，把生活中纷繁复杂的现实情境，用抽象的方式，以模型作为载体，建构数量和空间关系，从而描述并凸显数学问题的本质，成为数学思考的一把“利器”，实现思维方式上的简约而经济，灵活能变通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的张力，使数学成为一门有生命力的基础学科。

（责任编辑：李雪虹）endprint

2011版数学课程标准提出，建模思想是数学的基本思想。它强调，数学符号化过程，数学规律的发现，数学法则的总结，数学原理的建构……其本质都是数学建模的过程。学生将生活情境“数学化”的过程，在数学学习中具有普遍性意义。摸清数学建模中的几个重要特性，是理解学生数学活动本质的要点之一。有效地把握教学方向，明确教学目标，从学生数学学习活动用度来说，其本质就是由数学建模实现“数学化”的过程。

一、“形式化”——让数学思维更加简约

在数学建模中，形式化是它的重点方向。当我们用数学符号表达数量及其关系，用抽象的数学概念表达数学思维，用图形表示物体的空间关系时，这些思考方式的变化，也就是数量关系和空间关系形式化的过程。这个过程，使我们的思维从繁复的“杂多”里解放。简化集约后的现实情境，经建模实现形式化，更易于数学思维对它进行“操作”，更符合人的思考的心理机制。例如，北师大版《生活中的数》一课中的1-10的数的教学（见下图）。

先让学生列举生活中的1、2、3......比如，生活中的一只熊、两个苹果、三张船票等。接着，用小棒、圆圈、手指、计数器等记录这些数。这个过程，舍弃了熊的颜色、苹果的大小、船票上的图案……这时数学思维活动，处于“半抽象”的状态，减轻了思维的“负荷”，使操作更为简便。当要求学生用数字符号表示这些数时，学生的数学思维进入高度的形式化，也是生活情景到数学模型的抽象、简化的过程。从“生活中的数”到“数字符号”，是“数概念”与符号“对应结构”的形成，是数的“数学含义”与符号的融合。这些数学符号的“形式化”，给了我们极大的“自由空间”，进而使我们得以表达大数、发展小数和分数并进行更复杂的运算。

二、“结构化”——让数学关系成为整体

数学是描述数量关系与空间形式的科学。数学模型的形成，也就是从多个维度建构数学关系的过程。各种数学关系相互联系、多重交互，构成了“整体性”的结构。在教学过程中，帮助学生发现、揭示或理解数学情境中的各种关系，进而让学生通过抽象、建构得出数学模型，并帮助学生从总体上把握数学模型中各要素间的相互联系。例如，每一边可以放19个棋子的围棋棋盘，外围最多可以摆几个棋子？

如果不想一个一个地数，就必须对棋盘外围的棋子进行“结构化”，通过“结构化”，使弥散的“数学因子”形成一个有组织、有次序的整体。不同的“结构”将“规划”“包含”不同的“数量间的关系”，能使我们更加准确地把握数学问题的本质，正确选择解决问题的方向，利用建构的数学模型对数学问题展开有步骤的解答。数学模型的“结构化”具有重要的意义，通过了解结构中各“数学因子”之间的未知与已知联系，我们可以借助已知条件求出未知条件，借助各种形式的数学模型和推理，实现问题的解决。

三、“喻体化”——让隐性结构突显其形

在数学结构里，当关系是隐性的，或一些“要素”看不见的时候，数学就变得生涩难懂，产生巨大的距离感、生疏感。前苏联数学家马宁有一个论断：“数学是一种比喻。”数学模型可以借助“喻体”，揭开数学结构的神秘面纱，露出“曼妙的身段”。好的喻体，能让原本无形的数学结构“一目了然”，让枯燥的数学模型充满生活的趣味，焕发文化气息。重要的是，它使数学易于理解，容易让学生接受。如下图，这是美国加州小学数学第四册上的一个“方程模型”，这个数学模型，以杯子代表“未知数”，用筹码当“已知数”。

这个简单的“比喻”，形象的描绘了包含“未知数”的加法模型，让学生生动地理解了等式两边数量之间的关系，为学生进一步抽象出“X+3=5”这个方程式提供了很好的铺垫。从这个角度，我们可以看出，数学模型的建构，包括了“与自我的对话”和“与他人的交流”的价值。所以，好的“喻体”能使其形象，得以“浅显”，能被接受，使蕴藏在背后的隐性数量关系得以彰显出来。

四、“工具化”——让数学模型能够伸延

数学模型的工具化，指的是我们可以利用己经建构的数学模型进行描述，解释生活中的数量关系和空间形式，创造性地解决现实中的具体问题，形成学生的数学应用意识，培养学生的创新思维，让学生体会“数学有用”，体验数学的应用价值观。它使数学模型得以在“同构”问题中伸延，并拓展数学模型的利用空间。例如下面这个几何图形，我们可以通过“圆的面积公式模型”轻易地解决它。

先把它看成一个“圆环”，再用“圆环面积”除以2，也就是用“（大圆面积-小圆面积）÷2”来求面积。这里把“圆的面积公式模型”作为解决问题的“工具”。发现、建构、解释问题间的关系，将复杂的数量关系，转化成可以解读的数量间的联系。学生数学素养的提升，一方面离不开“工具箱”的备齐、备全；另一方面，又是对“工具”应用的延伸、拓展，以及灵活的掌握和创造性的应用。在不同的问题情境中，抽象出数学关系，把握数学本质，利用相应的数学模型工具，可以解决具体的数学问题，体验数学的实用价值。

五、“多样化”——让数学视角得以转化

数学模型的多样性指的是它的同构异型。同样的数学情景可能根据不同类型、方式建构数学模型，比如：数学语言描述，数式、图示、几何图形等，也可能在不同的抽象层级上建构数学模型。这便于我们从不同角度来审视数学关系、讨论数学问题，发挥数学模型解释、分析数学信息的最佳功能。例如，一桶油，连桶重15千克，用去一半后，连桶重9千克，这桶油重多少千克？

这道习题中，包含着几个关键的数量：“油连桶的重量”“用一半后油的重量”“油的重量”“桶的重量”。简单地说，它反应的是“总体—部分”的关系。可以用这个图例来表示这些数量间的关系：

这个示意图例是在生活原型的基础上，对其进行简单的抽象、升华、重构而得到的“数学模型”。它既保留“原貌”，又能反应各部分间的关系。同时我们还可用维恩图、线段图、“分析树形图”、数学关系式、算式等多种形式，建构同构异型的数学模型，来反映 “总体—部分”结构。转换形式、变换视角，凸显内在数量间的相互关系。

建模，是学生思维走向数学化的重要环节。它为学生造就了一双数学的眼睛，把生活中纷繁复杂的现实情境，用抽象的方式，以模型作为载体，建构数量和空间关系，从而描述并凸显数学问题的本质，成为数学思考的一把“利器”，实现思维方式上的简约而经济，灵活能变通，重形式和易操作的特性。建模，能有效地提升思考的张力，使数学成为一门有生命力的基础学科。

（责任编辑：李雪虹）endprint