以创新能力培养为核心的高等数学教学内容设计及实践

杨玉华

[摘要]如何培养大学生的创新能力是高等教育的重要目标，也是经济社会高速发展的迫切需要。为了实现这一培养目标，大学生的创新能力培养必须从基础课开始。本文分析了目前高等数学教学现状及存在的问题，对高等数学的教学内容如何设计改进行研究和探索，通过改革教学内容、教学方法达到培养工程类高级人才的目的。

[关键词]创新能力 高等数学 教学设计

一、高等数学的目前的“教”与“学”

《高等数学》是理工科院校的一门重要基础理论课，很多学校已经将数学课列入了通式识教育的范畴。也就是所有专业、所有大学生都必须进行数学的学习。但是由于我国基础教育长期以来受传统的教育思想影响，采用的教学方式大部分是“讲解式教学”、学生的学习方法是“接受性学习”。教师往往把教学理解为讲解知识技能、概念、原理，进行灌输式的教学，使学生对教师产生了很强的依赖心理，忽视了学生创新能力的培养。学生也往往把学习理解为习诵、模仿和做题，缺乏研究性学习的动力。高等教育的跨越式发展，从精英教育到大众教育，学生的整体水平下移；功利性学习，特别是为了某种目的学习，使这一现象在学生当中更是普遍存在。这与高等学校培养人才的培养目标相差甚远。如何改变这种现状是广大教学工作者的责任。针对基础课教学，首先要让学生对你所教的内容有兴趣，这就需要对教学内容进行设计，使学生变被动学习为主动学习.在掌握数学知识的过程中，能逐步领会到数学的精神实质和思想方法，在潜移默化中积累优良的素质；更重要的是通过数学课程的学习，不仅积累数学知识和方法，掌握必要的工具和技巧，而是培养学生的工程能力和创新能力以，及提高学生将数学有效地用于解决实际的能力。

二、高等数学教学内容设计的指导思想

（1）强化基础

学习是创新的基础。高等数学中的微积分内容是牛顿、莱布尼茨在前人基础上通过纯清概念、提炼方法、创设符号而创造的。牛顿说自己是“站在巨人的肩上”。因此，教学内容和方法应当引导学生掌握《高等数学》的基本概念、基本理论、基本方法；加强数学基础理论的推理论证，培养学生的逻辑思维能力。

（2）面向创新

创新往往是发现“异中之同”，牛顿、莱布尼茨创立微积分，分别是从物理与几何的不同思想基础、不同研究方向出发，发现了表面上完全不同的微分与积分的联系，建立了“牛顿———莱布尼茨公式”，找到了求积分的简易方法。这就是发现问题、提出问题从而解决问题的过程，多疑必会多思，多思就可以达到多悟。以发现问题、分析问题和解决问题为主要思路，深化对数学知识的理解，培养学生的创新能力。

（3）突出实践

以研究性、开放性问题的设计为线索，培养学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

三、高等数学教学内容设计

（1）加强数学文化的建设

通过学生对数学文化的了解，提高学生学习数学的兴趣。在教学内容中，对重要概念我们可以追根求源，介绍一些数学大师发现这些概念的过程，让学生感受大师们的人格魅力。例如，最早的导数的概念及表现形式，是谁提出来，与现在我们使用的概念有何异同？经历了怎样的进化过程？结合这些微积分的重要概念的形成过程，让同学们感受这些数学大师们的为科学的献身精神，让学生认识学习不能太功利，要想成功就应该有一种为科学献身的精神。再例如，讨论空间解析几何时，可以简单的介绍一下解析几何的奠基人笛卡尔。笛卡儿是法国数学家、哲学家、物理学家、生物学家。也许正是由于研究生物、航海之需，笛卡尔曾经参与望远镜和显微镜的设计，这就需要研究几何问题。他痛感当时占数学统治地位的几何方法有两大弊端，一是过于依赖对图形的的绘制和度量，很难准确。二是过于依赖精巧的逻辑思维，往往一个几何问题一个方法，效率太低。能否用代数方法计算几何量？能否用代数方程描述几何图形及证明几何性质？这就是催生解析几何的背景。他的基本思想是要建立起一种普遍的数学，使算术、代数和几何统一起来.笛卡儿的功绩是把数学中两个研究对象“形”与“数”统一起来，并在数学中引入“变量”，完成了数学史上一项划时代的变革。

（2）规范教学内容

从问题开始，引导学生在已有知识的基础上，通过想象、猜测，对某些复杂的疑难问题进行探索，利用基础知识和基本方法进行创造性联想，吸引学生，抓住学生思维，提高学生学习数学的兴趣。然后引导学生去分析、研究、探索，归纳、总结，培养学生的数学思维能力。

例如，交错级数的收敛判定定理教学设计：

复习级数收敛的概念----部分和数列有极限及数列收敛的几何意义。观察数列收敛和交错级数部分和数列的几何图形：

提出问题：问题1.两张几何图形有何不同？让学生自己给出观察结果：第一张图曲线越来越平缓，曲线的纵坐标越来越接近一个确定的数值。第二张图形是锯齿状的，这是由于交错级数的一般项确定的。

问题2.要使级数收敛，从几何图形上看应该做些什么？

问题3.缩小锯齿的高度，让锯齿高度趋近于零，在数学上怎样体现？

学生自己会提出交错级数一般项中un单调减小且趋于零。在回答问题中提练出交错级数收敛的条件，也就是莱布尼兹判别法。通过教学内容设计培养了学生分析问题解决问题的能力。

（3）加强创新能力问题的设计

在掌握了《高等数学》的基本概念、基本理论、基本方法的基础上，学生动手能力的培养是学生创新能力培养的一个重要方面。根据所学内容设计一些创新能力培养的问题。

例如，针对极限运算法则可以设计这样的问题：若果条件不成立，会出现什么情况？让学生对各种不同情况举出反例。连续函数的复合定理：u=g（x）在x0处连续，且u0=g（x0），而y=f（u）在u0连续，则复合函数y=f（g（x））在x0处连续；我们可以给学生提出带有启发性的问题，若u=g（x）在x0处间断，且u0=g（x0），而y=f（u）在u0连续，则复合函数y=f（g（x））在x0处是否连续，会出现什么情况？

学习了极限的夹逼定理和导数概念，可以设计这样一个问题：导数有夹逼定理吗？

通过这些问题，让他们学生认真钻研教材，与老师、同学交流，给出自己的结论并加以说明，培养学生的发散思维。通过创设富有吸引力的数学活动，形成学生主动探索新知的学习氛围，使形式多样且富有趣味性的教学活动构成研究性学习的主线。

四、实践情况

目前，上述研究内容已在我校2011级、2012级试行。每年实验班容量60人，动力班30人，电力班30人。高等数学课程指导思想是：强化基础、面向创新、突出实践。为了适应这一培养目标，高等数学的教学内容进行了适当的调整，适当地引入了一些数学文化内容，强调了重要概念的发现过程，加强了研究性、开放性问题的设计。

为了考察实验班的教学效果，实验班考试的内容与普通班略有不同。基础题和普通班比有所减少。提高了中等难度和难题比例。普通班只有一个难题，占10分；二实验班有两个难题，占20%。实验将难题放在了自选难度部分。自选难度部分试题分为两种：一种是难题，有两个题占20分。一种是中等难度占10分。若选难题虽然得分高，但冒的风险也比较大，可能解答不出来。以2012-2013（1）的期末考试成绩为例，全年级考试的优秀率下降的非常多，全年级的优秀率在5%左右，而实验班的成绩优秀率达到45.9%。

令一方面，研究性作业在两个年级采用的形式不同。2011级同学采用自选一些研究性问题，完成一篇小论文或写一篇学习体会。有的同学谈的学习体会非常深刻。充分认识到了“极限”的基础作用。正是极限思想的诞生，解决了生活中不能解决的问题。从“正数、有理数”到“实数”，从“平均速度”到“瞬时速度”、“变化率”等问题迎刃而解。有的同学着重于开拓性问题和研究性问题。将定理的条件和结论进行推广。大家都知道，极限有夹逼定理，根据这一结论，实验班有三、四个同学提出了导数存在的夹逼定理形式、级数收敛的夹逼定理形式。有同学讨论了定理条件的改进。例如，有界闭区间上的连续函数一定有界这一定理中的连续条件可以改进吗，可不可用其它条件代替。如果连续改成有有限个第一类间断点，结论还成立吗？像这类问题还很多，不一一列举。

通过这说明两年的教学实践，说明我们的教学内容和方法是行之有效的。不仅是学生学习了数学知识和方法，掌握必要的工具和技巧，更重要的是培养学生的工程能力和创新能力以，及提高学生将数学有效地用于解决实际的能力。

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[4]董倩，刘东燕，黄林青，卓越土木工程实践教学体系构建，中国大学教学，2012（1）77-80.

（作者单位：华北电力大学河北保定）