基于单调递增函数的新的强化缓冲算子的构造及其应用

韩然，吴正朋

(中国传媒大学理学院，北京 100024)

1 引言

灰色系统的特点是研究小样本和贫信息等不确定性问题，由于冲击扰动系统的大量存在，导致了定量预测结果与人们直观的定性分析结论大相径庭的现象经常发生。问题的症结不在于模型的优劣，而是由于系统数据因系统本身受到某种冲击波的干扰而失真。因此，寻求定量预测与定性分析的结合点是摆在每一位预测工作者面前的一个首要问题。灰色系统的理论的主要任务之一就是根据社会、经济、生态等系统的行为特征，寻求不同系统变量之间或系统变量自身的数学关系和变化规律，其中的“新信息优先原理”是灰色系统理论的信息观，即认为新信息对认知的作用大于老信息，赋予新信息较大的权重可以提高灰色建模、灰色预测、灰色决策等的功效，其中的方法体系——灰色序列生成，是指通过信息覆盖，选择适当的方法对原始数据进行挖掘、整理以寻求系统变化规律的技术，刘思峰教授在文献[1-4]中提出了冲击扰动缓冲算子的概念，并构造了若干强化缓冲算子。本文在上述研究的基础上，引入了插值函数并提出了一类新的强化缓冲算子的构造，通过研究其特性和实例验证了本文构造的强化缓冲算子的有效性，从而拓广了灰色系统模型的应用范围。

2 基本概念

定义1 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，若

①∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)>0，则称X为单调增长序列；

②∀k=2，3，…，n，x(k)-x(k-1)<0，则称X为单调衰减序列；

③若∃k，k′{2，3，…，n}有

定义2 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为系统行为数据序列，D为作用于X的算子，X经算子D作用后所得到序列记为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，则称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。

对序列连续作用，可得二阶算子，一直可以作用到r阶算子，分别记为XD2，…，XDr。

定义3 设X为系统行为数据序列，D为序列算子，当X为单调增长(单调衰减或振荡)序列，缓冲序列XD比行为数据序列X的增长速度(衰减速度)增强或振幅增大，则称缓冲算子D为强化缓冲算子。

公理1(不动点公理)设X为系统行为数据序列，D为序列算子，则D满足x(n)d=x(n)。

公理2(信息充分利用公理)系统行为数据序列X中的每一个数据x(k)(k=1，2，…，n)，都应充分参与算子作用的全过程。

公理3(解析化与规范化公理)任意的x(k)d(k=1，2，…，n)，都可以由一个统一的x(1)，…，x(n)的初等解析表达式表达。

满足上述三公理的序列算子称为缓冲算子，XD称为缓冲序列。

由文献[5]知，为了保证缓冲算子公理体系的严密性，我们认为缓冲算子还应满足第四个公理。

公理4(单调性不变公理)设X为系统行为数据序列，X经序列算子D作用后所得数据序列为XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，则序列XD与序列X的单调性必须保持一致。

定理1(1)设X为单调增长序列，XD为缓冲序列，则D为强化缓冲算子⟺x(k)≥x(k)d，k=1，…，n；

(2)设X为单调衰减序列，XD为缓冲序列，则D为强化缓冲算子⟺x(k)≤x(k)d，k=1，…，n；

(3)设X为振荡序列，XD为缓冲序列，D为强化缓冲算子，则

由定理1可知，单调增长序列在强化缓冲算子作用下，数据萎缩；单调衰减序列在强化缓冲算子作用下，数据膨胀。

3 新的强化缓冲算子的构造

定理2 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统数据序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n为严格单调递增函数，fi>0，gi为fi的反函数，其缓冲序列为XD1=(x(1)d1，x(2)d1，…，x(n)dn)，其中

证明：容易验证，D1满足缓冲算子三公理。所以D1为缓冲算子。下面将证明D1为强化缓冲算子。

(1)当X为单调增长序列时，有

0

因为fi严格单调递增，且fi>0则

又因为gi为fi的反函数，则

≤gi(fi(x(k)))=x(k)，

由定理1知D1为强化缓冲算子。

(2)当X为单调衰减序列时，有

x(k)≥…≥x(n)>0，

因为fi严格单调递增，且fi>0则

“我是梅西，现在慌的一批”主要是因为俄罗斯世界杯比赛网友调侃梅西而诞生的梗。慌得一批是网络用语，其含义为恐惧、不安的意思。2018年世界杯期间，作为五届金球奖得主梅西0进球，又失点，导致最后阿根廷1:1平冰岛。

又因为gi为fi的反函数，则

由定理1知D1为强化缓冲算子。

在这里，称D1为广义平均强化缓冲算子。

定理3 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统数据序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n为严格单调递增函数，fi>0，gi为fi的反函数，其缓冲序列为XD2=(x(1)d2，x(2)d2，…，x(n)dn)，其中

k=1，…，n。则当X为单调增长序列、单调衰减序列时，D2为强化缓冲算子。

证明：容易验证，D2满足缓冲算子三公理。所以D2为缓冲算子。下面将证明D2为强化缓冲算子。

(1)当X为单调增长序列时，有

0

因为fi严格单调递增，且fi>0则

0

又因为gi为fi的反函数，则

x(k)d2=gi

≤gi(fi(x(k)))=x(k)

由定理1知D2为强化缓冲算子。

可仿定理2证明当X为单调衰减序列时，D2为强化缓冲算子。这里称D2为广义加权平均强化缓冲算子。

定理4 设X=(x(1)，x(2)，…，x(n))为非负的系统数据序列，x(k)>0，k=1，2，…，n，fi，i=1，…，n为严格单调递增函数，fi>0，gi为fi的反函数，其缓冲序列为XD3=(x(1)d3，x(2)d3，…，x(n)d)，其中

k=1，…，n。则当X为单调增长序列、单调衰减序列时，D3为强化缓冲算子。

证明：容易验证，D3满足缓冲算子三公理。所以D3为缓冲算子。下面将证明D3为强化缓冲算子。

(1)当X为单调增长序列时，有

0

因为fi严格单调递增，且fi>0则

又因为gi为fi的反函数，则

≤gi(fi(x(k)))=x(k)，

由定理1知D3为强化缓冲算子。

可仿定理2证明当X为单调衰减序列时，D3为强化缓冲算子。这里称D3为广义几何平均强化缓冲算子。

4 实例分析

引用文献[2]中的实例来验证本文强化缓冲算子在GM(1，1)预测过程中的作用。选取2000-2006年中国人均电力消费量作为原始数据序列，见表1。

表1 中国人均电力消费量 单位：kwh

(其中P代表人均电力消费量)

目前，中国处在经济发展的工业化进程中，经济的发展对电力的依赖比较大。本文以2000-2005年中国人均电力消费量的原始数据序列作为建模数据，2006年数据作为模型检验数据。技术人均电力消费量环比增长依次为：9.125%，8.091%，11.132%，9.499%，13.933%，15.09%，年平均增长率为9.468%。对原始数据序列进行准光滑性检验，可以计算当t≥2003时，光滑比分别为：0.401、0.313、0.272、0.246，均在(0，0.5)内，且光滑比递减，满足准光滑性条件，因此原始序列的一次累加生成序列具有准指数规律[1]。但是明显看出，原始序列前半部分增长速度有点慢，后半部分增长速度较快，因此，最好要对原始数据序列进行平滑，以削弱冲击扰动因素的干扰，凸现数据的规律性。

为此，取fi(x)=x2，gi(x)=x0.5，i=1，…，n来构造缓冲算子，以本文构造的缓冲算子对原始数据进行二阶强化处理，建立预测模型，并和原始数据序列直接建模进行比较，如表2可见：

表2 GM(1，1)模型

由表2可知，原始数据序列经过强化缓冲算子D1、D2、D3二次作用后，预测相对误差分别为3.28%，3.84%，1.36%，所得到的强化缓冲序列都比原始数据序列直接建模的预测相对误差5.04%要小，其中D3作用后得到强化缓冲序列的误差最小，预测值为252.78，比较接近观测值249.4，预测精度最高。并且本文构造的强化缓冲算子的一步预测精度都比文献[2]中的精度要高。

5 结论

本文在已有的文献基础上，根据严格单调递增函数和时间序列的平均发展速度的思想构造了一类新的强化缓冲算子，用所构造的缓冲算子对具有前半部分增长速度较慢，而后半部分增长速度较快特征的原始数据序列与二阶强化缓冲序列分别进行了预测精度比较。实例结果表明：(1)用D1、D2和D3强化缓冲算子处理的缓冲序列预测精度比原始数据序列有显著提高；(2)通过比较3个新的强化缓冲算子作用后的强化缓冲序列的预测值可以发现，D1、D2和D3作用的强化缓冲序列预测值逐渐逼近观测值，其中原始序列经过D3作用后，预测相对误差最小。D3强化缓冲算子能够充分有效地消除原始数据序列中的冲击扰动因素的干扰，显现数据的规律性。且显示可通过选择不同的严格单调函数f，g来提高预测精度。因此，对于具体的数据，如何选择严格单调函数f，g是接下来研究的重点。

[1]刘思峰，党耀国，方志耕，等.灰色系统理论及其应用[M].北京：科学出版社，2004：27-29.

[2]崔立志，刘思峰，吴正朋.新的强化缓冲算子的构造及其应用[J].系统工程理论与实践，2010，30(3).

[3]刘思峰.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子[J].华中理工大学学报，1997，25(1)：25-27.

[4]谢乃明，刘思峰. 强化缓冲算子的性质与若干实用强化算子的构造[J]. 统计与决策，2006(4)：9-10.

[5]党耀国，刘斌，关叶青.关于强化缓冲算子的研究[J].控制与决策，2005，20(12)：1332-1336.

[6]关叶青，刘思峰.强化缓冲算子序列与m阶算子作用研究[J].云南师范大学，2007，27(1)：32-35.

[7]Liu Si-feng. The three axioms of buffer operator and their applications [J].The Journal of Grey System，1991，3(1)：39-48.