基于功率谱灵敏度分析的结构损伤识别方法

郑泽栋，陈伟欢，吕中荣，刘济科

(中山大学 工学院 应用力学与工程系，广州 510006)

基于振动结构损伤检测方法具有非破坏性、快速、方便等优点，已广泛应用于结构状态评估与损伤识别[1]。其中基于灵敏度分析的损伤识别算法被认为较有效。通过建立模态频率及振型[2-3]、附加质量[4]、自回归系数[5]、频响函数[6]或结构动态响应[7-8]等可对结构单元刚度灵敏度矩阵求解结构损伤位置及损伤程度。然而此类算法[2-5]大多停留在少量参数(如模态频率)对结构参数灵敏度分析，必会丢失诸多有效信息，较难适应于高自由度多参数的复杂结构。基于频响函数灵敏度分析方法需同时已知激励及响应信息，而实际中激励却未知。基于响应灵敏度分析的时域损伤识别算法[7-8]能有效避开以上缺点；但时域响应具有偶然性，对随机环境振动激励下土木工程结构应用较困难。

本文研究基于功率谱灵敏度分析的损伤识别算法，先将激励谱参数化，利用随机振动虚拟激励法获得平稳随机激励下结构响应功率谱密度函数对结构损伤参数及激励谱参数的灵敏度，采用有限元模型修正实现结构损伤识别与激励谱识别。经剪切结构损伤识别数值结果表明，该方法仅用有限个传感器频域数据，亦能较好识别结构损伤及激励谱。

1 随机振动虚拟激励法

虚拟激励法[9]为随机振动领域突破性发展，对推进随机振动成果实用性具有重要意义，已广泛用于求解大型土木结构的随机地震响应、风激随机响应及车辆结构优化[10]等。本文讨论的随机激励主要为多点完全相干平稳激励，暂不考虑其它复杂情况。

1.1 结构单点平稳激励

线性系统受自谱密度Sff(ω)单点平稳随机激励f(t)时，响应x自功率谱Sxx(ω)为

Sxx=|H|2Sff

(1)

式中：H为频率响应函数，表示为

x=Heiωt

(2)

(3)

由式(3)应有

(4)

式中：*表示共轭。

由此获得结构随机响应功率谱。响应与激励间关系为线性，虚拟激励法即能应用。上式未对输入、输出量进行限制，即激励可以是位移、速度、加速度或外力、扭矩等，响应则可任意为位移、内力或应变等。

1.2 结构多点完全相干平稳激励

结构随机地震响应、风激随机响应等均属结构受多点完全相干平稳激励情形，此可视为广义单激励问题，将以上方法稍加推广即可简单解决。

在频域中求解线性结构平稳随机响应的传统公式为

Sxx=H*SffHT

(5)

式中：Sff为已知激励谱矩阵；H为传递函数矩阵；Sxx为待求响应谱矩阵；上标*，T分别表示矩阵共轭及转置。

Sff可分解为

Sff=a*aTS0

(6)

构造虚拟简谐激励为

(7)

求出简谐响应x,即

x=beiωt

(8)

则

Sxx=x*xT=b*bT

(9)

(10)

所以

(11)

从而

b*bT=H*a*aTS0HT=H*SffHT

(12)

比较式(5)、(12)即可证明式(9)。

2 基于功率谱灵敏度分析的损伤识别方法

多自由度结构受迫振动有限元方程为

(13)

式中：M，K，C分别为系统质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵。阻尼矩阵采用Rayleigh阻尼模型[11]，即

C=a1M+a2K

(14)

2.1 响应功率谱对损伤参数灵敏度

(15)

式(5)为结构受简谐激励受迫振动，结构简谐响应可由式(8)、(11)求得。为求得结构简谐响应对结构损伤参数αi的灵敏度，式(15)两边对损伤参数求偏导,即

(16)

式(16)右边可写成简谐激励形式为

(17)

结构响应可写为

x=(c+d)eiωt

(18)

(19)

(20)

结构简谐响应对损伤参数的灵敏度可写为

(21)

(22)

(23)

响应功率谱可写为

Sxx=x*xT=c2+d2

(24)

(25)

(26)

响应功率谱对结构损伤参数灵敏度为

(27)

(28)

(29)

2.3 损伤参数识别

为寻找损伤参数αi使计算的响应功率谱与测量的响应功率谱匹配最好，即

δR=Sαδα

(30)

(31)

损伤参数增量向量δα可直接用最小二乘法求得：

(32)

实际损伤检测中，直接用最小二乘法一般不能获得有界解，因而得不到有效解，但采用阻尼最小平方法可获得有效、有界解[12]为

(33)

式中：λ为正则化参数，本文用L曲线方法[13]获得该参数最优。

修正后损伤参数向量为

α=α0+δα

(34)

式中：α0为无损伤时结构损伤参数向量。

2.4 损伤参数与激励谱参数识别迭代算法

对激励谱、结构未损模型及结构损伤后测量响应功率谱(以加速度响应功率谱为例)已知时，识别结构损伤参数可通过迭代步骤获得：

(1) 由式(26)计算给定激励谱下初始结构(无损伤结构)的响应功率谱，由式(29)计算响应功率谱对损伤参数的灵敏度，形成灵敏度矩阵；

(2) 用式(30)获得测量响应功率谱与计算响应功率谱差值δR；

(3) 由式(33)计算损伤参数增量δα并利用式(34)计算修正后的损伤参数α；

(4) 重复(1)～(3)，直至前后两步增量δα达到较小误差容许值：

(35)

3 数值算例

考虑15自由度集中质量剪切模型见图1，每层集中质量2×104kg，每层剪切刚度3.23×104kN/m，前两阶阻尼比取0.02。损伤模拟设为每层刚度折减，即

Ei=(1+αi)E

(36)

式中：Ei，αi，E分别为损伤模型第i个单元剪切刚度、损伤参数及完好模型剪切刚度。单元损伤参数代表单元损伤程度。

设结构受平稳地面加速度地震激励，激励谱设为过滤白谱，其自谱为

(37)

式中：ωg=15.708 s-1为土壤参数；ζg=0.6；S0=0.001 574 m2s-3。

结构未损与损伤后前10阶固有频率见表1。由表1看出，结构固有频率在损伤后有所降低，但不明显。本章仅利用第1、7、15三个节点加速度响应功率谱进行损伤检测。由于实测中往往只能较准确测量到结构前几阶固有频率，故加速度响应功率谱频域仅取5 Hz以下进行检测，分辨率为0.02 Hz，即100个频点，表1中只覆盖前4阶固有频率。本文暂不考虑从实测时程信号到响应功率谱变换过程中噪音、误差。此处Tolerance取10-10。

图1 剪切模型

表1 有无损伤时系统前10阶固有频率(Hz)比较

3.1.1 单一损伤检测

设结构第10个单元刚度出现20%折减。经29次迭代结果见图2。图2表明结构的单一局部损伤已成功检测到，且未出现误判现象，检测误差为0%。该算例表明激励谱已知时，本文方法能成功检测出结构单一局部损伤。

图2 单一损伤检测

3.1.2 多损伤检测

设结构第4、10、11个单元刚度分别出现10%、20%、15%折减。经24次迭代结果见图3。图3表明结构的局部损伤已成功检测到，且未误判，检测的最大误差为0.3%，其它无损单位最大误差为0.4%。该算例表明在激励谱已知情况下本文方法能成功检测出结构多个位置的局部损伤。

图3 多损伤检测

4 结 论

本文研究基于功率谱灵敏度分析的损伤识别算法，数值算例结果表明，仅用较少传感器响应功率谱，在激励谱已知时能准确检测结构单一、多个位置局部损伤。表明本文所提方法具有一定应用前景。对未讨论的噪音及由时域信号所得结构响应功率谱过程误差对识别结果影响，有待深入研究。

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