中国古人在筹算、算法方面的成就

王利公

我国是世界上最早的文明国家之一.很早以前，我们的祖先在渔猎农事活动中就接触到了计算和测量，并在这方面积累了大量的知识.我国古代的计算不是用记数文字直接进行，而是用算筹，很有特色.在开始的时候，人们是用一些小树枝来计数，一根小树枝代表一头牲畜、一堆谷物或者一件农具.后来，逐渐形成了一套计算方法，小树枝也慢慢变成了竹制、铁制、牙制的小棍，外形规格齐整，这就是算筹.筹算可以进行整数和分数的加、减、乘、除、开方等各种运算.直到元、明以前，筹算一直是我国的主要计算方法.筹算的记数法既是十进，又按位值分别表示不同单位，和现代记数法相似.

著名的数学著作《九章算术》，大约编于公元四五十年间的东汉初期.这部书是采用问题集的形式编的，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章.方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算；粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算；衰分章讲的是一些按比例分配的问题；少广章讲的是由已知面积和体积，反求边的长短和面的宽广的问题，其中总结出了开平方和开立方的方法；商功章讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；均输章讲的是粮食运输均匀负担的计算方法；盈不足章讲的是盈亏计算法和它的应用；方程章讲的是正负数算法，还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法；勾股章叙述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的问题.

《周髀算经》是我国另一部有名的天文学、数学著作，大约时是公元前一百年前后的西汉年间成书.书里明确给出了勾股定理的一般形式，即勾2+股2=弦2.书中介绍了在两地利用标杆测出日影，再进一步利用勾股定理算出太阳高度的方法，书中还谈到了用一根直径一寸、长八尺的中空竹管观测太阳，使太阳的圆影正好与竹管的视线吻合，再进一步利用勾股定理推算出太阳直径的方法.这说明我们的祖先至少在西汉年间，就能正确地应用直角三角形的勾股定理了.等到三国时代，吴国人赵爽用几何方法对勾股定理进行了相当严格的论证.

我国最早用严密的数学方法来求算圆周率数值的是刘徽.他认为古率为3，是圆内接正六边形的周长对直径的比值，这比圆周长对直径的比值要小得多.刘徽把圆内接正六边形各边所对的弧平分，做出圆内接正十二边形，利用勾股定理求出它的边长.同理，可以求出圆内接正二十四、四十八、九十六边形的边长.内接正多边形的边数越多，求出的圆周率数值也就越准确.这就是刘徽的“割圆术”.“割圆术”用折线逐步逼近曲线，用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆面积，这种用有限来逼近无限的方法，不仅提供了比较精确的圆周率的数值，而且为后来计算圆周率的人们奠定了坚实可靠的理论基础.endprint