悬臂式SGCMG的高速转子的径向振动特性研究

罗睿智， 虎 刚， 王全武

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空间智能控制技术重点实验室，北京 100190；3.中国长城工业总公司，北京 100195)

小型悬臂式SGCMG(主要由高速转子、连接支架和低速伺服系统构成)具有结构紧凑，输出力矩大，效率高等众多优点，而且在理论上还能输出大范围精细的控制力矩，因此它是敏捷卫星等航天器实现快速姿态机动的理想执行机构，但是在SGCMG运行的过程中伴随输出的微幅高频振动难以抑制，振动恶化了星上环境，降低了精密仪器(如高分辨率相机)的性能[1-4]。迄今为止，对这种单端固定支撑的高速转子的振动特性认识尚不充分。其实，在结构上与之类似的动量轮也面临着同样的问题亟待解决。

高速转子的外形如图1的左图所示，右图为其内部结构简图。其主要由轮体、轴承组件、电机和壳体等构成；在转子转动的过程中，轮体、电机转子和轴承安装壳及轴承外圈等零部件构成一个整体并高速旋转——旋转体，支撑在悬臂主式轴上。可见，高速转子中的旋转体的结构本质是悬臂式非对称支撑，从而使得主轴在A、B点对旋转体的支撑刚度不等。

图1 高速转子系统的结构示意图

高速转子是悬臂式SGCMG中储存角动量的核心部件，同时也是影响卫星姿态稳定性和指向精度的最大干扰源之一[1-5]，因此有必要摸清其振动特性。文献[3-6]都是将高速转子简化为等刚度对称支撑的Jeffcott转子，因而他们所建立的动力学模型中的径向位移振动和转角振动解耦。这与悬臂式SGCMG中高速转子的结构本质不符，因此不能直接借用他们所建立的模型。文献[5-6]都忽略了预紧轴承所激发的振动，并且未对测试瀑布图中非工频成分进行解释。

针对高速转子径向振动特性的认识尚不准确不全面的问题，本文首先分析了悬臂式SGCMG中的高速转子在高速旋转过程中的激振源——动静不平衡量所产生的离心力和力偶、处于预紧状态的轴承的各活动部件工作面的几何误差所导致的预紧力的波动；然后在结构的基础上建立了高速转子的径向动力学模型；最后利用结构参数对模型进行仿真，并与试验结果进行对比，从而验证了模型的有效性。

1 建立坐标系

本体坐标系Fb：oxyz。其原点o位于旋转体的质心处，以旋转体的离心力方向为x轴正方向，以旋转体的最大惯量轴为y轴，且方向向右，z轴由右手法则确定。

参考坐标系Fr：OXYZ。其原点O位于旋转体的质心处，以主轴根部平面的法线向右为Y轴，以垂直于Y且向上为Z轴正向，X轴由右手法则确定。

两坐标系如图1所示。因Fb的三坐标轴为旋转体的惯量主轴，故其惯量积矩阵为J=diag(Id,Ip,Id)。

2 旋转体受力分析

高速转子系统的复杂结构决定了引起它振动的因素也比较复杂，主要包括：在高速转子运行的过程中，旋转体的静动不平衡量所产生的离心力和力偶和预紧轴承几何误差所产生的预紧力波动，还有轴承的摩擦、壳体的耦合振动、电机的纹波力矩和转子热变形等。因此高速转子系统的振动是一个复杂的动态过程。但是结合SGCMG的特点并经过初步的对比分析，结果表明前两项是主要的振源。

2.1 预紧轴承的零件的几何误差激励

预紧轴承中的众多活动部件的工作面不可避免地存在几何误差，如检测的某一批轴承沟道的外形示意图如图2所示情形。显然，轴承沟道存在明显低次谐波及其组合趋势。在内外圈相对旋转时轴承零件滚动表面的几何误差随之旋转，成为以2π为周期的周期函数。因此可以将这些几何误差展开成Fourier级数。根据轴承理论和Hertz接触理论可得到预紧力波动量，该波动量最终传递到高速转子上，激发高速转子的振动。

图2 轴承沟道的几何误差示意图

按逆时针方向(与轴承外圈旋转方向相同)依次对轴承中的滚动体进行编号：k，其中k∈{1,2,…,z}，z为单个轴承中的滚动体数。则对于非理想轴承，在任意t时刻，位于第k个滚动体处，外圈沟道在接触点沿接触角方向的几何误差记为δerk；内圈沟道在接触点沿接触角方向的几何误差记为δirk。第k个滚动体在接触点处沿接触角方向的几何误差记为δeibk，其中，与外圈接触点的几何误差记为δebk；与内圈接触点的几何误差记为δibk。它们都是展开成Fourier级数形式。

轴承的径向(X和Z方向)预紧力波动量为：

(1)

(2)

其中，Dw为滚动体直径(mm)；α为接触角(°)；δα为弹性趋近量(在非理想轴承中，其中包含滚动面的几何误差)；Kωa和Kωr分别为轴向和径向预紧力波动量的修正系数；ψk(t)为在任意t时刻第k个滚动体球心的相位。ωn为单个滚动体的固有频率。通过(1,2)即可计算出处于预紧状态的轴承在运行过程中，轴承滚动面的几何误差所导致的预紧力的波动量。

将A、B两轴承的参数代入到(1,2)式中即可得到两轴承各自滚动面的几何误差产生的预紧力的波动量，它们分别为ΔQArx,ΔQArz,ΔQBrx,ΔQBrz。从而可以进一步得到轴承组件的预紧力的波动量的径向力和力矩。则对于该线性系统来说，A、B轴承的几何误差所产生的径向激振力可表示为：

fec(t)=i(ΔQArx+ΔQBrx)+k(ΔQArz+ΔQBrz)

(3)

同理，激励力矩可以表示为：

gec(t)=i(aΔQArx+bΔQBrx)+k(aΔQArz+bΔQBrz)

(4)

由此得到了轴承组件中的轴承的滚动面的几何误差在旋转过程中产生的预紧力的波动量。其中，间距a,b,c如图1所示。

2.2 旋转体的不平衡量激励

在高速转子运行的过程中，旋转体的静不平衡量ust和动不平衡量udy将分别产生一个离心力fac和一个不平力矩gac直接作用于转子上[4-6]，引起高速转子的振动。该力和力偶分别为：

(5)

(6)

其中，ωy为高速转子的旋转角频率；βf和βm为不平衡力和力矩的初始相位。

2.3 高速转子的总激励

尽管高速转子还将受到重力等常值力，但是它们只引起主轴等零部件的静变形，故在振动分析中不予体现。则对旋转体的总的激励力为：

f(t)=fx(t)i+fz(t)k=fac+fec

(7)

对旋转体的总的激励力矩为：

g(t)=gx(t)i+gz(t)k=gac+gec

(8)

3 高速转子的动力学建模

高速转子运行的零初始时刻，Fb与Fr三轴对应平行，其通过2-1-3旋转:θoy,θox,θoz，其中θox和θoz都是非常小的角度，因此其对应的三角函数可以近似线性化。则Fb相对于Fr的角速度，即旋转体的转速在参考坐标系中可以表示为：

(9)

其中，R1(θox),R2(θoy),R3(θoz)为Euler旋转矩阵。则高速转子的径向转动动能为：

(10)

高速转子质心的径向平动动能为：

(11)

则高速转子总的动能：

(12)

选取x1=υox,x2=υoz；x3=θox,x4=θoz作为广义坐标：则Lagrange方程为：

(13)

(14)

式中各个刚度系数的物理意义为：Kfrx,Kfrz分别为转子中心在x,z方向有单位位移时需要加在o点的沿x,z方向的力；Kfθx,Kfθz分别为转子绕ox，oz轴有单位转角时所需加于o点的沿z,x方向的力；Kmθx,Kmθz分别为转子绕ox,oz轴有单位转角时需要加的对ox,oz轴的力矩；Kfυx,Kfυz分别为转子在z,x方向产生单位位移时，所需对ox,oz轴的力矩。Id和Ip分别为高速转子的径向和轴向转动惯量。

在高速转子运行过程中，各零部件的相对变形量都很小，不妨假设其中所有零部件的变形量都处于选用材料的线弹性范围内，即式14,式15中的刚度参数为常量；同时假设其中的阻尼参数也都为常量。即，高速转子系统是一个线性系统。

根据两坐标系的关系可得到高速转子基座上的振动力和力矩与质心处振动力和力矩之间的关系：

(16)

其中，两坐标间距：L=b+c，如图1所示。

4 模型求解

由于动力学方程(14～16)是耦合的二阶线性常微分非齐次方程组，其非齐次项也较为复杂，不便于求得解析解，故采用龙格库塔法进行数值仿真。

根据高速转子的结构特征可以计算出模型所需参数如下：旋转体的质量为：m=5 kg；径向转动惯量为：Id=0.021 kg·m2；极惯量为：Ip=0.04 kg·m2；高速主轴的弹性模量为：E=2.10×1011Pa；a=22.5 mm，b=38 mm，c=14 mm。根据静变形可确定悬臂梁的径向等效刚度：Kmυx=Kmυz=1.2×106N·m/m;Kfαx=Kfαz=7.9×105N/rad;Kfrx=Kfrz=2.6×107N/m;Kmθx=Kmθz=3.6×104N·m/rad。

在不平衡量和轴承的几何误差激励下，仿真得到高速转子系统的基座上输出的振动力和力矩的瀑布图及其对应转速下的系统特征值分布情况——固有频率曲线如图3、图4所示。

图3,4中间的两条V字形曲线代表系统的正特征频率随转子转速变化的曲线。图5表示转子质心沿X方向振动位移和转角瀑布图；而Z方向振动位移和转角瀑布图与X方向类似，在此不再单独列出。

图3 径向(X,Z)振动力瀑布图及其固有频率曲线

5 试验验证

利用Kistler的9256CQ多分量测力台、电荷放大器和OROS的8通道数据采集设备在精密隔振光学平台上对某型号的SGCMG的高速转子进行微振动测试。测得系统径向振动的瀑布图如图6,图7所示。

图6 径向(X,Z)振动力瀑布图

图7 径向(X,Z)振动力矩瀑布图

6 仿真和实测结果对比分析

(1) 从图5可见，高速转子各零部件的振动位移和转角分别在1μm或者10μrad左右，各零部件的相对变形量都很小，都处于所用材料的线弹性范围内，故高速转子的径向振动整体上表现为线性占主导。

(2) 仿真图中的频率成分覆盖了测试图中表现出来的几乎所有的频率成分，从而验证了“径向激振的频率成分主要来源于高速旋转体的静动不平衡量和预紧轴承工作面的几何误差”的分析的合理性。

(3) 图3～7都表明许多倍频响应大于基频振动。这主要是因为预紧轴承在运行的过程中，其滚动面的几何误差产生了较大的预紧力波动，同时频率成分与系统的模态频率曲线相交，致使系统谐振。

(4) 图3～7都存在两个V形谐振频率线。这是由于悬臂式SGCMG中的高速转子是不等刚度非对称支撑，导致转子的径向平动和转动动力学方程耦合，系统存在四个正虚部的特征根，它们都是高速转子转速的函数，当外部的激励穿越这些模态频率曲线时，将导致高速转子系统径向谐振。

(5) 在瀑布图中，倍频放射线穿越“V”字形固有频率曲线时，①放射线与固有频率曲线在穿越点的夹角越小，该放射线穿越谐振带的速度越慢，即需要在较宽的转速范围内才能穿过谐振带。因而在转子变速时，该倍频放射线对系统的平稳性影响越大；②放射线与固有频率曲线的夹角越大，其穿越谐振带的速度越快。因而该倍频放射线对系统转速升降的平稳性影响越小。图3～7都表现为每对V形曲线的右曲线比左曲线的响应要大。因此在变速SGCMG和动量轮的结构设计中，应通过结构参数优化来尽量避免较大的激励以较小的角度穿越谐振带。

(6) 仿真和实测结果表明：在某些转速范围振动较小，因此根据微振动的测试结果选择高速转子/动量轮的工作转速(范围)成为减小振动的有效方法。

仿真图和实测图在幅值以及模态频率的大小上还存在一定的差异，这可能是因为仿真中的参数取得与实际情况存在一定差别，尤其是预紧轴承滚动表面的几何误差所产生的预紧力的波动量的幅值和相位难以准确得到，这还需要后续的参数辨识。

7 结 论

通过对SGCMG中的高速转子径向振动特性的分析和试验验证，可得到如下一些结论：

(1) 由高速转子的静动不平衡量所产生的离心力和力偶以及预紧轴承滚动面的几何误差所导致的预紧力的波动等是激励高速转子振动主导因素。

(2) 悬臂式高速转子的径向平动和转动动力学方程耦合，使得系统的振动输出呈现双V字形形式。所建立的动力学模型(二阶线性非齐次微分方程组)基本反映了高速转子这一径向低频振动特性。

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