基于声管测量的粘弹性介质动态力学参数辨识方法

陶 猛 , 赵 阳

(1.贵州大学 机械工程学院，贵阳 550025；2.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室,上海 200240)

以粘弹性介质为基底材料的声学覆盖层既可以主动声呐的探测回波，还具有隔振隔声的作用以降低噪声的向外辐射，作为提高结构隐身性能的一种重要技术手段已被广泛采用。声学覆盖层的吸声、隔声等性能预报除了要采用合理的计算分析模型外，准确的粘弹性动态力学参数也是必不可少的。

通常测定粘弹性材料参数的方法可分为力学方法和声学方法两大类。力学方法是利用测量材料样品振动特性来计算其力学参数的方法，比较常用的有强迫非共振法[1-2]、振动梁法[3-4]、动态粘弹谱仪法[5-6]。尽管这些测试方法都相对简单，但是这些方法都有各自的局限性，例如振动测试方法的频段较低，或者基于时温等效原理推导的杨氏模量还没有直接的测试结果加以验证等。与力学测试方法相比，声学测试方法的优点是直接测得材料的声学性能参数，这样可在频段范围上与机理研究同步。已有方法包括在水池中由待测材料的平板试样测量斜向入射声波的回声降低或插入损失来反演材料参数[7-8]，但低频测量时由于样品边缘的衍射干扰使得误差较大。此外，也有利用做成球形的待测材料试样，使实际测量的散射系数与理论计算的散射系数误差达到最小的办法来计算材料体积模量的做法[9]。

本文研究了一种基于水声声管测量粘弹性覆盖层的反射系数，以此识别粘弹性材料动态力学参数的方法。该方法的原理是考虑平面波垂直入射到圆柱空腔覆盖层时，覆盖层单元-粘弹性圆柱管中传播的轴对称波与基底材料的纵波和剪切波满足粘弹性圆柱管的特征方程。若其中两个参数已知，求解特征方程即可获得未知的第三个参数，并进而得到其它的粘弹性动态力学参数。然后，以某种橡胶制成的声学覆盖层样品为例，进行了声管测量和结果分析。

1 粘弹性材料的动态力学参数辨识方法

不论是均匀结构的还是空腔结构的、厚度为d的声学覆盖层，都可用四端网络法建立覆盖层前表面(下标f表示)和后表面(下标b表示)的声压p和质点振速v的关系：

(1)

式中：对于均匀覆盖层来说，z和k分别是特性阻抗zc=ρω/kl和纵波波数kl=ω/cl，ρ是材料密度；对于含有圆柱空腔结构覆盖层来说，z和k可以认为是结构等效阻抗ze=ρω/ke[10]和等效波数ke=ω/ce。

若波数kl和ke已知，可通过以下1.1和1.2节的参数辨识模型获得粘弹性介质的动态力学参数。因此，kl和ke是参数辨识过程中的关键中间变量，其获取方法是通过测量声学覆盖层的反射系数并计算得到。

当平面波正入射到声学覆盖层时，反射系数R可由下式计算：

(2)

式中：zf和z0分别是覆盖层前表面阻抗和水介质特性阻抗。

根据式(1)，在后表面阻抗(背衬条件)zb=pb/vb已知的前提下(如绝对硬背衬zb=∞)，前表面阻抗zf可由下式得到

(3)

显然，对于绝对硬背衬，zf=t11/t21；对于绝对软背衬，zf=t12/t22。由于t12和t21既是波数k的函数，也是阻抗z=ρω/k的函数，所以当实验测得覆盖层的反射系数后，联立求解式(2)和式(3)，即可得到波数kl(对于均匀结构)或ke(对于空腔结构)。需要指出的是，由于粘弹性介质通常用复数形式表示其损耗特性，因而上述过程是通过在复平面上解算超越方程实现的。

1.1 复纵波声速计算

(4)

式中：cl和ηcl是复纵波声速的实部和损耗因子。需要指出的是，对于多数橡胶材料而言，尽管对纵波损耗因子来说很小，但是并不应该忽略不计。这是因为在计算复剪切波声速的过程中，复纵波声速是作为已知参数代入计算的，如果忽略复纵波声速的损耗因子，必然会在复剪切波声速的计算中引入误差。

1.2 复剪切波声速计算

对于圆柱空腔按照正六边形周期排列的吸声覆盖层，由于对称性可以只取其中的一个单元分析，但是建立正六面棱柱体的理论模型相当困难，用圆柱代替可以简化模型的复杂性，这样就得到粘弹性圆柱管的模型[11]，如图1所示，其中粘弹性圆柱管的外半径为a，内半径为b。

图1 周期结构圆柱空腔型吸声覆盖层的结构示意图

假设在声波小振幅激励的情况下，采用Kelvin-Voigt线性粘弹性模型来描述覆盖层的基体材料，可以得到与弹性模型形式相同的方程和解，区别在于将弹性常数换成相应的粘弹性常数[12]。圆柱管中轴对称波的形式解一般可以写成[11](省略时间因子ejωt)：

(5)

在圆柱坐标系下，位移和应力用两个标量势函数可表示为:

(6)

将式(5)代入式(6)得到:

(7)

其中

(8)

对于按照正三角形周期排列的圆柱空腔覆盖层，在平面波垂直入射条件下，根据相邻单元平衡的条件取单元的外边界(r=a)位移等于0，切应力等于0；内壁的边界条件忽略空气的影响，取正应力和切应力均为0。因此，内、外壁边界条件可写为：(省略e-jkaz)

(9)

将位移和应力的表达式代入边界条件，得到方程组：

(10)

这就是粘弹性圆柱管的特征方程。要使该方程有解，则系数行列式必须为零，即:

(11)

(12)

(13)

2 动态力学参数识别的结果及讨论

在水声声管中对以某种橡胶材料制作的实心覆盖层和空心覆盖层两种样品进行了反射系数的测量，测量的方法采用成熟的传递函数法[13]，根据测试结果对橡胶材料的粘弹性动态力学参数进行了计算，其中橡胶密度为1 120 kg/m3，圆柱空腔半径为2 mm。

图2 橡胶材料的复纵波声速和复剪切波声速

图3 橡胶材料的复杨氏模量

此外，表1还比较了是否考虑纵波损耗因子对杨氏模量及其损耗因子计算结果的影响，其中定义了杨氏模量及其损耗因子的相对误差

(14)

式中E和ηE分别是考虑纵波损耗因子的杨氏模量及其损耗因子，E*和ηE*分别是忽略纵波损耗因子的杨氏模量及其损耗因子。从表中可以看出，当忽略较大的纵波损耗因子时，杨氏模量损耗因子计算的相对误差也较大，如频率1.4 kHz、ηcl=0.024时，相对误差εηE=3.89%。需要指出的是，这里只是分析了忽略纵波损耗因子对复杨氏模量的影响关系，而对反射系数测试过程中引入的误差环节暂不涉及。另一方面，通过比较得知，忽略纵波损耗因子对杨氏模量损耗因子的影响要大于对杨氏模量实部的影响。

表1 杨氏模量及其损耗因子计算的相对误差

图4 橡胶材料的复泊松比

3 结 论

本文研究了一种基于声管测量粘弹性覆盖层反射系数，并采用解析法计算和识别粘弹性介质动态力学参数的方法，这种方法的特点是能够与声学性能测试同步进行，便于声学覆盖层的性能预报和优化设计。通过对某种橡胶材料的测试分析可知，尽管橡胶类粘弹性材料的纵波损耗因子较小，但是仍对剪切波损耗因子的准确识别有一定的影响，因此纵波损耗因子不应简单地忽略不计。最后需要指出的是，由于测试声管的截止频率限制，文中对于材料参数的分析局限于中频范围，而本文提出的方法原则上也适用于高频情况，如可采用脉冲法测量覆盖层的反射系数，进而拓宽粘弹性介质动态力学参数的识别范围。

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