例谈数学学习材料的有效选择与运用

方海恩

摘 要： 数学学习材料是数学教学的基石，是学生解决数学问题，获得数学知识，提高数学能力的载体，是学生感受数学与生活的密切联系，体验数学价值，形成正确数学观的重要资源。因此，就需要教师在小学数学课堂教学中根据学生的已有知识基础、生活经验，为学生提供有趣的、富有思考性的学习材料，充分发挥学习材料的作用，让学习材料更好地为教学服务，打造高效的数学课堂。

关键词： 数学学习材料 学习起点 基本活动经验 学习本质 学习思维

数学学习材料是数学教学的基石，是学生解决数学问题，获得数学知识，提高数学能力的载体，是学生感受数学与生活的密切联系，体验数学价值，形成正确数学观的重要资源。这就需要教师在小学数学课堂教学中根据学生的已有知识基础、生活经验，为学生提供有趣的、富有思考性的学习材料，充分发挥学习材料的作用，让学习材料更好地为教学服务，打造高效的数学课堂。

一、数学学习材料应基于学生的学习起点

教育心理学的研究表明：当学习的材料与学生已有的知识和经验相联系时，才能激发学生学习和解决数学问题的兴趣，数学才是活的、富有生命力的。为此，教师应注意呈现的学习材料要与学生的认知基础相符合。

案例1：《比例的意义和基本性质》的导入片段一

[讲故事导入，同时课件呈现]从前海南岛有一个贫穷但聪明的年轻人，他和一个富翁的女儿相爱了，但富翁嫌他穷，就故意刁难他，说：“给你三天的时间，只要你能在不碰到椰子树的前提下，测量出我家门口的椰子树的高度，就答应把女儿嫁给你，否则你从此以后不许见我的女儿。”那个小伙子想了想，就答应了。第三天中午，阳光灿烂，这个年轻人，拿着一根2米长的竹竿和一根卷尺来到了富翁的家。当时闻讯而来的人很多，小伙子叫一个人帮忙把竹竿立在地上，然后不慌不忙地用卷尺测量出竹竿影子的长度和椰子树影子的长度，然后告诉富翁说：“这棵椰子树高17.5米，不信你可以叫人或猴子拿着长绳爬上去测量。”经过测量，果然如这个年轻人所说。

师：这是为什么呢？我们先来看这个年轻人测量的数据。

师：请仔细观察，从上面的数据中找出有意义的比，并求出它的比值。

[反馈]生：0.4∶2和3.5∶17.5比值都是0.5。师：你求出的比值是什么意思？生：比值表示每一米竹竿的影长。

师：它们的比值有什么关系？ 生：比值相等。

师：这两个比的比值相等说明这两个比也相等，我们就可以把这两个比用等号连接。

师：你能像上面一样说两个比值相等的比吗？（学生举例）……

《比例的意义和基本性质》的导入片段二

师：我们已经学习了比的意义和性质，谁来说一个比？

生1：3∶2[板书]

师：谁能说一个与3∶2比值相等的比？

生2：18∶12[板书]

师：这两个比的比值相等说明这两个比也相等，我们就可以把这两个比用等号连接。你能像上面一样说两个比值相等的比吗？（学生举例）……

从上面的案例中我们可以看到，面对六年级的学生，对于片段一提供的材料难免有编造之嫌，且大多数学生没有见到过椰子树，他们会对椰子树的高度的真实性产生怀疑。在课伊始，就出示一大段文本易使学生视觉疲劳，并且从这一段文本中，学生没有真正用数学的眼光感知，只是听故事而已。

片段二则少了很多花架子，直奔主题，同时学习材料来源于学生，学生的兴趣很浓厚。由于缩短了导入时间，就有足够的时间进行多种形式的有效练习，使学生更深入地理解新知。

因此，教师为学生提供的学习材料不能只图表面上的热闹，拘泥于过多的非数学信息，而应抓住教学内容的重点、难点和关键点，针对学生的已有基础安排；否则会分散学生的注意力，干扰和弱化学生获取数学知识与技能。

二、数学学习材料应关注学生的基本活动经验

《数学课程标准》（修订稿）提出要把数学教学中的“双基”发展为“四基”。关注基本操作活动经验，让操作活动更具真实性，更能凸显思维的深刻性，并能把握操作活动的系统性。为此，教师要关注学生学习的基本活动经验的积累，为学生提供丰富的操作材料，给学生提供操作的时空。

案例2：《三角形的面积计算》推导过程片段一

师：请同学们拿出给你们准备的2个直角三角形 、2个钝角三角形，请分别把它们叠起来，发现什么？

生：重合、完全一样。

师：重叠说明了什么？

生：2个直角三角形完全相同，2个……

师：请同学们想一想：用2个完全相同的三角形可以拼成哪些已学过的图形？先用2个完全一样的直角三角形拼拼看？

生：可以拼成长方形、平行四边形、形状不同的三角形。

师：我们只会计算长方形和平行四边形的面积，那我们就请拼成平行四边形的同学演示，说说你是怎样拼的？（学生演示）

师：我们一起来看一下电脑是怎样清楚地操作的？[课件演示]

（2个完全一样的锐角三角形、钝角三角形同上）

师：通过刚才的操作我们把2个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，都可以拼成一个什么图形？

生：平行四边形。

师：也就是，2个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形。

师：请同学们仔细观察，你们用2个完全一样的三角形拼成的一个平行四边形。

想一想：1.每个三角形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？2.这个平行四边形的底和高分别与三角形的底和高有什么关系？

同桌互相交流，屏幕演示，得出三角形面积计算公式。

……

《三角形的面积计算》推导过程片段二

师：请同学们拿出一张正方形纸片，在上面剪一刀，要求剪下一个三角形。当然你用笔和尺子把想剪的三角形在正方形上画出来，不剪也可以。（学生剪、画）汇报展示。（选取三种如下图）

师：这三种剪法哪种剪法剪下的三角形面积你能计算？你是怎么知道的？

生：第1种（图1），三角形面积正好是这个正方形面积的一半。只要把剪下的两个三角形重叠在一起，就可以发现它们完全一样。

师：也就是形状大小完全相同，对吗？这样的两个三角形面积自然相等。请同学们在小组内算一算图1中三角形的面积是多少？（学生量边长，计算面积。）

师：那像第2种（图2） 剪法，你会算吗？小组讨论一下。

（小组交流、讨论、反馈，如下图。）

生：图4中的三角形面积是长方形面积的一半。

师：这个长方形是怎么得到的？

生：这个长方形是由2个完全相同的直角三角形拼成的。

师：通过刚才的学习，你能独立计算第3种（图3）剪法吗？请独立剪一剪、画一画、拼一拼、算一算、想一想，然后把你的想法说给小组的同学听。（学生动手操作，出现了多种剪法，并通过观察、小组讨论发现了计算方法。如下图。）

生：图5中三角形的面积是两个完全一样的三角形拼成的长方形面积的一半。（以此类推，图6、图7中剪下的三角形通过平移或翻转平移，可以转化为图5的情况，从而探究出了直角三角形的面积计算公式。）

师：从刚刚推导的面积计算过程看，主要运用了什么策略？（拼组转化）那么锐角三角形、钝角三角形的面积是否也是这样算呢？（学生猜测）请你选择一类三角形用手中的平行四边形进行验证。

……

从上面的案例中，我们可以清晰地看到，片段一中教师用一条无形的线牢牢地捆住了学生，让学生用2个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，老师预先设置了一个“坑”，让学生往下跳，这怎么还叫探究呢？这一操作过程，虽然足以支撑课堂达到预期的教学目标。但是对学生而言，在这样的数学学习活动中，学生变成了一个被动的操作工，而使得整个操作活动缺乏创新性和生成性，教学步入形式主义的误区。

片段二则以从正方形中剪下的直角三角形的面积作为学习的起点，教师以引导者、合作者的身份，帮助学主动参与，自己动脑、动手“做数学”，使其经历知识的再创造过程。在探究过程中积累了一定的解决问题的经验，当再次面临解决相似的问题时，学生利用平行四边形验证锐（钝）三角形面积计算公式，自然得心应手。

因此，让学生在科学探究的过程中学习科学探究的方法，逐步积累“对于想要探究的问题，先从自己的生活经验和知识背景出发，用自己的思维方式大胆地提出猜想、验证”这一活动经验，需要教师提供恰当的学习材料。

三、数学学习材料应注重数学学习的本质

数学源于生活，又高于生活。为此，教师应该对生活材料进行改造，避免由于学习材料的非数学属性，造成学生认知上的模糊，从而干扰了数学的本质，影响了学习效果。

案例3：《三角形的三边关系》教学片断一

师：同学们喜欢做游戏吗？这节课我们就来做一个玩小棒的游戏，现在每两位同学都有五根不同颜色的小棒，先量一量每根小棒的长度各是多少？（白：3厘米，绿：5厘米，黄：6厘米，红：7厘米，黑：9厘米。）

师：我任意地给三条线段，你一定能首尾相连地围成三角形吗？你确认？

出示操作要求：1.同桌合作任意地选取3根小棒进行拼摆。2.小棒首尾相连。3. 摆之前先在发下来的表格上记录每次三根小棒的长度，最后把能否摆成的结果也记录在表格上。4.小组交流，你发现了什么？

（学生开始操作，但纵观课堂，更多是同桌兴致勃勃地玩小棒，而不是在探究数学问题。）

师：看看哪些情况能围成三角形？哪些不能围成三角形？

生1：两边之和大于第三边就可以围成三角形。

生2：两边之和等于第三边也可以围成三角形。

教师请生2到实物投影仪上展示。

师：这三根小棒围成了三角形吗？

生：围成了。（声音响亮）

师：看仔细些，确实围成三角形了吗？

生（迟疑）：围成了。（声音小了很多）

师：由于小棒有误差，看上去围成了，实际上没有围成，我们请电脑老师帮帮忙，大家看一看。[课件演示]

师：两边之和等于第三边能围成三角形吗？

生：不能。（明显不自信）

……

《三角形的三边关系》教学片断二

（在透明胶片中画有一条长12厘米长的线段）

师：现在将这个透明胶片任意剪成三段，将这三段首尾相连，猜一猜能围成什么样的图形？

生：三角形。

师：能不能围成三角形，请大家动手剪一剪、围一围、最后再量一量这三条线段的长度。

（学生动手操作，教师巡视。）

学生汇报交流、教师收集数据。先展示能围成三角形的几组数据，再展示不能围成三角形的几组数据（两边之和小于第三边）。

师：为什么有的能围成有的不能围成呢？和什么有关系？

生：和剪下的三根线段的长度有关系。

师：要怎么样才能围成一个三角形呢？

生：（思索）较短的两边之和长度大于第三边，就一定能围成三角形。

师让在巡视中发现的特殊数据（2厘米、4厘米、6厘米）的学生上台展示。

师：大家看，他围成了三角形吗？（看上去像围成了）

生1：没有，因为上面还有缝隙。

师：请大家闭上眼睛，在脑袋中想象一下，像这三条线段围三角形，如果把上面的两个点连在一起会怎样？（学生想象）

生2：如果把这两个点真正连在一起，那么上面的两条线段的长度是6厘米，下面也是6厘米，那样就重合了。

师：学习不仅要用眼睛看，更重要的是学会用心想。现在电脑老师给大家演示一下。[课件展示]

师：像刚才2厘米、4厘米、6厘米这样的三条线段不能围成三角形，那么3厘米、3厘米、6厘米，能吗？还有什么也不能？

生3：1厘米、5厘米、6厘米也不能。

生4：两边之和等于第三边的都不能。

………

上面的案例中我们可以发现这两个片断，都是围绕“猜想―验证”这一过程安排学习进程的。学生从动手围中发现问题：有些能够围成三角形，有些却不能围成三角形。不同的是学习材料选择和使用上，前者的学习材料是教师给予的、框定的，在教师的预设和安排下，学生机械地、按部就班地探究。后者材料上的使用，更多的是注重生成。学生通过剪透明胶片得到的，是原始的、鲜活的学习材料，它所呈现的形式更具有多元性。这样的材料更容易激发学生探究的兴趣，使得探究的情景更具有真实性、可靠性。

片段一选择了用小棒作为探究材料。但由于小棒存在着一定的粗细，围成的实际上并非三角形，而是近似的三棱柱，尤其当“两边之和等于第三边”时，学生往往会得出“能围成三角形”这样一个误解。这样的结论显然和学习的目标是矛盾的，学生操作以后，老师想扭转这个错误的结论，往往很难向学生解释清楚，教学语言显得苍白无力。而片段二采用了透明胶片则能较好地避免学生认知上的模糊。

因此，选择材料更应当关注的是数学化，关注学习材料的可操作性，使之与目标相匹配，以达到探究、解决问题的本意。

四、数学学习材料应利于学生思维的发展

数学是思维的体操，数学知识的形成、数学结论的获得和数学知识的应用，无不伴随着学生思维的参与。为此，教师必须根据相应的数学知识为学生提供适量的、具有典型意义的具体材料，发展学生的思维，培养探究意识和创新精神。

案例4：《长方体的体积单元复习》练习设计一

求出下面长方体和正方体的表面积和体积。单位：厘米

学生独立练习，反馈交流。

……

《长方体的体积单元复习》练习设计二

仓库里有以下四种规格的长方形、正方形铁皮各若干张。

请你从中选5张铁皮，焊成一个无盖的长方体（或正方体）水箱。

1.你可以怎样选择？需要铁皮多少平方分米？焊成的水箱容积是多少？（铁皮厚度忽略不计）

2.要使水箱的容积最大，可以怎么选？ 至少需要铁皮多少平方分米？ 焊成的水箱容积是多少？（铁皮厚度忽略不计）

上面的案例，两个不同的设计，虽然它们的知识点都是长方体的表面积和体积的计算。但设计一只为考查学生对于计算公式的简单运用，谈不上什么思维含量，而设计二则注重学生空间想象能力，并且对不同的学生提出了不同的要求，对于一般的学生，只要做出一种组合，并计算它的表面积和容积。而对于优秀学生则要求从所给的材料中找到组成长方体的多种组合方法，并分辨出各种组合所得长方体的长、宽、高，从而进行对比。使学生在练习过程中不仅巩固了知识，而且发展了探究能力，增强了数学应用意识。

因此，教师要善于把封闭的学习材料适当开放，关注学生的数学思考，材料选择要关注材料所蕴涵的思维含量。

总之，只要精心准备学习材料，合理选择学习材料，智慧运用学习材料，数学课堂定会收获更多的喜悦。