区间值模糊参数软集及其在决策中的应用

张又林，许宏伟，刘卫锋

(郑州航空工业管理学院数理系，河南 郑州 450015)

Molodtsov 在文献[1]中提出了软集的概念，试图从参数化的角度为研究不确定性问题提供统一的数学框架。由于软集理论与模糊集理论、粗糙集理论等不确定性理论具有很强的互补性，因此受到了学术界的广泛关注,其中，文献[2-4]对软集的运算和相等进行了研究，完善了软集的运算体系；文献[5-8]分别将模糊集、区间模糊集、Vague集和直觉模糊集与软集相结合，提出了模糊软集、区间模糊软集、Vague软集和直觉模糊软集；文献[9]进一步研究了区间值直觉模糊软集；文献[10-11]通过将软集和模糊软集的参数集由经典集推广到模糊集，定义了具有模糊化参数的软集和模糊软集；文献[12-17]研究了软集和模糊软集在决策中的应用。

在上述研究基础上，本文通过将模糊参数软集的参数集由模糊集推广到区间值模糊集，定义了区间值模糊参数软集，并研究了区间值模糊参数软集的补、并和交运算以及运算的性质。然后，给出利用区间值模糊参数软集进行决策的方法，并通过实例说明决策方法的可行性。

1 相关概念

定义1[1]设U是一个集合，P(U)是其幂集，E是一个参数集，A⊆E，U上的一个软集定义为有序对集合

FA={(x,fA(x))|x∈E,fA(x)∈P(U)}

其中，fA:E→P(U)，并且若x∉A时，fA(x)=Φ。

定义2[10]设U是一个集合，P(U)是其幂集，E是一个参数集，X表示E上的一个模糊集，U上的一个模糊参数软集定义为有序对集合

μX(x)∈[0,1]}

(2)

其中，fX:E→P(U)，并且满足若μX(x)=0时，fX(x)=Φ，而μX:E→[0,1]。

以后用S(U)表示U上所有的软集,用FPS(U)表示U上所有模糊参数软集。

(3)

2 区间值模糊参数软集

以后用IVFPS(U)表示U上所有区间值模糊参数软集。

例1 设论域为U={u1,u2,u3,u4,u5}，参数集为E={x1,x2,x3,x4}。

例2 设论域为U={u1,u2,u3,u4,u5}，参数集为E={x1,x2,x3,x4}。

证明：显然。

证明：易证，略。

证明：易证，略。

证明：易证，略。

例3 设论域为U={u1,u2,u3,u4,u5}，参数集为E={x1,x2,x3,x4}。

证明：易证，略。

证明：易证，略。

3 决策应用

首先，经过认真思考，创建U上的一个区间值模糊参数软集为

(5)

表1 区间值模糊参数软集的表格形式

(6)

[0.40,0.55]，因此汽车u7为最优方案。

通过对上述实例中的决策方法进行总结，我们提出一种利用区间值模糊参数软集进行决策的方法。为此，先定义区间值模糊决策集。

(7)

其隶属函数定义为

(8)

(9)

于是，决策方法步骤如下：

[1]Molodtsov D. Soft Set Theory:First Results[J].Computers and Mathematics with Applications,1999,37:19-31.

[2]Maji P K, Biswas R, Roy A R. Soft Set Theory[J].Computers and Mathematics with Applications,2003,45:555-562.

[3]Ali M I, Feng F, Liu X, et al. On some New Operations in Soft Set Theory[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,57:1547-1553.

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[7]Xu W, Ma J, Wang S, et al. Vague Soft Sets and Their Properties[J].Computers and Mathematics with Applications, 2010,59:787-794.

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[14]Feng F, Jun Y B, Liu X Y, et al. An Adjustable Approach to Fuzzy Soft Set Based Decision Making[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2010,60:1756-1767.

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