定数截尾下Burr Type XII分布的统计推断

王雪琴，李 凤，张福玲

(渭南师范学院数学与信息科学学院，陕西 渭南 714000)

寿命数据的统计分析是对系统或部件的寿命特性作定量了解的一种重要手段。通过寿命数据分析，确定寿命分布类型以及获得其参数的估计，或者得到寿命分布本身的估计,最终可以定量地把握系统或部件寿命的性状，并把所获的信息反馈到设计、制造和使用维修中去，以期改善可靠性、降低成本或合理安排维修和更换，使之获得更好的使用价值和经济效果。寿命数据的统计分析已成为工程、医学和生物科学等领域中研究的热点问题之一，而Burr分布在可靠性统计中起着非常重要的作用，目前已有许多文献研究了其统计推断及其应用[1-3]。本文在此基础上研究了Burr -XII 分布基于定数截尾样本的参数估计。Burr寿命分布的分布函数和失效率函数分别为:

F(x)=1-(1+xc)-k,x>0

(1)

f(x)=kcxc-1(1+xc)-k-1,x>0

(2)

其中:c>0是形状参数;k>0是未知参数。

1 参数估计

假设有n个产品进行定数截尾寿命实验，事先规定的失效数r≤n，所得的定数截尾样本记为t1≤t2≤…≤tr，设产品的寿命T服从Burr -XII分布，下面分别利用极大似然法及逆矩估计法分别给出参数(k,c)中k的近似估计。

1.1 极大似然估计

由文献[1]知，在定数截尾下，Burr -XII的似然函数为

(3)

两边取对数得

(4)

求偏导有

(5)

得k的极大似然估计为

(6)

1.2 逆矩估计法

引理1[1]设X是连续型随机变量，F(x)是其分布函数，则F(x)服从标准均匀分布。

引理2[4]若随机变量X服从标准均匀分布，则-lnX服从标准指数分布。

引理4[6]设随机变量U服从U(0,1)，则-2lnU服从自由度为2的χ2分布。

证明：变形为g(c)=

下面利用文献[2]提出的逆矩法导出参数k的逆矩估计量。

又z1,z2,…,zr也是一个准样本，因此有

所以参数k的逆矩估计

(7)

2 模拟比较

为了给出估计量的精确性，我们利用随机模拟的方法研究了极大似然估计量与逆矩估计量的均方误差，模拟结果见表1(其中k=2,c=1)。

表1 参数k的极大似然估计和逆矩估计的的均方误差

模拟结果显示，随着n和r的增大，逆矩法的均方误差就会变得越小，说明基于定数截尾的逆矩估计法优于极大似然估计法。

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