指数分布与其它分布的关系

刘国祥

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

指数分布与其它分布的关系

刘国祥

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

从指数分布的特征出发，通过了讨论讨论指数分布与其它分布的关系，从而体现了指数分布在概率统计中的作用.

概率统计；指数分布；正态分布；均匀分布；几何分布

正态分布、均匀分布、指数分布是最常用的三个连续型分布.由于正态分布和均匀分布具有明显的集合直观，常见并且易于理解的现实模型，因此在教材[1，2]和文献中对于它们的讨论都比较详细.而关于指数分布的讨论相对就比较少[3，4]，没有引起人们的足够认识.

下面从指数分布的特征出发，分几个方面通过了讨论讨论指数分布与其它分布的关系，从而体现了指数分布在概率统计中的作用.

1 指数分布及其特征

连续型随机变量X的分布密度函数

其中λ>0，称随机变量X服从参数为λ的指数分布.

指数分布的分布函数为

指数分布的数学期望和方差分别是

指数分布的最大特征就是无记忆性：

文献[1]指出，指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布.

2 指数分布与几何分布的关系

如果随机变量X服从参数为P的几何分布，则它的概率分布律是：

由于对于任意的正自然数 有

因此几何分布具有无记忆性的离散型分布.并且，几何分布是唯一具有无记忆性的离散型分布[1].

几何分布的数学期望：

它的数学期望与指数分布具有相同的参数的倒数形式.

为什么几何分布与指数分布有如此多的相同形式呢？服从指数分布的随机变量表示的是某些“易碎品”的“寿命”，如电子元件、玻璃制品等.虽然它们的“寿命”与多种因素有关，但是有一种因素是决定性的，也就是“致命”的.它正好与“服从正态分布是与多种相互独立的因素有关，但是没有一种因素是起决定作用”相反.

而几何分布是一种“直到……为止”型的概率分布，也是一种“寿命”.

电子元件的“寿命”服从指数分布，如果电子元件是否损坏的决定因素是电压，在连续使用过程中，虽然有多种因素，但是“直到”电压达到元件不可承受范围内，它的“寿命”就“为止”.

相互独立的射击，直到击中为止，射击次数服从几何分布.被枪手离散地射击，直到击中，它的“寿命”就“为止”了.

从而我们看到，几何分布与指数分布具有相同的原理，只是其一为离散型，另一个为连续型.所以具有许多相同（或相似）的性质.

3 指数分布与泊松分布的关系

泊松分布是重要的离散型分布，他与社会生活密切相关，如电话交换台中来到的呼叫次数、公共汽车站来到的乘客数、放射性分裂落到某区域的质点数，甚至母鸡下蛋的个数、鸡蛋孵化成小鸡的个数.

指数分布与泊松分布有如下的关系：

定理1 设随机变量X服从参数为λt的泊松分布，则时间两次发生之间的“等待时间”Y服从参数为λ的指数分布.

证明 由于随机变量X服从参数为λt的泊松分布，则它的分布律为：

设事件前一次发生的时刻为0.

因为Y不可能为负数，所以当

t≤0时显然有P（Y≤t）=0，

而t>0时，因为在“等待时间”内事件不发生，

则由概率的连续性，Y分布函数

Y服从参数为λ的指数分布.

单位时间内母鸡下蛋的个数服从泊松分布，而两次下蛋的时间间隔服从指数分布.

4 指数分布与均匀分布的关系

指数分布和均匀分布同为连续型分布，它们之间有如下关系：

定理2 随机变量X服从参数为λ的指数分布的充分必要条件是随机变量

Y1-e-λX服从（0,1）上的均匀分布.

证明 由于随机变量X服从参数为λ的指数分布，

则X概率密度函数

则Y概率密度函数

从而Y=1-e-λX服从（0,1）上的均匀分布.

另一方面，如果Y=1-e-λX服从（0,1）上的均匀分布.

则Y概率密度函数

从而，则X概率密度函数

则随机变量X服从参数为λ的指数分布.

5 指数分布与正态分布的关系

指数分布和正态分布同为连续型分布，正态分布可以说是最重要的一种概率分布.它和指数分布之间有如下关系.

定理3随机变量X,Y相互独立，都服从正态分布N（0,λ2）,则Z=X2+Y2服从指数分布.

证明 显然Z=X2+Y2≥0，

由于随机变量X,Y相互独立，则（X,Y）的联合分布密度函数为

随机变量Z的分布函数

则Z的分布密度函数为

所以，则Z=X2+Y2服从参数为的指数分布.

6 指数分布的推广形式

经典教材[1,2]都只介绍了二元均匀分布和二元正态分布而没有涉及二元指数分布.文献[3]给出了指数分布的一种推广形式，并在文献[4]把它应用到药物在机体内分布中.文献[5]介绍了多元Marshll-Olkin型指数分布.

埃尔兰分布的密度函数为

其中r是正整数，λ>0.

当r=1时，就是指数分布.则埃尔兰分布就是指数分布的一种推广形式.

Γ分布的密度函数为

其中r>0，λ>0.

它是埃尔兰分布的推广，当然也是指数分布的一种推广形式.

此外，关于分布的可加性：同泊松分布且相互独立的n个随机变量之和仍服从泊松分布，同正态分布且相互独立的n个随机变量之和仍服从正态分布，同两点分布且相互独立的n个随机变量之和仍服从二项分布，同正态分布且相互独立的n个随机变量的线性组合仍服从正态分布.

Γ分布的的可加性是：如果X1,……Xn相互独立，Xi,i=1,2,3,…,服从参数为αi,λ的Γ分布，则服从参数为αi,λΓ分布.

但是，它的特殊形式指数分布：同指数分布且相互独立的n个随机变量之和服从Γ（n,λ）分布或者χ2（2n）分布.已经不是指数分布.

例如：n=2，α1=α2=1,Z=X1+X2的概率密度为

他不是指数分布.当然χ2分布也具有可加性.

〔1〕李贤平.概率论基础（第二版）[M].高等教育出版社，1979.4，116，128.

〔2〕魏宗舒，等.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社，1983.10.

〔3〕刘国祥.广义指数分布[J].赤峰学院学报，2007，（3）：1-8.

〔4〕刘国祥.药物在机体内分布的数学模型[J].赤峰学院学报，2008，（3）：15-16.

〔5〕李国安.多元Marshll-O lkin型指数分布的特征及其参数估计[J].工程数学学报，2005,22（6）：1055-1062.

O221.8

A

1673-260X（2011）12-0012-03