基于MGF研究指数分布与其他分布之间的关系

朱 芳 汪 慧

（安徽新华学院通识教育部 安徽合肥 230088）

一、引言

指数分布是概率论与数理统计[2]中非常重要的一种分布类型，是分析和解决统计学问题中常用的工具之一,在概率论与数理统计研究中具有非常重要的实际应用价值。近些年来，很多学者基于MGF深入研究统计学、代数学以及其他学科，并取得了很多显著的成果[3][4][5].本文主要基于MGF的定义及性质研究指数分布与其他几种分布之间的内在联系，旨在进一步介绍概率论中几种特殊的分布，帮助学生在课堂之余丰富概率知识，并了解概率论的博大精深。首先给出MGF的定义及一些重要的性质。

其中Px（x）为离散型随机变量X的概率函数；fx（x）为连续型随机变量x的概率密度函数。

性质1.1 设随机变量X,Y的动差生成函数存在,且Z=X+Y,则有：

性质1.2 设随机变量Y=a+bX（a,b为任意的常数),则有：

由MGF定义和性质得出指数分布、泊松分布、Laplace正态分布和Gamma分布的MGF：

表1 指数分布、泊松分布、Laplace分布和Gamma分布的MGF

二、指数分布其他几种分布之间的关系

（一）指数分布与泊松分布。设随机变量X～E（λ），Y～Poisson（λt）,Y 表示某事件在时间段[0,T]内发生的总次数,令Y为该事件第一次发生的时间,则有：

等式两边同时求导得：

因此可以看出随机变量为指数分布。

定理2.1 泊松分布在某种情况下可以近似为指数分布。

（二）指数分布与Laplace分布。设随机变量X1～E（1），X2-E（1），且随机变量 Z=X1-X2，X1，X2，Z,的 MGF 分别记为MX1（t）,MX2（t）,MXz（t）。

结合表格1知X～E（1）的指数分布的动差生成函数为：

结合MGF的性质得：

设 Z0～Laplace(0,1),则有：

定理 2.2 当 X1～E（1），X2～E（1）时,X1-X2.～Laplace(0,1)。

（三）指数分布与 Gamma分布。设随机变量 X1～E（1）,记随机变量，的MGF分别记为,且,

则由MGF的性质得：

假设 W～Gamma（n,λ），则可以计算出：

定理2.3 参数相同的多个指数分布的和即为Gamma分布。

三、结语

通过三个定理的简单证明，可以看出指数分布与其他三种分布之间的内在联系，说明在特定情况下分布之间是可以相互转化的.本文主要基于MGF研究指数分布与泊松分布、Laplace正态分布及Gamma分布三者之间的关系，帮助学生在学习课堂知识之余更加深入的理解几类重要分布，感受概率论的博大精深，为后期统计学的学习奠定基础，实现多角度的辅助教学，这样既可以满足学生对知识探索的需求，也可以丰富教学内容.