浅谈如何挖掘 数学问题中的 “隐含条件”

吕建军

摘 要：数学问题中的隐含条件直接决定着数学问题能否有效解决。因而寻觅数学问题中的隐含条件，了解隐含条件的各种形式，掌握隐含条件的发现、分析方法，从题目的各种文字、各种数学模型、各种数学图形中挖掘出隐含条件，就显得非常重要。本文对隐含条件的挖掘和运用进行了一些粗浅的探讨。

关键词：数学问题；隐含条件；挖掘

所谓“隐含条件”是相对“显性条件”而言的，是数学问题中已知条件没有明确指出，且对解决问题起到关键作用的一些条件。由于它的原因，许多学生解题失误或解题困难，失去不必要失去的分数，但若能引导学生仔细审题，认真观察，充分挖掘隐含条件，并充分利用条件，积极拓展解题思路，优化解题过程，对提高学生解题能力是十分重要的。

挖掘隐含条件，必须具有扎实的数学基本知识、多样的解题技巧和严密的数学思维。运用隐含条件，要恰到好处，运用自如，才能使解题水到渠成，结论完美自然。我认为，可以从下面四个方面去挖掘。

一、在数学问题语言中挖掘隐含条件，寻找解题思路

数学语言简洁精练、形式多变，表达形式包括文字、符合、图形等。数学语言的巧妙组织，构造出千差万别的数学问题，在解答数学问题的过程中，要灵活将各种形式的数学语言互相转化，使隐含条件在问题中一步步呈现出来，要认真多角度思考，找寻解题思路。

例如2009年江西高考试题：若不等式9-x2≤k（x+2）-2的解集为区间［a，b］，且b-a=2，则 k=_。

这是一个带有根式的不等式的解的问题，因其中含有k，a，b三个字母参数，乍看起来无从下手。如果仔细审题，挖掘问题考查实质及k，a，b关系，试用图形来描述，就能寻找到问题的条件、结论之间的内在联系。从图形上看，问题的实质是满足一条直线在半圆上部时且带有条件限制时的直线的斜率。

解：原不等式两边看成是两个函数，左边是y= 9-x3，其图象是圆心在原点，半径是3的上半圆；右边是 y=k（x+2）- 2，其图象是经过定点（-2，

）的一条直线，因为原不等式的解集是［a-2，a］，由图象可以看出x应该取区间［1，3］时才满足原不等式，此时直线必过半圆上的点（1，2 2），代入直线，得k=2。

二、在数学问题概念中挖掘隐含条件，寻找解题捷径

数学概念通常是隐含条件的隐藏之处。要挖掘隐含条件，必须对概念的含义进行解剖，揭开其表象，抓住其实质，从而将问题简化，找到解决问题的有效方法。

例如：已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是3和5，与y轴点的纵坐标是15，求这个二次函数的解析式。

求二次函数解析式的方法很多，通过对题目已知条件的分析，函数图象过三点（3，0），（5，0），（0，15） ，设出二次函数的一般式，用待定系数法，列a，b，c三元方程组解。但是进一步分析，可得与x轴两个交点横坐标分别是3，5，这可看做是一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个根，于是隐含条件显现出来，可利用二次函数解析式的“两根式”很快解题。

三、在数学问题质疑中挖掘隐含条件，做到查漏补缺

有些数学问题，按惯常的思路求解，会造成一些增根，也可能造成失根。这些常见的错误往往都是因为没有发现问题的隐含条件。如果对解题过程中某些带有疑点的问题充分分析，带着疑点审视问题的条件和结论，从而挖掘隐含条件，问题就能及时得到准确的解答。

例如：求过点（2，3）且与（x+1）2+

y2=9相切的直线方程。

有许多学生由点斜式设出直线方程y-3=k（x-2），由直线与圆相切定义，圆心到直线距离等于半径3，解得k=0，所以切线方程为y=3。但仔细考虑点在圆外，过圆外一点的切线一共有两条，而本题是一条，说明失去一条，为什么呢？带着疑问分析失根原因，经过思考，可知问题出在“直线的斜率”，直线斜率有的存在，有的不存在，设点斜式时，把不存在斜率的忽略了，还有一条是x=3。

四、在数学问题的“显性”条件中挖掘“隐性”条件，做到正确求解

有些数学问题，常常会设计一些“陷阱”，有些隐含条件是已知条件的变式，须将已知条件适当变形，挖掘内在实质，就不难发现其蕴涵的秘密，做到正确求解。

例如：求y=log2（x2-2x-3）的单调增区间是_ 。

学生知道这是考复合函数的知识，由内外函数的复合规律，得到［1，+∞］，但这个答案是错误的，原因是忽略定义域，正确答案是［3，+∞］。隐含条件没有挖掘出来，造成错误。

在数学解题中，需要学生多角度地去挖掘隐藏在题中的各种隐含条件，经过不断的训练和总结，对问题进行深入浅出的分析，提高思维能力和解决问题的能力，才能在解题中保持胜利。

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