万有引力公式推导中平等性和对称性的释疑

黄晓虹

摘要：万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一。它第一次解释了一种基本相互作用规律（自然界中四中相互作用之一），在人类认识自然的历史上树立了一座里程碑。万有引力定律的论证包含着假设、归纳和推测，在经过实验和观测的反复验证后上升为一条定律。

关键词：万有引力；演绎；推导

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）11-195-01

高中物理课本对万有引力的学习，经历了从行星运动规律到万有引力定律的建立过程，是极好的科学探究过程。整个学习过程追寻古学者的足迹展开：

1、思考：为什么行星围绕太阳运动？为什么天上太阳不会掉下来？

2、猜想与假设：在开普勒第三定律的基础上，伽利略、开普勒以及法国数学家笛卡尔都提出过太阳对行星的引力F应该与行星到太阳的距离r有关。

3、牛顿简化模型，行星轨道按照“圆”来处理。

4、演绎与推导：

（1）根据牛顿第二定律，得到

（2）根据牛顿第三定律，得到行星对太阳的引力大小也存在上述对称关系的结果，即

（3）根据行星与太阳地位的“平等性”，得到

关于“平等性”和“对称性”课本上并没有过多的解释，下面我就这两点进行下探讨：

第一处：对太阳与行星“对称性”如何理解？

按照牛顿的简化模型，我们应该得到如下两种情形，

学生会产生这样的质疑，从小我们都知道地球是绕着太阳转的，太阳怎么可能绕着地球转呢？我认为可以从以下两方面来释疑，（1）日心说和地心说只是选取不同参考系得到的两种结论，从今天科学来看都是不完善的，还存在缺陷。以地球为参考系，观测到太阳每天东升西落；以太阳为参考系，观测到地球绕太阳公转，两种模型是以不同的参考系为基础建立的，不存在互相矛盾的问题。（2）直到今天关于太阳与地球的转动形式准确描述仍存在争议，有的学说还认为，太阳与行星围绕一个共同的质心运转。

第二处：太阳与行星地位的“平等性”如何理解？

同时

根据牛顿第二定律 大小相等所以

从哲学角度解释，F对M、m依赖关系相同，引入比例系数G，得

这样的解释肯定是正确的，可是如果遇到钻“牛角尖”的学生，可能会想不通，要求演示具体推导过程，那么我们可以利用数学方式推导出结果，更有说服力。

假设一颗绕太阳运转的行星的质量为m，轨道半径为r，运行周期为T，太阳的质量为M，行星绕太阳做圆周运动：①根据开普勒第三定律：②

由②代入①得：③，设 ，得④根据对称性：行星对太阳的引力⑤

由②代入⑤得：⑥

设 ，得⑦

根据牛顿第三定律， ，由④和⑦得

化简得：

设 ，则 ⑧， ⑨

由⑧代入④得：

同理由⑨代入⑦得：

所以行星与太阳相互作用力