例说模型构造

黄俊峰++袁方程

构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法.下面通过几例探讨构造模型在中学数学中的应用.

1. 构造方程模型

例1 已知[1m2+1m-3=0，][n4+n2-3=0]且[1m≠n2，]求[mn4+n2m2]的值.

分析 题设条件具备[x2+x-3=0]的形式，如[1m]，[n2]是此方程的两根，于是可以构造二次方程解决.

解 [∵1m2+1m-3=0]，[n4+n2-3=0]，且[1m≠n2]，

[∴1m]，[n2]是方程[x2+x-3=0]的两根，

即有[1m+n2=-1]，[1m?n2=-3].

[∴mn4+n2m2]=[n2m（1m+n2）]=3.

2. 构造函数模型

例2 若[|a|<1，|b|<1，|c|<1，a，b，c]为实数，

求证：[ab+bc+ca>-1.]

证明 构造一次函数[f（x）=（b+c）x+bc+1]，

则[f（1）=（b+c）+bc+1][=（1+b）（1+c）>0]，

[f（-1）=-（b+c）+bc+1][=（1-b）（1-c）>0].

由一次函数的线性性质知，对[-10]，即[（b+c）a+bc+1>0].

故[ab+bc+ca>-1].

3. 构造递推数列模型

例3 设实数[a，b，x，y]满足方程[ax+by=3]，[ax2+by2=7]，[ax3+by3=16]，[ax4+by4]=42，求[ax5+by5].

分析 一般项具有[axn+byn]形式，若令[an=axn+byn]，则易得[an+2，an+1，an]之间的关系，从而得到递推模型.

解 设[an=axn+byn]，则有[a1]=3，[a2]=7，[a3]=16，[a4]=42.

又[an+2=axn+2+byn+2]

[=（x+y）（axn+1+byn+1）][-xy（axn+byn）]

[=（x+y）an+1-xyan]，

即[an+2=（x+y）an+1-xyan]，

故[7（x+y）-3xy=16，][16（x+y）-7xy=42].

[∴x+y=-14]，[xy=-38].

[∴ax5+by5]=[a5]=[（x+y）a4-xya3]

=[-14×42+38×16]=20.

4. 构造不等式模型

例4 解方程[sin2x+sin2（π3-x）][cos2x+cos2（π3-x）][=34.]

分析 左边具有[（a12+a22）（b12+b22）]的形式，因此可以柯西不等式为相似模型.

解 [sin2x+sin2（π3-x）cos2x+cos2（π3-x）]

[≥sinxcos（π3-x）+sin（π3-x）cosx2]

[=sin2（x+π3-x）=34]，

当且仅当[sinxcos（π3-x）][=sin（π3-x）cosx]时取等号.

故[sin2x=sin（2π3-2x）]，解得，[x=kπ2+π6][（k∈z）].

5. 构造平面几何模型

例5 求值：[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°.]

解析 此题的解法很多.这里引导大家观察其结构，联想余弦定理的形式似乎相近，将原式表示为[sin285°+sin280°-2sin85°sin80°cos15°]，结合正弦定理，在直径为1的圆内构造一个如图所示的[△ABC].

其中[A=85°，B=80°，C=15°]，

由正弦定理知，[BC=sin85°]，[AC]=sin80°，[AB]=sin15°，

由余弦定理知，

[sin215°=sin285°+sin280°-2sin85°sin80°cos15°]，

即[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°]

[=sin215°=1-cos30°2=2-34.]

6. 构造复数模型

例6 已知[a，b]为小于1的正数，

求证：[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2+]

[1-a2+1-b2≥22.]

证明 设[z1=a+bi，z2=1-a+bi，z3=a+1-bi，z4][=1-a+1-bi，]

则[z1=a2+b2，z2=1-a2+b2，]

[z3=a2+1-b2，z4=1-a2+1-b2].

[z1+z2+z3+z4≥z1+z2+z3+z4=2+2i=22，]

所以[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2+]

[1-a2+1-b2≥22]成立.

7. 构造圆锥曲线模型

例7 求函数[f（x）=x4-3x2-6x+13][-x4-x2+1]的最大值.

解析 函数变形为

[f（x）=（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2].

其几何意义为[P（x，x2）]到[A]（3，2）与[B]（0，1）的距离之差的最大值.

而[P]为抛物线[y=x2]上任意一点，可构造如图抛物线模型求解.

利用三角形两边之差小于第三边，

即[PA-PB≤AB]（[P，A，B]三点共线时取等号），

即得[fmax（x）=AB=10].

8. 构造子集模型

例8 设集合[S=1，2，…，99]，非空子集[A]满足条件：对任意的[a∈A]，必有[100-a∈A]，问它们的集合[A]共有多少个？

解析 根据元素性质，分类构造子集，是解决组合中某些计数问题的简捷方法，显得思路清晰.

对题设，构造S的如下元素之和一定的子集：[1，99]，[2，98，3，97，49，51，…，50].

依题意，符合条件的集合为这些子集及它们组成的所有并集.

故集合[A]共有[C150+C250+C350+…+C5050=250-1].

9. 构造组合模型

例9 把[n]个相同的小球放入m（m[≤]n）个有编号的盒子里，每个盒子至少放入一个球，共有多少种不同的放法？

解析 构造一个隔板模型，将这[n]个相同的小球排成一列，在相邻两个小球之间形成的[n-1]个间隙中选取[m-1]个插入隔板，将[n]个球分成[m]个区间，第[i] [（1≤i≤m）]个区间的球对应第[i]个盒子的名额.因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等，因隔板插入方法数为[Cm-1n-1].故共有[Cm-1n-1]种不同的方法.

构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法.下面通过几例探讨构造模型在中学数学中的应用.

1. 构造方程模型

例1 已知[1m2+1m-3=0，][n4+n2-3=0]且[1m≠n2，]求[mn4+n2m2]的值.

分析 题设条件具备[x2+x-3=0]的形式，如[1m]，[n2]是此方程的两根，于是可以构造二次方程解决.

解 [∵1m2+1m-3=0]，[n4+n2-3=0]，且[1m≠n2]，

[∴1m]，[n2]是方程[x2+x-3=0]的两根，

即有[1m+n2=-1]，[1m?n2=-3].

[∴mn4+n2m2]=[n2m（1m+n2）]=3.

2. 构造函数模型

例2 若[|a|<1，|b|<1，|c|<1，a，b，c]为实数，

求证：[ab+bc+ca>-1.]

证明 构造一次函数[f（x）=（b+c）x+bc+1]，

则[f（1）=（b+c）+bc+1][=（1+b）（1+c）>0]，

[f（-1）=-（b+c）+bc+1][=（1-b）（1-c）>0].

由一次函数的线性性质知，对[-10]，即[（b+c）a+bc+1>0].

故[ab+bc+ca>-1].

3. 构造递推数列模型

例3 设实数[a，b，x，y]满足方程[ax+by=3]，[ax2+by2=7]，[ax3+by3=16]，[ax4+by4]=42，求[ax5+by5].

分析 一般项具有[axn+byn]形式，若令[an=axn+byn]，则易得[an+2，an+1，an]之间的关系，从而得到递推模型.

解 设[an=axn+byn]，则有[a1]=3，[a2]=7，[a3]=16，[a4]=42.

又[an+2=axn+2+byn+2]

[=（x+y）（axn+1+byn+1）][-xy（axn+byn）]

[=（x+y）an+1-xyan]，

即[an+2=（x+y）an+1-xyan]，

故[7（x+y）-3xy=16，][16（x+y）-7xy=42].

[∴x+y=-14]，[xy=-38].

[∴ax5+by5]=[a5]=[（x+y）a4-xya3]

=[-14×42+38×16]=20.

4. 构造不等式模型

例4 解方程[sin2x+sin2（π3-x）][cos2x+cos2（π3-x）][=34.]

分析 左边具有[（a12+a22）（b12+b22）]的形式，因此可以柯西不等式为相似模型.

解 [sin2x+sin2（π3-x）cos2x+cos2（π3-x）]

[≥sinxcos（π3-x）+sin（π3-x）cosx2]

[=sin2（x+π3-x）=34]，

当且仅当[sinxcos（π3-x）][=sin（π3-x）cosx]时取等号.

故[sin2x=sin（2π3-2x）]，解得，[x=kπ2+π6][（k∈z）].

5. 构造平面几何模型

例5 求值：[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°.]

解析 此题的解法很多.这里引导大家观察其结构，联想余弦定理的形式似乎相近，将原式表示为[sin285°+sin280°-2sin85°sin80°cos15°]，结合正弦定理，在直径为1的圆内构造一个如图所示的[△ABC].

其中[A=85°，B=80°，C=15°]，

由正弦定理知，[BC=sin85°]，[AC]=sin80°，[AB]=sin15°，

由余弦定理知，

[sin215°=sin285°+sin280°-2sin85°sin80°cos15°]，

即[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°]

[=sin215°=1-cos30°2=2-34.]

6. 构造复数模型

例6 已知[a，b]为小于1的正数，

求证：[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2+]

[1-a2+1-b2≥22.]

证明 设[z1=a+bi，z2=1-a+bi，z3=a+1-bi，z4][=1-a+1-bi，]

则[z1=a2+b2，z2=1-a2+b2，]

[z3=a2+1-b2，z4=1-a2+1-b2].

[z1+z2+z3+z4≥z1+z2+z3+z4=2+2i=22，]

所以[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2+]

[1-a2+1-b2≥22]成立.

7. 构造圆锥曲线模型

例7 求函数[f（x）=x4-3x2-6x+13][-x4-x2+1]的最大值.

解析 函数变形为

[f（x）=（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2].

其几何意义为[P（x，x2）]到[A]（3，2）与[B]（0，1）的距离之差的最大值.

而[P]为抛物线[y=x2]上任意一点，可构造如图抛物线模型求解.

利用三角形两边之差小于第三边，

即[PA-PB≤AB]（[P，A，B]三点共线时取等号），

即得[fmax（x）=AB=10].

8. 构造子集模型

例8 设集合[S=1，2，…，99]，非空子集[A]满足条件：对任意的[a∈A]，必有[100-a∈A]，问它们的集合[A]共有多少个？

解析 根据元素性质，分类构造子集，是解决组合中某些计数问题的简捷方法，显得思路清晰.

对题设，构造S的如下元素之和一定的子集：[1，99]，[2，98，3，97，49，51，…，50].

依题意，符合条件的集合为这些子集及它们组成的所有并集.

故集合[A]共有[C150+C250+C350+…+C5050=250-1].

9. 构造组合模型

例9 把[n]个相同的小球放入m（m[≤]n）个有编号的盒子里，每个盒子至少放入一个球，共有多少种不同的放法？

解析 构造一个隔板模型，将这[n]个相同的小球排成一列，在相邻两个小球之间形成的[n-1]个间隙中选取[m-1]个插入隔板，将[n]个球分成[m]个区间，第[i] [（1≤i≤m）]个区间的球对应第[i]个盒子的名额.因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等，因隔板插入方法数为[Cm-1n-1].故共有[Cm-1n-1]种不同的方法.

构造法是一种富有创造性的解题方法，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法.下面通过几例探讨构造模型在中学数学中的应用.

1. 构造方程模型

例1 已知[1m2+1m-3=0，][n4+n2-3=0]且[1m≠n2，]求[mn4+n2m2]的值.

分析 题设条件具备[x2+x-3=0]的形式，如[1m]，[n2]是此方程的两根，于是可以构造二次方程解决.

解 [∵1m2+1m-3=0]，[n4+n2-3=0]，且[1m≠n2]，

[∴1m]，[n2]是方程[x2+x-3=0]的两根，

即有[1m+n2=-1]，[1m?n2=-3].

[∴mn4+n2m2]=[n2m（1m+n2）]=3.

2. 构造函数模型

例2 若[|a|<1，|b|<1，|c|<1，a，b，c]为实数，

求证：[ab+bc+ca>-1.]

证明 构造一次函数[f（x）=（b+c）x+bc+1]，

则[f（1）=（b+c）+bc+1][=（1+b）（1+c）>0]，

[f（-1）=-（b+c）+bc+1][=（1-b）（1-c）>0].

由一次函数的线性性质知，对[-10]，即[（b+c）a+bc+1>0].

故[ab+bc+ca>-1].

3. 构造递推数列模型

例3 设实数[a，b，x，y]满足方程[ax+by=3]，[ax2+by2=7]，[ax3+by3=16]，[ax4+by4]=42，求[ax5+by5].

分析 一般项具有[axn+byn]形式，若令[an=axn+byn]，则易得[an+2，an+1，an]之间的关系，从而得到递推模型.

解 设[an=axn+byn]，则有[a1]=3，[a2]=7，[a3]=16，[a4]=42.

又[an+2=axn+2+byn+2]

[=（x+y）（axn+1+byn+1）][-xy（axn+byn）]

[=（x+y）an+1-xyan]，

即[an+2=（x+y）an+1-xyan]，

故[7（x+y）-3xy=16，][16（x+y）-7xy=42].

[∴x+y=-14]，[xy=-38].

[∴ax5+by5]=[a5]=[（x+y）a4-xya3]

=[-14×42+38×16]=20.

4. 构造不等式模型

例4 解方程[sin2x+sin2（π3-x）][cos2x+cos2（π3-x）][=34.]

分析 左边具有[（a12+a22）（b12+b22）]的形式，因此可以柯西不等式为相似模型.

解 [sin2x+sin2（π3-x）cos2x+cos2（π3-x）]

[≥sinxcos（π3-x）+sin（π3-x）cosx2]

[=sin2（x+π3-x）=34]，

当且仅当[sinxcos（π3-x）][=sin（π3-x）cosx]时取等号.

故[sin2x=sin（2π3-2x）]，解得，[x=kπ2+π6][（k∈z）].

5. 构造平面几何模型

例5 求值：[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°.]

解析 此题的解法很多.这里引导大家观察其结构，联想余弦定理的形式似乎相近，将原式表示为[sin285°+sin280°-2sin85°sin80°cos15°]，结合正弦定理，在直径为1的圆内构造一个如图所示的[△ABC].

其中[A=85°，B=80°，C=15°]，

由正弦定理知，[BC=sin85°]，[AC]=sin80°，[AB]=sin15°，

由余弦定理知，

[sin215°=sin285°+sin280°-2sin85°sin80°cos15°]，

即[cos25°+cos210°-2cos5°cos10°cos15°]

[=sin215°=1-cos30°2=2-34.]

6. 构造复数模型

例6 已知[a，b]为小于1的正数，

求证：[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2+]

[1-a2+1-b2≥22.]

证明 设[z1=a+bi，z2=1-a+bi，z3=a+1-bi，z4][=1-a+1-bi，]

则[z1=a2+b2，z2=1-a2+b2，]

[z3=a2+1-b2，z4=1-a2+1-b2].

[z1+z2+z3+z4≥z1+z2+z3+z4=2+2i=22，]

所以[a2+b2+1-a2+b2+a2+1-b2+]

[1-a2+1-b2≥22]成立.

7. 构造圆锥曲线模型

例7 求函数[f（x）=x4-3x2-6x+13][-x4-x2+1]的最大值.

解析 函数变形为

[f（x）=（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2].

其几何意义为[P（x，x2）]到[A]（3，2）与[B]（0，1）的距离之差的最大值.

而[P]为抛物线[y=x2]上任意一点，可构造如图抛物线模型求解.

利用三角形两边之差小于第三边，

即[PA-PB≤AB]（[P，A，B]三点共线时取等号），

即得[fmax（x）=AB=10].

8. 构造子集模型

例8 设集合[S=1，2，…，99]，非空子集[A]满足条件：对任意的[a∈A]，必有[100-a∈A]，问它们的集合[A]共有多少个？

解析 根据元素性质，分类构造子集，是解决组合中某些计数问题的简捷方法，显得思路清晰.

对题设，构造S的如下元素之和一定的子集：[1，99]，[2，98，3，97，49，51，…，50].

依题意，符合条件的集合为这些子集及它们组成的所有并集.

故集合[A]共有[C150+C250+C350+…+C5050=250-1].

9. 构造组合模型

例9 把[n]个相同的小球放入m（m[≤]n）个有编号的盒子里，每个盒子至少放入一个球，共有多少种不同的放法？

解析 构造一个隔板模型，将这[n]个相同的小球排成一列，在相邻两个小球之间形成的[n-1]个间隙中选取[m-1]个插入隔板，将[n]个球分成[m]个区间，第[i] [（1≤i≤m）]个区间的球对应第[i]个盒子的名额.因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等，因隔板插入方法数为[Cm-1n-1].故共有[Cm-1n-1]种不同的方法.