传送带问题的归纳与分析

(江苏省如东县丰利中学，江苏 如东 226408)

传送带类问题很容易与科学、生产和生活实际相联系，所涉及的知识点较多,如受力分析、牛顿运动定律、运动学规律、动能定理和能量的转化和守恒等，对学生的分析和综合能力要求很高，学生普遍对这类问题感到困难.希望通过对下面几类典型问题的分析，能对传送带问题的教学有所帮助.

1 水平传送带

(1)物块的初速度为零

例1 如图1所示，一平直的传送带以速度v=2m/s做匀速运动，传送带把A处的小物块运送到B处，A、B相距L=10m.从A处把小物块无初速地放到传送带上，经过时间t=6s能传送到B处.欲用最短的时间把小物块从A处传送到B处，小物块可视为质点.求传送带的运行速度至少多大？

图1

解析：把小物块无初速地放到传送带上，小物块在传送带施加的滑动摩擦力作用下，开始做匀加速运动，小物块的速度不断增加.若小物块在达到传送带另一端时速度小于或等于传送带速度，物块在传送带上一直做是匀加速运动；若小物块在达到传送带另一端前速度已等于传送带速度，此后，物块不受摩擦力，则物块在传送带上先做匀加速运动，然后做匀速运动.

图2

在加速度仍为a、位移一定的情况下，要回答小物块以什么方式运动时间最短，借助如图2所示的v—t图象可以证明：当物块做匀加速运动的时间最短.

(2)物块的初速度不为零

例2 质量为m的物块从传送带的左端以初速度v0水平进入长为L的静止的传送带，最后物块落在水平地面的Q点，如图3所示.已知传送带的上表面距地面高h，物块与传送带间的动摩擦因数为μ，则当传送带转动时，物块仍以初速度v0滑上传送带，则小物块的各种可能运动形式有哪些?最落在Q点的左边还是右边?

图3

解析：设传送带静止时物块滑到右端的速度为vt，物块从右端滑出后做平抛运动，当传送带转动时，要判断物块落在Q点的左边还是右边，其实就是要判断物块到达传送带右端时速度大于vt、小于vt、还是等于vt.

当传送带逆时针方向转动时，物块的运动情况与传送带静止时相同，滑出传送带后做平抛运动仍落在Q点.

当传送带顺时针转动时，可能出现五种情况：

①当传送带的速度v1≤vt时，物块相对传送带向右运动，物块一直做匀减速运动，离开传送带时的速度为vt，因而仍将落在Q点.

②当传送带的速度vtvt，因而将落在Q点的右边.

③当传送带的速度v3=v0时，物块以速度v0与传送带一起做匀速运动，离开传送带时的速度大小是v0>vt，故将落在Q点右侧.

本题既考查考生的基础知识，又考查考生的推理能力、分析综合能力，是培养学生探究习惯和提高学生探究能力的一道好题.

(3)物块做往复运动

图4

(1)物块到达曲面底端B处时的速度大小；

(2)物块在斜面上运动离C点的最远距离；

(3)物块的最终运动形式及其在斜面上运动的总路程.

(2)物块由A到B加速运动，B到C和C到D均做匀减速运动，根据动能定理有mg(H-xsin30°)-μ1mgL-μ2mgxcos30°=0，解得x=1m.

即恰好到达C处.说明物块不可能再次冲上斜面，物块在传送带的滑动摩擦力作用下向B加速运动，然后冲上曲面再滑下，再次滑上传送带减速运动恰好到达C处.最终物块从曲面上某处到C间往复运动.所以物块在斜面上运动的总路程s=2x=2m.

本题物块的运动过程比较多，要正确解题，除了要分析物块受的摩擦力方向及物块的运动形式外，还要注意解题方法的选取，物块在传送带和斜面上运动时，也可以用牛顿运动定律和运动学规律处理，但过程比较复杂，容易出错，而用动能定理解题比较简单.

2 倾斜传送带

(1)沿传送带向下运动

图5

例4 如图5所示，传送带与水平面夹角为37°，并以v=10m/s运行，在传送带的A端轻轻放一个小物块，物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，AB长16米，小物块可视为质点，取g=10m/s2.求：以下两种情况下物块从A到B所用的时间.

(1)传送带顺时针方向转动；

(2)传送带逆时针方向转动.

图6

解析：(1)传送带顺时针方向转动时，物块受力如图6所示，物块沿传送带向下做匀加速运动.根据牛顿第二定律有mgsinθ-μmgcosθ=ma，解得a=gsinθ-μgcosθ=2m/s2.

传送带顺时针方向转动时，物块从A到B所用的时间为4s.

图7

(2)传送带逆时针方向转动物体受力如图7所示，开始物块相对传送带向上运动，物块受摩擦力方向向下，向下做匀加速运动.根据牛顿第二定律有mgsinθ+μmgcosθ=ma1，解得a1=10m/s2.

经1s后，物块速度达到10m/s，由于动摩擦因数μ=0.5

所以传送带逆时针方向转动时，物块从A到B所用的时间为t=t1+t2=2s.

处理这类问题的关键是受力分析和运动分析，特别是对摩擦力的分析,是解题的突破口.

(2)随传送带向上运动

图8

例5 如图8所示，与水平面成θ角的传送带在电动机的带动下以恒定速率v向上运动，现将质量为m的小物块(视为质点)轻轻地放在A处，最后到达B处.小物块到达B处时恰好达到传送带的速率v，AB的高度差为h，重力加速度为g.在小物块从A到B的过程中，求：

(1)传送带对小物块做的功及系统产生的热量；

(2)电动机由于传送物块多消耗的电能.

设传送带对小物块的滑动摩擦力为f，A到B的距离为x，则W=fx.

3 平斜交接的传送带

例6 一传送带装置示意如图9所示，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，未画出)，经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切.现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h.稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L.每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动.已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N.这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动,不计轮轴处的摩擦.求电动机的平均输出功率P.

解析：以地面为参考系(下同)，设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有：

图9

在这段时间内，传送带运动的路程为：

s0=v0t，由以上可得：s0=2s.

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等.

已知相邻两小箱的距离为L，所以v0T=NL.

本题的关键是运动状态分析和能量分析,这对学生分析解决问题的能力是一个挑战.