“解题后反思”习惯的培养

林志光

摘 要： 新形势下的数学教学，旨在提高学生的学习效率，培养解题后的反思习惯，帮助学生总结经验，发现规律，形成技能与技巧，还能触类旁通，从而有效提高学习效率.

关键词： 解题后反思 习惯培养 数学教学

解题是数学的精髓，也是学习数学的核心.一个数学问题成功解答，不仅需要学生对有关知识和数学技能的深刻认识和理解，还要与所学知识、数学经验与方法有机结合起来，从而形成并掌握一定的解题策略.在实际的数学教学中，一部分老师和学生往往只注重解题数量，忽视了解题质量，致使部分学生陷入茫茫题海中，且效果不佳.其实，一道数学习题的解答成功与否，不在于数学习题本身的复杂程度，而是取决于是否掌握了正确的思维方法，即探索解题的思维方法和程序.学生解题时常有审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近的知识，考虑不周或计算出错等错误，即解题时往往不能保证一次性正确和完善，所以解题后必须对解题过程进行必要的回顾与评价，对结论的正确性和合理性进行验证.一些学生把完成作业当成任务，解完题后就万事大吉，头也不回，扬长而去，由此产生大量谬误，导致学习效率低下.究其原因，就是没有良好的数学思维品质，没有养成解题后反思习惯.美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的回顾.”因此，要有效地培养数学解题能力，解题后反思是一个不可缺少的重要环节，进行解题后反思，能帮助我们总结经验，发现规律，形成技能与技巧，还能触类旁通，有效提高学习效率.那么如何培养学生解题后的反思习惯？

一、让学生明确反思的意义和作用

数学的学习是思维方法的学习，对一道数学习题，学生关心的不是现成的解法或答案，而是关心怎样想到的，怎样才能想到.如果一道习题解答成功了，就要知道是怎样想到的，以后遇到这样的问题应怎样思考.如果解题失败了，就要找出失败的原因，以后遇到这样的问题时应注意什么.反思往往能思出方法，思出技能.因此，解题后反思，实际上是一个知识小结、方法提炼的过程，是一个吸取教训、逐步提高的过程，是一个收获期望的过程.通过解题后反思，能发展数学思维，并能将新的方法和知识构建在已有的知识体系上，通过解后反思，能增强自我学习意识，自我指导，自我批评能力，不断对学习进行纠错、创新，从而有效提高数学思维能力和解题能力.

二、激发学生反思的动力

一是要不断激发学生的内部动力.学生都希望自己的学习成绩优秀，希望能考出令自己、老师、家长满意和令同学嫉妒的成绩，在解题后希望自己的答案是正确的，方法是的新的，因此，对学生的独特、新颖的解法要及时给予激励，对能提出不同解法的学生要不断鼓励，激发他们继续反思与探索；二是给他们一些外部动力，如在上课过程中，在完成例题后留一定的时间让他们反思，在小结过程中让他们反思回顾本节所学内容，在作业错误后让学生及时订正反思等.努力促进他们将外部外力转化为内部动力，主动反思整个解题过程，这样必将大大提高他们的数学思维能力.

三、指导解题后反思方向

解题是获得知识和技能的重要途径，解题后能及时总结反思，必能收到事半功倍之效.那么，解题后怎样反思？反思什么呢？

1.思方法

解题后总结一下解题方法，归纳一下解技巧，有利于牢固掌握这种方法，培养触类旁通、举一反三的能力.

例1：如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

证明：（1）∵MN∥BC，

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE，∴∠FEC=∠ACE，

∴OE=OC.同理可证OF=OC，∴OE=FO.

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由（1）得OE=OF，又∵O为AC的中点，∴AO=CO.

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形.

此题中有角平分线和平行这两个条件，由这两个条件，得到△OCE和△OCF为等腰三角形，从而得OE=OF.通过这道题我们发现，只要有平行和角平分线这两个条件，一般都可构造出等腰三角形，思出了方法，以后遇到有类似条件的问题，就可以这样联想了.

2.思变化

例2：已知：如图，PA切⊙O于A点，割线PCB交⊙O于C、B两点，D是线段BP上一点，且PD =PB×PC，直线AD交⊙O于E点.

1.求证：AD平分∠BAC；

2.求证：AB×AC=AD×AE.

若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”，则题（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

3.思学法

解题之后要及时归纳，要对做过的习题进行归类：把题目相似但解法明显不同甚至截然相反的归为一类，分析解法不同的原因，方法上应怎样进行改进；把题目虽然不同但解法相似的归为一类，分析为什么；还要总结常见题型的常用方法及解题要点：不同题型解法上的差异.有的学生能做对同类型的几道题，可一旦变换解题情景，变换设问角度，便无从下手.这就需要通过分析、反思，总结出解该类型题目的一般思路和方法.

总之，培养学生解题后的反思习惯，能促进学生对所学知识和技能的深化理解，也能促进学生所学知识与能力的相互转化.

参考文献：

[1]数学课程标准解读.

[2]中国数学教育初中版，2011.

[3]中学数学杂志.endprint

摘 要： 新形势下的数学教学，旨在提高学生的学习效率，培养解题后的反思习惯，帮助学生总结经验，发现规律，形成技能与技巧，还能触类旁通，从而有效提高学习效率.

关键词： 解题后反思 习惯培养 数学教学

解题是数学的精髓，也是学习数学的核心.一个数学问题成功解答，不仅需要学生对有关知识和数学技能的深刻认识和理解，还要与所学知识、数学经验与方法有机结合起来，从而形成并掌握一定的解题策略.在实际的数学教学中，一部分老师和学生往往只注重解题数量，忽视了解题质量，致使部分学生陷入茫茫题海中，且效果不佳.其实，一道数学习题的解答成功与否，不在于数学习题本身的复杂程度，而是取决于是否掌握了正确的思维方法，即探索解题的思维方法和程序.学生解题时常有审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近的知识，考虑不周或计算出错等错误，即解题时往往不能保证一次性正确和完善，所以解题后必须对解题过程进行必要的回顾与评价，对结论的正确性和合理性进行验证.一些学生把完成作业当成任务，解完题后就万事大吉，头也不回，扬长而去，由此产生大量谬误，导致学习效率低下.究其原因，就是没有良好的数学思维品质，没有养成解题后反思习惯.美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的回顾.”因此，要有效地培养数学解题能力，解题后反思是一个不可缺少的重要环节，进行解题后反思，能帮助我们总结经验，发现规律，形成技能与技巧，还能触类旁通，有效提高学习效率.那么如何培养学生解题后的反思习惯？

一、让学生明确反思的意义和作用

数学的学习是思维方法的学习，对一道数学习题，学生关心的不是现成的解法或答案，而是关心怎样想到的，怎样才能想到.如果一道习题解答成功了，就要知道是怎样想到的，以后遇到这样的问题应怎样思考.如果解题失败了，就要找出失败的原因，以后遇到这样的问题时应注意什么.反思往往能思出方法，思出技能.因此，解题后反思，实际上是一个知识小结、方法提炼的过程，是一个吸取教训、逐步提高的过程，是一个收获期望的过程.通过解题后反思，能发展数学思维，并能将新的方法和知识构建在已有的知识体系上，通过解后反思，能增强自我学习意识，自我指导，自我批评能力，不断对学习进行纠错、创新，从而有效提高数学思维能力和解题能力.

二、激发学生反思的动力

一是要不断激发学生的内部动力.学生都希望自己的学习成绩优秀，希望能考出令自己、老师、家长满意和令同学嫉妒的成绩，在解题后希望自己的答案是正确的，方法是的新的，因此，对学生的独特、新颖的解法要及时给予激励，对能提出不同解法的学生要不断鼓励，激发他们继续反思与探索；二是给他们一些外部动力，如在上课过程中，在完成例题后留一定的时间让他们反思，在小结过程中让他们反思回顾本节所学内容，在作业错误后让学生及时订正反思等.努力促进他们将外部外力转化为内部动力，主动反思整个解题过程，这样必将大大提高他们的数学思维能力.

三、指导解题后反思方向

解题是获得知识和技能的重要途径，解题后能及时总结反思，必能收到事半功倍之效.那么，解题后怎样反思？反思什么呢？

1.思方法

解题后总结一下解题方法，归纳一下解技巧，有利于牢固掌握这种方法，培养触类旁通、举一反三的能力.

例1：如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

证明：（1）∵MN∥BC，

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE，∴∠FEC=∠ACE，

∴OE=OC.同理可证OF=OC，∴OE=FO.

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由（1）得OE=OF，又∵O为AC的中点，∴AO=CO.

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形.

此题中有角平分线和平行这两个条件，由这两个条件，得到△OCE和△OCF为等腰三角形，从而得OE=OF.通过这道题我们发现，只要有平行和角平分线这两个条件，一般都可构造出等腰三角形，思出了方法，以后遇到有类似条件的问题，就可以这样联想了.

2.思变化

例2：已知：如图，PA切⊙O于A点，割线PCB交⊙O于C、B两点，D是线段BP上一点，且PD =PB×PC，直线AD交⊙O于E点.

1.求证：AD平分∠BAC；

2.求证：AB×AC=AD×AE.

若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”，则题（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

3.思学法

解题之后要及时归纳，要对做过的习题进行归类：把题目相似但解法明显不同甚至截然相反的归为一类，分析解法不同的原因，方法上应怎样进行改进；把题目虽然不同但解法相似的归为一类，分析为什么；还要总结常见题型的常用方法及解题要点：不同题型解法上的差异.有的学生能做对同类型的几道题，可一旦变换解题情景，变换设问角度，便无从下手.这就需要通过分析、反思，总结出解该类型题目的一般思路和方法.

总之，培养学生解题后的反思习惯，能促进学生对所学知识和技能的深化理解，也能促进学生所学知识与能力的相互转化.

参考文献：

[1]数学课程标准解读.

[2]中国数学教育初中版，2011.

[3]中学数学杂志.endprint

摘 要： 新形势下的数学教学，旨在提高学生的学习效率，培养解题后的反思习惯，帮助学生总结经验，发现规律，形成技能与技巧，还能触类旁通，从而有效提高学习效率.

关键词： 解题后反思 习惯培养 数学教学

解题是数学的精髓，也是学习数学的核心.一个数学问题成功解答，不仅需要学生对有关知识和数学技能的深刻认识和理解，还要与所学知识、数学经验与方法有机结合起来，从而形成并掌握一定的解题策略.在实际的数学教学中，一部分老师和学生往往只注重解题数量，忽视了解题质量，致使部分学生陷入茫茫题海中，且效果不佳.其实，一道数学习题的解答成功与否，不在于数学习题本身的复杂程度，而是取决于是否掌握了正确的思维方法，即探索解题的思维方法和程序.学生解题时常有审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近的知识，考虑不周或计算出错等错误，即解题时往往不能保证一次性正确和完善，所以解题后必须对解题过程进行必要的回顾与评价，对结论的正确性和合理性进行验证.一些学生把完成作业当成任务，解完题后就万事大吉，头也不回，扬长而去，由此产生大量谬误，导致学习效率低下.究其原因，就是没有良好的数学思维品质，没有养成解题后反思习惯.美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的回顾.”因此，要有效地培养数学解题能力，解题后反思是一个不可缺少的重要环节，进行解题后反思，能帮助我们总结经验，发现规律，形成技能与技巧，还能触类旁通，有效提高学习效率.那么如何培养学生解题后的反思习惯？

一、让学生明确反思的意义和作用

数学的学习是思维方法的学习，对一道数学习题，学生关心的不是现成的解法或答案，而是关心怎样想到的，怎样才能想到.如果一道习题解答成功了，就要知道是怎样想到的，以后遇到这样的问题应怎样思考.如果解题失败了，就要找出失败的原因，以后遇到这样的问题时应注意什么.反思往往能思出方法，思出技能.因此，解题后反思，实际上是一个知识小结、方法提炼的过程，是一个吸取教训、逐步提高的过程，是一个收获期望的过程.通过解题后反思，能发展数学思维，并能将新的方法和知识构建在已有的知识体系上，通过解后反思，能增强自我学习意识，自我指导，自我批评能力，不断对学习进行纠错、创新，从而有效提高数学思维能力和解题能力.

二、激发学生反思的动力

一是要不断激发学生的内部动力.学生都希望自己的学习成绩优秀，希望能考出令自己、老师、家长满意和令同学嫉妒的成绩，在解题后希望自己的答案是正确的，方法是的新的，因此，对学生的独特、新颖的解法要及时给予激励，对能提出不同解法的学生要不断鼓励，激发他们继续反思与探索；二是给他们一些外部动力，如在上课过程中，在完成例题后留一定的时间让他们反思，在小结过程中让他们反思回顾本节所学内容，在作业错误后让学生及时订正反思等.努力促进他们将外部外力转化为内部动力，主动反思整个解题过程，这样必将大大提高他们的数学思维能力.

三、指导解题后反思方向

解题是获得知识和技能的重要途径，解题后能及时总结反思，必能收到事半功倍之效.那么，解题后怎样反思？反思什么呢？

1.思方法

解题后总结一下解题方法，归纳一下解技巧，有利于牢固掌握这种方法，培养触类旁通、举一反三的能力.

例1：如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.

证明：（1）∵MN∥BC，

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB，∴∠ECB=∠ACE，∴∠FEC=∠ACE，

∴OE=OC.同理可证OF=OC，∴OE=FO.

（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB，CF平分∠BCA的外角，

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由（1）得OE=OF，又∵O为AC的中点，∴AO=CO.

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠ECF=90°，

∴四边形AECF是矩形.

此题中有角平分线和平行这两个条件，由这两个条件，得到△OCE和△OCF为等腰三角形，从而得OE=OF.通过这道题我们发现，只要有平行和角平分线这两个条件，一般都可构造出等腰三角形，思出了方法，以后遇到有类似条件的问题，就可以这样联想了.

2.思变化

例2：已知：如图，PA切⊙O于A点，割线PCB交⊙O于C、B两点，D是线段BP上一点，且PD =PB×PC，直线AD交⊙O于E点.

1.求证：AD平分∠BAC；

2.求证：AB×AC=AD×AE.

若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”，则题（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

3.思学法

解题之后要及时归纳，要对做过的习题进行归类：把题目相似但解法明显不同甚至截然相反的归为一类，分析解法不同的原因，方法上应怎样进行改进；把题目虽然不同但解法相似的归为一类，分析为什么；还要总结常见题型的常用方法及解题要点：不同题型解法上的差异.有的学生能做对同类型的几道题，可一旦变换解题情景，变换设问角度，便无从下手.这就需要通过分析、反思，总结出解该类型题目的一般思路和方法.

总之，培养学生解题后的反思习惯，能促进学生对所学知识和技能的深化理解，也能促进学生所学知识与能力的相互转化.

参考文献：

[1]数学课程标准解读.

[2]中国数学教育初中版，2011.

[3]中学数学杂志.endprint