数学学习重在理解

徐凤

摘 要： 数学学习需要理解。数学知识具有高度的抽象性，学生对它的认识、理解和内化是一个渐进的感悟过程，需要读、说、反复、反思。

关键词： 数学学习 理解 感受 反思

数学一直是大部分学生公认的最难学的学科之一。在数学学习过程中，很多学生都面临相同的困惑：他们认识数学材料中的每一个字、字母与数字，可当这些字、字母与数字连在一起以后，他们却不能理解其中含义了，更不用说体会其中的数学思想方法了；上课时感觉都听懂了，到了解题时却不会了。这样的问题，我认为是学生没能获得真正的数学理解，他们并不理解自以为知道的东西，或许他们根本不理解自己正在学习的东西。

国内外许多专家学者从不同角度对理解问题做了积极的探索与研究，不同学派的研究结果体现出一个共同的观点：数学学习需要理解？没有理解就不可能有真正的数学学习。

什么是数学理解？对于中职数学的教与学，我认为首先是学生要清楚所学的数学内容是什么并能清楚表达；其次是学生能将所学的内容跟其已有的知识建立联系，并将新知纳入已有的认知结构中；最后是能在问题情境中运用知识。

一、落实有效的课堂理解教学

1.让学生感受知识产生的背景，理解学习数学内容的必要性。

在日常的教学过程中，学生总是会问：学了这些数学知识这有什么用？因为他们在实践中或自然界中找不到它们，他们不能理解如此这般的数学学习的正当理由。

任何学习都是一个认知过程，教科书并不能让学生了解知识发展的所有过程，对于学习数学家发现问题的过程，思考问题的方法，解决问题的途径不可能全部展示。让学生理解学习知识的背景及其必要性，明白知识的产生也有过程，是人类生活和进步的需要，是极其有价值的。例如在推广角的概念时，向学生提出如下问题：假如你的手表快了5分钟或慢了1.5小时，你是怎样将它校准的？校准后分针各转了多少度？学生用手表进行实际操作，实验中学生发现两个问题：一是分针可以顺时针或逆时针旋转，二是分针有时候旋转不到一周，有时候要转一周以上才能校准。这样的发现与学生知识结构中已有的内容不再一致，导致学生的认知发生冲突，使学生明确角必须重新定义，理解学习任意角这一内容的必要性，既明确了要研究的问题，又调动了学生解决问题的主动性和积极性，是学生理解和掌握知识的开始。

2.让学生体验知识的形成过程，在自主学习活动中感悟。

古人云：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”数学不是纯粹的解题教学，学生获取数学结果远比不上他获取这个结果的过程重要，知识的理解必须让学生经过亲身经历它的产生。

在教学函数的奇偶性定义时，设计以下步骤，让学生亲历知识形成的过程。

（2）判断各函数图像的对称性；

（3）根据所列表格寻找各函数图像上点的横纵坐标之间的关系，学生会得到结论：横坐标互为相反数时，纵坐标相等或互为相反数；

（4）引导学生将语言形式表述的概念转化为数学的表述形式，结合函数图像，得到在定义域内有x必定有-x，其对应的函数值f（x）和f（-x）相等时图像关于y轴对称，互为相反数时图像关于原点对称，既揭示了奇偶函数的定义，又明确了定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

（5）启发学生思考定义域不关于原点对称，以及f（x）和f（-x）既不相等又不互为相反数等情况将知识补充完整。

通过以上步骤，引导学生经过积极思考，发现知识的产生，体验思维过程，探索数学结论，感悟其中的思想方法和内在联系，真正地理解知识的本质。

3.让学生在运用中升华数学理解。

学习知识的最终目的是运用知识解决问题。知识形成后，直接的例题讲解是教师带领学生加深感性认识，感悟知识的内在，及时而有针对性的练习让学生自己深化理解。知识只有被深刻地理解了才具有迁移与应用的活性，让学生在运用中深化理解，在理解中提升运用，构建知识结构，完成数学知识的积累与内化。

二、促进学生数学理解教学的若干策略

1.阅读。

谈起阅读，一般都会联想到语文和英语学科，数学知识的理解离不开阅读。数学学科与其他学科的一个显著区别在于数学中充满着符号、图形和图像，它们按照一定规则表达数学意义交流数学思想。数学阅读的过程是一个积极的思考过程，当一个学生阅读一段数学材料时，他眼看、口读、耳听、心想，多种感官并用，在读中消化、感悟所学的数学知识，并在大脑中形成系统性的知识体系。

数学语言的精练和严密常让学生觉得数学内容非常抽象，尤其是在概念、定义、定理的学习中，如果仅靠老师的讲述，学生通常是在一知半解的基础上死记硬背，即使当时背得滚瓜烂熟，很快就会忘得一干二净。引导学生阅读，逐字、逐词、逐句地咬文嚼字，体会其中出现的数学术语和每个数学符号的含义，形成实质性的理解。

例如要求学生读函数单调性的定义，逐字感受“某个区间”、“任意”等关键词，强调学生对的理解，认识单调区间的元素。又如在引入对数，复数等内容时，阅读相关的数学史可以让学生了解更多知识的背景和发展过程，完善对知识的理解。

2.说。

学生理解知识的表现形式之一是能用自己的语言表达，在课堂上引导学生对概念或定理进行描述和分析，启发学生讲解解题思路和思考过程，把数学知识转化为内部的思维活动。说的过程，会让学生更主动地思考和倾听，通过说，学生在尝试概括出数学对象，以自己的经验和已有知识对数学对象进行解释的同时也能接受他人的思想。有条理地说能帮助加深理解，理解了才能有效地讲解和交流，更好地表达。

3.反复。

学习是一个经验积累的过程，数学理解也必定是一个逐步深入的过程，学生不可能一次性地把握数学知识全部的本质，初步的经验不是没有意义，只是通常比较肤浅和片面，理解的过程有发生也有发展，需要在解题、复习、测验等情境中，灵活反复地再现同一知识，才能做到“听懂、想通、应用和巩固”，使思维对对象的把握达到理性认识的阶段，进展到一个更深入、更全面、更广阔的程度，才可能洞察数学对象的本质特征，实现对此知识逐步深化、精确化的理解。endprint

4.反思。

数学教育家弗洛登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心和动力。”数学理解是一个动态发展的过程，是一个信息要素组织的过程，需要认知结构的再组织。要形成真正的理解，需要学习者不断地巩固和重组知识网络，在认识向前发展的过程中返首回顾，重温已接触过的东西。

获得的知识如果没有完整的结构把它们联系起来，那是一种多半会被遗忘的知识。学习到一定的阶段时，我们不仅要对所学内容进行回顾，而且要对学习活动中所涉及的知识、方法、思路、策略进行反省，理清新旧知识的纵向延伸和横向联系，抓住新旧知识的连接点，体会数学是一个有机整体，建立、完善和丰富新旧知识之间的网络。

例如将等比数列与等差数列的定义，通项公式，求和公式及有关性质进行类比，不但强化了知识间的对比，而且鲜明地展示了知识获取的过程，形成了清晰的知识脉络。又如学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，两倍角公式，半角公式，万能公式后，通过反思公式的内在联系体会对数学公式的理解。

三、教师帮助学生克服理解困难的几点做法

1.深入了解学生已有的知识经验。

每一个学习环节都要依赖之前学习过的很多个环节的数学知识，学生常常在我们称为“教学难点”的地方出错。这种情况常常发生在教学过程中知识的不连续处，或是一个特殊知识系列的起点处，教学内容的跳跃处，学生学习所需要的准备知识。在学习一个新概念以前，学生必须具备与之有关的准备知识，如果学生已有数学认知结构中缺乏与新知识相关的旧知识或经验，就无法提取可利用的知识或经验建立新旧知识的联系，从而造成理解困难。

教师必须熟悉学生原有的认知结构，采取适当的手段帮助他们建构那些缺少的观念，明晰那些模糊的观念并强化其稳定性，为理解数学新知识奠定坚实的基础。

例如在学习求一元二次不等式的解时，一元二次方程，二次函数等相关知识是支撑新概念形成的依托；复数的四则运算需要多项式运算，有理化因式等知识的准备。

2.注重给予学生自主活动和学习体验的机会。

数学理解教学是过程性教学，教师要给学生充足的思考和探索的时间，足够的尝试和讨论的时间，提供他们概括和表达的机会，使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面都得到进步和发展。

3.教师对数学知识的把握直接影响到学生的理解结果。

只有教师理解了数学知识生成的过程，准确地把握知识的本质及其在整个知识网络中的位置，才能为学生提供信息，创设情境，搭建理解的平台，揭示数学知识的实质。

数学需要被理解地学习，理解是数学学习的中心环节，是获得数学知识的关键，是数学能力发展的“奠基石”。没有理解就不可能有真正的数学学习，教师应该让每一个学生都成为数学理解学习的参与者、实践者、探索者和收获者。

参考文献：

[1]高洪武.关注概念教学加强数学理解.现代中小学教育，2010（9）.

[2]徐志莲.论高中数学概念课教学模式.丽水学院学报，2005-10.

[3]王爱珍.新课程下数学理解与促进学生数学理解.中学数学教学参考，2008-5.

[4]于福群.高中数学新课程教学应注重学生的理解学习.教育实践与研究，2009-10.endprint

4.反思。

数学教育家弗洛登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心和动力。”数学理解是一个动态发展的过程，是一个信息要素组织的过程，需要认知结构的再组织。要形成真正的理解，需要学习者不断地巩固和重组知识网络，在认识向前发展的过程中返首回顾，重温已接触过的东西。

获得的知识如果没有完整的结构把它们联系起来，那是一种多半会被遗忘的知识。学习到一定的阶段时，我们不仅要对所学内容进行回顾，而且要对学习活动中所涉及的知识、方法、思路、策略进行反省，理清新旧知识的纵向延伸和横向联系，抓住新旧知识的连接点，体会数学是一个有机整体，建立、完善和丰富新旧知识之间的网络。

例如将等比数列与等差数列的定义，通项公式，求和公式及有关性质进行类比，不但强化了知识间的对比，而且鲜明地展示了知识获取的过程，形成了清晰的知识脉络。又如学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，两倍角公式，半角公式，万能公式后，通过反思公式的内在联系体会对数学公式的理解。

三、教师帮助学生克服理解困难的几点做法

1.深入了解学生已有的知识经验。

每一个学习环节都要依赖之前学习过的很多个环节的数学知识，学生常常在我们称为“教学难点”的地方出错。这种情况常常发生在教学过程中知识的不连续处，或是一个特殊知识系列的起点处，教学内容的跳跃处，学生学习所需要的准备知识。在学习一个新概念以前，学生必须具备与之有关的准备知识，如果学生已有数学认知结构中缺乏与新知识相关的旧知识或经验，就无法提取可利用的知识或经验建立新旧知识的联系，从而造成理解困难。

教师必须熟悉学生原有的认知结构，采取适当的手段帮助他们建构那些缺少的观念，明晰那些模糊的观念并强化其稳定性，为理解数学新知识奠定坚实的基础。

例如在学习求一元二次不等式的解时，一元二次方程，二次函数等相关知识是支撑新概念形成的依托；复数的四则运算需要多项式运算，有理化因式等知识的准备。

2.注重给予学生自主活动和学习体验的机会。

数学理解教学是过程性教学，教师要给学生充足的思考和探索的时间，足够的尝试和讨论的时间，提供他们概括和表达的机会，使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面都得到进步和发展。

3.教师对数学知识的把握直接影响到学生的理解结果。

只有教师理解了数学知识生成的过程，准确地把握知识的本质及其在整个知识网络中的位置，才能为学生提供信息，创设情境，搭建理解的平台，揭示数学知识的实质。

数学需要被理解地学习，理解是数学学习的中心环节，是获得数学知识的关键，是数学能力发展的“奠基石”。没有理解就不可能有真正的数学学习，教师应该让每一个学生都成为数学理解学习的参与者、实践者、探索者和收获者。

参考文献：

[1]高洪武.关注概念教学加强数学理解.现代中小学教育，2010（9）.

[2]徐志莲.论高中数学概念课教学模式.丽水学院学报，2005-10.

[3]王爱珍.新课程下数学理解与促进学生数学理解.中学数学教学参考，2008-5.

[4]于福群.高中数学新课程教学应注重学生的理解学习.教育实践与研究，2009-10.endprint

4.反思。

数学教育家弗洛登塔尔说：“反思是数学思维活动的核心和动力。”数学理解是一个动态发展的过程，是一个信息要素组织的过程，需要认知结构的再组织。要形成真正的理解，需要学习者不断地巩固和重组知识网络，在认识向前发展的过程中返首回顾，重温已接触过的东西。

获得的知识如果没有完整的结构把它们联系起来，那是一种多半会被遗忘的知识。学习到一定的阶段时，我们不仅要对所学内容进行回顾，而且要对学习活动中所涉及的知识、方法、思路、策略进行反省，理清新旧知识的纵向延伸和横向联系，抓住新旧知识的连接点，体会数学是一个有机整体，建立、完善和丰富新旧知识之间的网络。

例如将等比数列与等差数列的定义，通项公式，求和公式及有关性质进行类比，不但强化了知识间的对比，而且鲜明地展示了知识获取的过程，形成了清晰的知识脉络。又如学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，两倍角公式，半角公式，万能公式后，通过反思公式的内在联系体会对数学公式的理解。

三、教师帮助学生克服理解困难的几点做法

1.深入了解学生已有的知识经验。

每一个学习环节都要依赖之前学习过的很多个环节的数学知识，学生常常在我们称为“教学难点”的地方出错。这种情况常常发生在教学过程中知识的不连续处，或是一个特殊知识系列的起点处，教学内容的跳跃处，学生学习所需要的准备知识。在学习一个新概念以前，学生必须具备与之有关的准备知识，如果学生已有数学认知结构中缺乏与新知识相关的旧知识或经验，就无法提取可利用的知识或经验建立新旧知识的联系，从而造成理解困难。

教师必须熟悉学生原有的认知结构，采取适当的手段帮助他们建构那些缺少的观念，明晰那些模糊的观念并强化其稳定性，为理解数学新知识奠定坚实的基础。

例如在学习求一元二次不等式的解时，一元二次方程，二次函数等相关知识是支撑新概念形成的依托；复数的四则运算需要多项式运算，有理化因式等知识的准备。

2.注重给予学生自主活动和学习体验的机会。

数学理解教学是过程性教学，教师要给学生充足的思考和探索的时间，足够的尝试和讨论的时间，提供他们概括和表达的机会，使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面都得到进步和发展。

3.教师对数学知识的把握直接影响到学生的理解结果。

只有教师理解了数学知识生成的过程，准确地把握知识的本质及其在整个知识网络中的位置，才能为学生提供信息，创设情境，搭建理解的平台，揭示数学知识的实质。

数学需要被理解地学习，理解是数学学习的中心环节，是获得数学知识的关键，是数学能力发展的“奠基石”。没有理解就不可能有真正的数学学习，教师应该让每一个学生都成为数学理解学习的参与者、实践者、探索者和收获者。

参考文献：

[1]高洪武.关注概念教学加强数学理解.现代中小学教育，2010（9）.

[2]徐志莲.论高中数学概念课教学模式.丽水学院学报，2005-10.

[3]王爱珍.新课程下数学理解与促进学生数学理解.中学数学教学参考，2008-5.

[4]于福群.高中数学新课程教学应注重学生的理解学习.教育实践与研究，2009-10.endprint