类比法在“全微分”教学中的应用

景慧丽，王正元，杨宝珍，屈 娜

（第二炮兵工程大学 理学院，西安 710025）

类比，是根据两个不同的对象的某些方面 （如特征、属性、关系等）的相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式，它是思维过程中由特殊到特殊的推理，是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段，也是数学方法中最重要最基本的方法之一［1］。在科学探索中，类比的价值为世界上许多科学家所称道，德国天文学家、数学家开普勒 （J.Kepler 1571～1630）曾指出：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。”德国古典哲学家康德（I.Kant 1724～1804）也说：“每当理智缺乏可靠论证的思想时，类比这个方法往往指引我们前进。”［2］

高等数学的主要内容是一元函数微积分和多元函数微积分，而多元函数微积分的许多概念、性质、定理和方法都是由一元函数微积分推广发展来的.在教学中，如果教员采用类比法教学，让学员用已学知识和新知识进行类比，有助于学员理解和掌握新知识，并且无形中可以培养学员的类比思维，从而增加学员学习的积极性和主动性。在多元函数微分学中，函数连续、偏导数存在、函数可微、偏导数连续这几个概念之间的关系的理解和掌握是重点也是难点，学员在学习这一部分内容时，往往感到束手无策。本文结合自己的教学实践，就“全微分”这一部分内容进行类比教学。具体教学过程如下：

首先教员引导学员回忆一元函数y=f（x）在点x=x0处可微的定义，然后给出二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处的偏增量、全增量的概念。

关于x的偏增量是f（x0+Δx，y0）－f（x0，y0）；

关于y的偏增量是f（x0，y0+Δy）－f（x0，y0）；

关于x、y的全增量是f（x0+Δx，y0+Δy）－f（x0，y0）。

进一步解释偏增量，给出偏微分的概念，即由于

f（x0+Δx，y0）－f（x0，y0）=fx（x0，y0）Δx+o（Δx）；

f（x0，y0+Δy）－f（x0，y0）=fy（x0，y0）Δy+o（Δy）。

则称fx（x0，y0）Δx和fy（x0，y0）Δy分别为函数在点（x0，y0）处关于x、y的偏微分。

让学员观察上述等式，此时教员提出问题：如何定义二元函数的全微分呢？一元函数微分的概念能否完全推广到二元函数呢？让学员思考、讨论后给出猜想，可以找个别学员说出自己想法，最后与教员的结论进行比较。这样就可以让学员自己得到全微分的概念，加深对知识点的理解。为了使学员进一步理解概念，而不是死记结论，讲完概念教员可以在黑板上建立一元函数和二元函数微分概念比较表（见表1）。

表1 一元函数和二元函数可微的概念比较

建立完比较表后，教员继续引导学员回忆一元函数可微的概念，指出如果一元函数y=f（x）在点x=x0处可微，则不依赖于Δx的常数A就是函数在该点的导数值，即A=f′（x0）.此时教员提出问题：如果二元函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，那么这里不依赖于Δx、Δy的常数A、B会是谁呢？也让学员观察、思考、讨论后给出猜想，教员不给出正确答案，先设置悬念，这样既可以活跃课堂气氛还可以激发学员探究问题的兴趣。

教员引导学员回忆一元函数在一点可微的必要条件和充分条件，强调函数在一点连续、可微、可导的关系。此时教员提出问题：我们知道对于一元函数，如果函数在一点可微，则函数在该点一定连续，那么对于二元函数是否也有类似的结论？让学员讨论后给出结论，教员给出理论分析：

因为函数可微，所以Δz=AΔx+BΔy+o（ρ），其中ρ=，因此

即函数在点（x0，y0）处是连续的。此时教员继续提出问题：对于一元函数，如果函数在一点连续，则函数在该点不一定可微，那么对于二元函数是不是也有类似的结论？也让学员讨论后给出自己的结论。教员此时不给出正确答案，先留个疑问。

教员继续引导学员回忆：对于一元函数y=f（x），如果函数在点x=x0处可微，则函数在该点一定可导。然后提出问题：对于二元函数z=f（x，y），如果在函数点（x0，y0）处可微，则函数在该点的偏导数是否一定存在？让学员讨论、猜测后给出自己的结论及反例或理论分析，最后和教员的分析进行比较：

设函数z=f（x，y）在点（x0，y0）处可微，如果取Δy=0，

即fx（x0，y0）存在，且A=fx（x0，y0）。 类似地可得fy（x0，y0）存在，且B=fx（x0，y0）。 即如果函数在一点可微，则函数在该点的偏导数均存在。

此时教员提出问题：一元函数可微和可导是等价的，对于二元函数是否也有类似的结论？即如果函数在一点的偏导数存在，则函数在该点是否一定可微？让学员讨论后，教员给出反例加以说明：

上述极限不存在，所以不可微。由此让学员自己总结出：偏导数存在只是函数可微的一个必要非充分条件。此时，教员可以继续提出问题：由例1还能得到什么结论？让学员观察、分析、讨论后给出结论：函数在某点连续，函数不一定可微.既回答了前面的问题，还培养了学员细心、谨慎的逻辑思维。

此时思维活跃的学员就会提出问题：一元函数可微和可导是等价的，而二元函数偏导数存在也不一定可微，那么函数究竟满足什么条件才可微呢？教员引导学员分析：既然偏导数存在是可微的一个必要非充分条件，那么能否给偏导数存在加强一个条件，使其保证可微？让学员给出方案，教员给出理论分析，从而水到渠成地得出结论：如果函数在一点的偏导数连续，则函数在该点必可微。此时，教员继续提出问题：偏导数连续是函数可微的必要条件吗？让学员讨论后，教员给出反例加以说明：

所以函数在（0，0）点是可微的。

此时，教员引导学员总结多元函数这几个概念间的关系，并让学员和一元函数进行比较，最后建立它们之间的比较表，便于学员理解和记忆。

表2一元函数和二元函数几个概念间的关系比较一元函数几个概念之间的关系二元函数几个概念之间的关系

当然，还可以引导学员思考：二元函数全微分的概念及存在性能否完全推广到三元函数乃至元函数？一元函数微分具有一阶微分形式的不变性，那么二元函数的全微分是否也具有一阶微分形式的不变性？一元函数微分在数值计算上的重要应用是近似计算，那么二元函数的应用是不是也是近似计算？如果是，又该如何近似计算？这样既让学员巩固了旧知识，还让学员掌握了新知识，并且培养了学员类比的数学思想。

教学实践表明，把类比法应用于高等数学教学，不仅可以活跃课堂气氛，增加学员的学习兴趣，而且还可以提高教学效果，有效培养学员分析问题和解决问题的能力，更重要的意义在于使学员逐渐掌握类比的科学思维方法。但类比不是万能的，不可盲目和随意扩大化，要用得恰当到位，才能最大化地发挥积极作用。

［1］ ［2］章士藻.数学方法论简明教程（第一版）［M］.南京：南京大学出版社，2006：47.

［3］ 同济大学应用数学系.高等数学（第六版）（下）［M］.北京：高等教育出版社，2007：71.

［4］ 马知恩，王绵森.工科数学分析基础（第二版）（下）［M］.北京：高等教育出版社，2009：35.