仿射变换在解决初等几何问题中的应用

丛芳

高等几何为我们提供了解决初等几何证问题中的一些方法.这些方法虽然大多不能直接进入中学课堂，但它们能够帮助我们思考问题，启发我们获得初等证法，有时其证明过程还能帮助我们找到发现新的命题.如果适当地运用仿射几何知识，在解决问题时，就会使问题简化，收到事半功倍的效果.

仿射变换的性质取决于透视仿射的性质，经过一切透视仿射变换不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量.透视仿射（即平行摄影）将点映成点，将直线映成直线，因此透视仿射具有同素性、结合性.针对仿射变换的不变性和不变量，我们可以解决初等几何中的有关仿射性质的问题.

仿射变换的主要性质应用于有关三角形及椭圆的仿射性质方面十分有效.下面从两个方面阐述它的作用.

1.仿射变换在证明有关三角形的仿射性质的命题中的应用

在初等几何中，涉及三角形的命题十分丰富，如何解决这些命题并非易事.假如转化为特殊的三角形，则会使问题简化.如何达到简化的目的？是不是任何问题都可以转化呢？应用仿射变换就必须针对有关仿射性质的命题，进而使问题得以解决.

由于任一三角形经仿射变换后均可变成正三角形，因此，如果我们要证明一个有关任意三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么，只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任一三角形也成立.而正三角形是特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明时会达到事半功倍的效果.有关应用主要体现在以下方面.

（1）解决有关三角形中线的问题

由于中点具有仿射不变性，故可以应用仿射变换而不改变本身的特点.

例1：在△ABC的边BC的中线上任取一点P，BP，CP交AB，AC于M，N，求证：MN//BC.

分析：因为三角形的中线和直线的平行都是仿射性质，所以只要对正三角形证明该命题成立即可.

证明：在正△ABC中，P为BC边中线上的一点，BP，CP交AB，AC于M，N（如图1.1），

易证△NBC？艿△MCB

∴MB=NC

∴AM=AN

∴MN//BC

故命题对正三角形成立，因而对任意三角形也成立.

三角形的中线、中点及重心是有关仿射性质的特殊线及点，因此，对于有关一般三角形的这些量，可以转化为在正三角形中解决.

（2）解决有关面积问题

命题：任意三角形三条中线分别分成的六个三角形的面积相等.

证明：因为点线结合性是仿射不变的，所以此题只对正三角形△ABC证明即可.

而由正三角形的性质很容易得知，

由其三条中线分成的六个小三角形的面积相等（如图1.2），因而命题得证.

在仿射变换下，任意两个三角形面积之比是仿射不变量，运用此定理证明有关面积问题尤为简捷.

（3）解决有关线段比的问题

由于仿射变换保持简比不变，故对有关线段比的问题应用也很方便.

命题：三角形两边中点连线平行于第三边且等于第三边的一半.

证明：因为线段中点、平行性、平行线段长度的比均为仿射不变性和仿射不变量，又由仿射变换保持同素性和结合性，所以只要证在正三角形的特例情况下命题成立即可.

对于等边三角形ABC（如图1.3），

通过以上几方面的应用（此外证明共点共线问题）可以看出，在三角形中，如果已知条件与仿射变换中的不变性（量）相联系，那么可以先对正三角形加以证明.因为任意三角形可以由正三角形通过仿射变换得到，这样可以把问题化难为易，收到事半功倍的效果.但对题中含有角平分线、垂线、角度等概念问题，不能应用此方法.因为它们不是仿射不变性（量），由此而得到的图形也不是仿射不变图形，通过仿射变换后，它们是要改变的.

2.仿射变换在解决有关椭圆的仿射性质的问题中的应用

圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆比椭圆特殊，它有很多很好的性质，与圆有关的定理举不胜举.椭圆则不然，它本身的定义就比圆复杂，而且关于椭圆的性质定理很少，解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应问题困难得多.在初等几何中，有很多有关椭圆的问题，只能用解析几何的方法解决，这就给我们解题带来了不少麻烦.因此我们自然期望有一种方法，使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆的问题一样容易.而由仿射变换性质知：椭圆通过适当的仿射变换可变成圆.因此，只要考虑的有关椭圆的问题是纯属仿射性质的问题，则就可以先转化为有关圆的问题解决，再把所得的结果推广到椭圆中，即可达到目的.

由于椭圆的仿射对应图形是圆，因此可以从圆的性质推导出椭圆的一些性质，由于仿射对应图形保持结合性不变，因此圆的切线的仿射对应图形是椭圆的切线，因此椭圆的仿射对应图形是圆.

有关椭圆的问题可以简化为有关圆的问题，其主要应用有如下两方面.

（1）有关椭圆某部分的面积问题

对于有关求圆的扇形面积是较容易办到的，但对于椭圆来说，要求其面积很不方便，通过仿射变换将椭圆变成圆再来解决问题就很简捷.

以上两例说明：有关求圆的问题是较容易解决的，但对于椭圆来说，并不是很方便，通过仿射变换将椭圆变成圆问题就简捷许多.

综上，研究高等几何的思考方法及解题技巧，对于正确把握初等几何的解题实质和发展脉络都大有好处.数学教师要教好中学数学，不能只懂中学数学，而要“站得更高，看得更远”，应拓宽视野，拓广思路，这样才能更好地把握中学数学内容.仿射几何在解决初等几何问题中的应用，不局限于与仿射有关的理论的应用，仿射变换的特性（如：正交变换、位似变换、相似变换）的应用也是十分广泛的.仿射几何在初等几何中的应用有待深入探讨和研究.

参考文献：

[1]吕凤等.高等数学在初等数学中的应用1000例.东北师范大学出版社，1995，10：691-723.