有限群的弱s-半置换子群

杨立英， 钟 国， 丁立旺， 周 洋

(1.广西师范学院 数学科学学院，广西 南宁 530023;2.广西财经学院 信息与统计学院，广西 南宁 530003)

在群论中，若群G的子群H与G的每个子群可交换，则称H是G的置换子群.许多群论研究者探讨了置换子群的性质.例如，1939年，Ore［1］证明了有限群的每个置换子群都是次正规子群.1962年，Ito［2］证明了无核置换子群必为幂零群.随后，Kegel［3］给出了s-置换子群的定义:称有限群G的子群H在G中s-置换，如果H与G的每个Sylow子群可交换.进一步地，陈重穆［4］引入了s-半置换子群的概念:称有限群G的子群H在G中s-半置换，若对任意的，只要(p，|H|)=1，就有 PH=HP，其中P∈Sylp(G).利用子群的s-半置换性，群论研究者获得了有限群理论的一系列有意义地重要结果.2012年，李样明，乔守红等［5］引入了弱s-半置换子群的概念，从而统一推广了正规子群、置换子群、s-置换子群、c-正规子群以及弱s-置换子群等诸多概念.本文将进一步研究弱s-半置换子群对有限群结构的影响，获得了一些p-幂零性的充分条件.文中所有群皆为有限群，G总表示一个有限群，其它符号和术语请参阅文献［11］.

1 定义与引理

定义1［5］设H是G的子群.称H为G的弱s-半置换子群，若有包含在H中的G的一个s-半置换子群HssG以及G的次正规子群T使得G=HT且 H∩T≤HssG.

文献［5］给出了具体的例子说明弱s-半置换子群分别是正规子群、置换子群、s-置换子群和c-正规子群的真推广.

引理1［6］设 P 是 G 的 p-子群，其中 p∈π(G).则P在G中s-置换当且仅当NG(P)≥Op(G).

引理2［5］设G是群为G的弱s-半置换子群，则

1)若H≤M≤G，则H在M中弱s-半置换;

2)若 H为 G的 p-子群且N≤H，则 H/N在G/N中弱s-半置换;

3)若H是 G的 p-子群且(|H|，|N|)=1，则HN/N在G/N中弱s-半置换.

引理3［7］设F是一个子群闭的局部群系且H≤G，则 H∩ZF(G)⊆ZF(H).

引理4［8］设A为G的次正规子群.若A为G的Hall子群，则A在G中正规.

引理5［9］设G为群，P为G的Sylow p-子群且素数p满足若P的任一极大子群在G中弱s-置换，则G为p-幂零.

引理6［10］设 G 为群，若，则 Φ(H)≤Φ(G).特别地

引理7［11］设 p为整除的最小素因子，P∈Sylp(G)且P循环，则G有正规p-补充.

引理8［12］设G为非p-幂零群但它的每一个真子群都是p-幂零的，那么G本身非幂零但它的每一个真子群都为幂零群.

引理9［12］设G为非幂零群但它的每一个真子群都是幂零群，则:

2)P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群;

3)如果P非交换且p≠2，则expP=p;

4)如果P非交换且p=2，则expP=4;

5)如果P交换，则P的方次数为p.

引理10［13］设P为群G的初等交换p-群并且,这里n≥2.则下面陈述是等价的.

1)P中的p阶极小子群为G的正规子群;

2)P中的极大子群为G的正规子群.

引理11［14］设G是一个群，p为的素因子且有若存在G的一个正规子群N，使得G/N为p-幂零且，则 G 为 p-幂零.

引理12［5］设G是群，若H为G的s-半置换子群且H≤Op(G)，则H在G中s-置换.

2 主要结果

证明假设结论不真，设G为极小阶反例.

1)G为内p-幂零群

设T为 G的任意一个真子群，易得到T/T∩N≅TN/N≤G/N，从而 T/T∩N为 p-幂零.设(T∩N)p∈Sylp(T∩N)，则(T∩N)p≤Np.由假设知，若(T∩N)p中的任一极小子群A在G中弱s-半置换，由引理2的1)知:A在T中弱s-半置换，又NT(A)=NG(A)∩T≤NG(A)为p-幂零.所以，G的真子群T满足定理假设，G的极小性选择意味着T为p-幂零.也就得到了，非p-幂零群G的任意一个真子群为p-幂零，现可知G为内p-幂零群.由引理8知G为内幂零群，由引理9知G=PQ，其中P为G的正规Sylow p-子群，Q为G的非正规循环Sylow q-子群，且p≠q.

2)导出矛盾

设Np为N的Sylow p-子群，由假设Np的任意一个极小子群A在G中弱s-半置换，则存在T◁◁G和包含在A中的G的一个s-半置换子群AssG使得G=AT且A∩T≤AssG.若 T＜G，则由1)以及引理8知T幂零，既 T=Tp×Tp'，其中 Tp'为 T的 p'-Hall子群，也为G的p'-Hall子群，由Tp'char T◁◁G得Tp'◁◁G.又由引理4可得，于是G为p-幂零，矛盾.所以，T=G.又有 AssG≥T∩A=G∩A=A，可得AssG=A为G的s-半置换子群，由1)知P正规于G，从而有A≤Op(G)=P，再由引理12知A在G中s-置换.再由引理1知Op(G)≤NG(A)为p-幂零，得Op(G)为p-幂零，而Op(G)的正规p-补也是G的正规p-补，即得G为p-幂零，矛盾.所以，极小阶反例不存在，G为p-幂零.

推论1设G是群，p为G的任意Sylow p-子群，p为整除的素因子.若P的每个极小子群A在G中弱s-半置换且NG(A)为p-幂零，则G为p-幂零.

推论2设G是群，p为G的任意Sylow p-子群，p为整除的素因子.若P∩GF的每个极小子群A在G中弱s-半置换且NG(A)为p-幂零，则G为p-幂零.这里，F是所有p-幂零群组成的群类.

定理2设G是群，p为整除的素因子且如果存在一个正规子群N使得G/N为p-幂零且N的每个p2阶子群A在G中弱s-半置换且NG(A)为p-幂零，则G为p-幂零.

证明假设结论不真，设G为极小阶反例.

1)G为内p-幂零群

2)导出矛盾

推论3设G是群，p为整除的素因子且如果G的每个p2阶子群A在G中弱s-半置换且NG(A)为p-幂零，则G为p-幂零.

推论4设G是群，p为整除的素因子且如果GF的每个p2阶子群A在G中弱s-半置换且NG(A)为p-幂零，则G为p-幂零.这里，F是所有p-幂零群组成的群类.

定理3设G是群，p为整除的素因子.若有正规子群N使得G/N为p-幂零群，N的所有4阶循环子群A在G中弱s-半置换并满足NG(A)为p-幂零且N的每个p-阶子群包含在ZF(G)中，则G为p-幂零.这里，F是所有p-幂零群组成的群类.

证明假设结论不真，设G为极小阶反例.

1)G为内p-幂零群

设T为 G的任意一个真子群，易得到T/T∩N≅TN/N≤G/N，从而 T/T∩N为 p-幂零.由引理2的1)知，T∩N的每个4阶循环子群A在T中弱s-半置换，又NT(A)=NG(A)∩T≤NG(A)为p-幂零.利用引理3知T∩ZF(G)⊆ZF(T).也就是，T∩N的所有p阶子群在ZF(T)中.于是，T满足定理条件，根据G的极小性可推得T为p-幂零群.现在知道非p-幂零群G的任一真子群为p-幂零，从而可知G为内p-幂零群，根据引理8知G为内幂零.由引理9知G=PQ，其中P为G的正规Sylow p-子群，Q为G的非正规循环Sylow q-子群，且p≠q;P/Φ(P)是G/Φ(P)的极小正规子群.

2)导出矛盾

由1)知，G的Sylow p-子群P◁G.分情况进行讨论:

①若P交换，则由引理9知expP=p，可知P为初等交换p-群，则Φ(P)=1，进一步P≅P/Φ(P)为G≅G/Φ(P)的极小正规子群.易得到P∩N◁G，则P∩N=1或 P∩N=P.如果 P∩N=1，则的一个子群，意味着G为p-幂零，矛盾.如果P∩N=P即P≤N，又由假设可知N的每个p阶子群包含在G的p-幂零超中心ZF(G)中，从而P也包含在G的p-幂零超中心ZF(G)中，故G为p-幂零，矛盾.

②若P非交换且p≠2，易得到P∩N◁G和(P∩N)Φ(P)/Φ(P)◁G/Φ(P)，则(P∩N)Φ(P)=Φ(P)或(P∩N)Φ(P)=P.如果(P∩N)Φ(P)=Φ(P)，也就是P∩N≤(P)，因为，可得G/P∩N为p-幂零.由G/Φ(P)≅G/(P∩N)/Φ(P)/(P∩N)得G/Φ(P)为p-幂零.根据P◁G以及引理6知Φ(P)≤Φ(G)，故G/Φ(G)≅G/Φ(P)/Φ(G)/Φ(P)为p-幂零，可得G 为p-幂零，矛盾.如果(P∩N)Φ(P)=P，也就是P∩N=P，得到P≤N.用类似于1)的讨论可得G为p-幂零，矛盾.

③若P非交换且p=2，设A为N的任意4阶循环子群.由假设得A在G中弱s-半置换，则存在T◁◁G和包含在A中的G的一个s-半置换子群AssG使得G=AT且A∩T≤AssG.若 T＜G，则由1)以及引理8知T幂零，即 T=Tp×Tp'，其中 Tp'为 T的p'-Hall子群，也为G的p'-Hall子群，由Tp'char T◁◁G得Tp'◁◁G.又可根据引理4，可得即G为p-幂零，矛盾.所以T=G.另一方面AssG≥T∩A=G∩A=A，可得AssG=A为G的s-半置换子群，由1)知P正规于G，从而有A≤Op(G)=P，可由引理12知A在G中s-置换.再由引理1知Op(G)≤NG(A)为p-幂零，得Op(G)为p-幂零，而Op(G)的正规p-补也是G的正规p-补，即得G为p-幂零，矛盾.所以，极小阶反例不存在，G为p-幂零.

定理4设G为群，P∈Sylp(G)且P交换.对于素数p是满足的.如果P的任一极小子群为G的弱s-半置换子群，那么G为p-幂零.

证明假设结论不真，设G为极小阶反例.

1)G为内p-幂零群

2)P为初等交换p-群

3)导出矛盾

任取一个P的极小子群A，由假设可以知道A在G中弱s-半置换，则存在T◁◁G和包含在A中的G的一个s-半置换子群AssG使得 G=AT且A∩T≤AssG.

分两种情况进行讨论:

①若A∩T=1，则T＜G.由1)得 T为幂零，即T=Tp× Tp'，其中 Tp∈Sylp(T)，Tp'为 T 的 p'-Hall子群，也为G的p'-Hall子群.由Tp'char T◁◁G得Tp'◁◁G，由引理4，即 Tp'为 G的正规 p-补，从而得G为p-幂零，矛盾.

②若A∩T≠1.AssG≥A∩T=A，A为G 的 s-半置换子群.类似地，可得A为G的s-置换子群，再由引理1知Op(G)≤NG(A).又因P是交换的，则于是，G的Sylow p-子群P的每个极小子群A为G的正规子群，利用2)和引理10可以推得P的每个极大子群P0也是G的正规子群，特别地有P0为的G弱s-置换子群，再利用引理5可得G为p-幂零，矛盾.所以，极小阶反例不存在，G为p-幂零.

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