基于时滞理论的火箭发动机燃烧过程有记忆反馈控制

惠俊军 张合新 周 鑫 孟 飞 李国梁

1.第二炮兵工程大学，西安710025 2.中国人民解放军96411部队，宝鸡721013



基于时滞理论的火箭发动机燃烧过程有记忆反馈控制

惠俊军1,2张合新1周 鑫1孟 飞1李国梁1

1.第二炮兵工程大学，西安710025 2.中国人民解放军96411部队，宝鸡721013

在控制系统中，时滞的存在往往引起系统性能变差，甚至不稳定。文中针对线性时滞系统，基于时滞分割方法分析建立了系统稳定新条件，在此基础上，设计了有记忆反馈控制器，该方法通过求解线性矩阵不等式(LMI)的可行解得到控制器的参数化表达式。该控制器应用于液体火箭发动机燃烧室燃烧过程的仿真表明，所提方法扩大了系统稳定的最大时滞上界范围，具有更低的保守性，同时具有更好的控制效果。

火箭发动机；Lyapunov-Krasovskii (L-K)泛函；时滞分解；状态反馈；线性矩阵不等式

时滞现象常存在于导弹的制导、飞行器的控制与航空航天系统当中，它的存在一方面使得系统的分析与控制器的设计变的复杂，另一方面可以导致系统性能恶化甚至不稳定。所以对时滞系统的稳定性分析与综合问题一直是控制理论研究的热点问题[1]。

在载人航天，空间运输的动力系统——液体火箭发动机的研制当中，经常会遇到不稳定燃烧问题，其燃烧室内燃烧过程的动态模型是一不稳定时滞系统[2-3]，近年来受到不少学者的关注[4-11]，如何保证燃烧室的稳定燃烧，提高系统的稳定性能，学者们提出不同的方法。文献[4]利用矩阵特征等式降阶技术研究了该系统的鲁棒镇定性问题；文献[5-6]设计了变结构控制器；文献[7]利用凸优化算法设计了该系统的无记忆反馈控制器；文献[8-9]采用模型变换结合交叉项界定技术对此问题做了进一步深入研究，得出系统鲁棒稳定和镇定的充分条件。然而由于模型变换存在固有的缺陷,会导致系统的保守性。文献[10]基于拉格朗日均值定理和Lyapunov稳定性定理相结合的分析方法，给出了系统可鲁棒镇定的时滞相关条件，该方法避免了模型变换引起的不足，但应用于燃烧镇定时所获得的参数可镇定范围较小。文献 [11]采用积分不等式方法研究燃烧过程的无记忆鲁棒镇定问题，获得了较好的稳定性能和镇定性能。然而文献[11]在构造控制器的过程中，只利用当前状态信息x(t)，没有考虑状态x(t-δ)对系统性能的影响，结论相对较为保守。

本文基于时滞分割理论，通过把时滞区间[-δ,0]进行平均分割，构造适当的L-K泛函并结合积分不等式方法建立了基于LMI形式的有记忆状态反馈控制器。该控制器应用于火箭发动机的燃烧过程，仿真结果表明，该方法扩大了系统稳定的最大时滞上界范围，且具有较好的控制效果。

1 问题描述

考虑如下线性时滞系统：

(1)

其中，x(t)∈Rn是状态向量，u(t)∈R为控制输入，φ(t)为连续的初始向量函数，A，A1，B为给定的常数矩阵。

本文的目的是设计有记忆的反馈控制器：

u(t)=K1x(t)+K2x(t-δ)

(2)

使得系统(1)渐近稳定。

证明中用到如下引理：

引理[12]对于任意的定常矩阵X∈Rn×n,X=XT>0，标量h>0，向量函数x(t):[0,h]→Rn的以下相关积分项有定义，则有

2 稳定性判据及控制器设计

首先考虑当u(t)=0时，系统(1)的稳定性问题，即：

(3)

2.1 稳定性判据

定理1 对于给定的常数δ和正整数N≥2，若存在正定矩阵P，Q，R，W和

(4)

则系统(3)是渐近稳定的，其中

Ξ12=W+S12，Ξ23=S23-S12，

证明：首先基于时滞分割法构造如下形式的L-K泛函：

(5)

其中,

取V(t)沿系统(3)对时间取导数得:

(6)

由引理可得

(7)

(8)

(9)

其中，

Φ12=W+S12，Φ14=PA1+R+ATMA1，

Φ23=S23-S12，M=δ2R+(δ/N)2W。

2.2 有记忆的反馈控制器的设计

在2.1稳定性定理的基础上，下面给出有记忆反馈控制器的设计。

(10)

则闭环控制系统(3)是渐近稳定的，且控制器的参数化表示为：

(11)

其中，

3 火箭发动机燃烧过程仿真

本节考虑带有反馈伺服机构的单一燃料液体火箭发动机，在假定非恒稳流动并考虑一致滞后情况下，文献[2-3,7]给出整个系统的动态方程为：

(12)

其中,φ(t) 表示燃烧室内的瞬时压力，μ1(t)表示燃料流过的瞬时质量速度，μ(t)表示整个系统的燃料稳态质量速率，ψ(t)表示燃料管道的瞬时压力。选u(t)为压力控制输入,取γ=1，ξ=0.5，P=1，J=2，Ee=1，令x(t)=[φ(t)μ1(t)μ(t)

ψ(t)]T，则燃烧过程方程可表示为:

(13)

其中：

图1 燃烧室燃烧过程的自由运动曲线

下面分析系统的稳定性能及控制器的镇定性能。

1) 自由系统稳定性能分析

首先考虑在不加控制时，自由系统的稳定性能。由文献[11]定理1计算可知，保证系统稳定的最大时滞上界为δmax=0.7061；应用本文定理1，当取时滞分割数N=2时，计算可得保证系统稳定的最大时滞上界 为δmax=0.7440；当N=3时，获得的最大时滞上界δmax=0.7510。可见本文方法扩大了系统稳定的时滞上界范围，具有更低的保守性。

2) 系统的镇定性能

在线性反馈控制器的作用下，文献[10]计算系统可镇定的时滞上界为δmax=0.898，相应的控制增益为：K=[-89.125 -20.000 -215.161 -125.040]。

文献[11]得到的最大时滞上界为δmax=0.999995，为了便于比较，这里取相同的时滞参数δ=0.898，则对应的控制增益为：

K=

[46.1892 -14.0652 107.4290 -87.1953]。

由本文定理2，当时滞分割数N=5(取调整参数d1=0.3，d2=0.6)时，求解定理2的线性矩阵不等式(10)，可得系统镇定的时滞上界为δmax=1.0440，取δ=0.898，则相应的参数解为：

，

，

控制器增益为：

K1=

[9.3956 -4.3986 5.4489 -4.0673]，

K2=

[-4.6602 -0.3174 0.7965 -0.1295]。

可见本文方法扩大了闭环系统可镇定的范围，具有更低的保守性。另外在相同的比较条件下，本文控制器具有较小的增益。

将上述反馈增益代入燃烧过程仿真得图2～4所示。

图2 文献[10]控制器作用下系统的状态响应

图3 文献[11]控制器作用下系统的状态响应

图4 本文控制器作用下系统的状态响应

从图2～4可以看出，系统在文献[10]的作用下，系统状态曲线振荡幅度较大，收敛较慢；在文献[11]控制器的作用下,收敛较快，但是状态变量x2(t)曲线振荡仍然较大；在本文有记忆状态反馈控制器的作用下,收敛较快、状态曲线振荡较小，具有较好的控制效果。

4 结论

首先基于时滞分割理论研究了系统的稳定性问题，在此基础上设计了有记忆反馈控制器。该控制器应用于液体火箭发动机的燃烧室的燃烧过程，仿真验证了所提方法的有效性，同时和已有文献相比，具有更小的保守性和较好的控制效果。

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The Memory Feedback Controller for Combustion Process in Rocket Motor Based on Theory of Time-Delay

HUI Junjun1,2ZHANG Hexin1ZHOU Xin1MENG Fei1LI Guoliang1

1. Department of Automation, The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China 2. No.96411 Unit,People’s Liberation Army of China,Baoji 721013, China

Incontrolsystems,timedelayisalwaysthesourceofinstabilityandpoorperformance.Regardingthelineartime-delaysystem,anewstabilityconditionisformulated,whichisbasedondelay-decompositionapproach.Basedonthiscondition,amemorystatefeedbackcontrollerisdesignedandtheparameterexpressionofcontrollerisobtainedbysolvingthefeasiblesolutionproblemoflinearmatrixinequality(LMI).Then,thiscontrollerisappliedtothecombustionprocessinliquidpropellantrocketmotorchambers.Thesimulationresultsshowthattheproposedmethodenlargestheupperboundofthetime-delayandhasgoodperformance.

Rocketmotors; Lyapunov-Krasovskii (L-K)functional;Delay-decomposition;Statefeedback；Linearmatrixinequality(LMI)

2013-07-23

惠俊军(1977-)，男，西安人，博士，主要研究方向为时滞系统的稳定性与控制；张合新(1965-)，男，河北易县人，教授，博士生导师，主要研究方向为导航、制导与控制；周 鑫(1979-)，男，湖南益阳人，讲师，主要研究方向为网络控制系统；孟 飞(1976-)，男，安徽亳州人，讲师，主要研究方向为导航、制导与控制；李国梁(1981-)，男，呼和浩特人，博士，主要研究方向为网络控制系统。

1006-3242(2014)04-0031-06

TP13

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