反思引发探究 探究带来惊喜

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(如皋市第一中学 江苏如皋 226500)

“学起于思，思源于疑”，质疑是反思的基础，反思是质疑的深化.高中数学教学中，当解完一道题后，教师应引领学生进行有效的反思，反思解题过程的方方面面.反思过程中不对学生的反思作任何限制，充分保护学生反思的积极性，鼓励学生对自己的想法进行探究，从解题过程中产生更多的思考，从成败中品味数学的苦与乐.长期坚持下来，学生就会形成反思的好习惯，也会形成适合自己的一套反思方法，学生分析、解决问题的能力就会在不知不觉中得到提高.下面谨以教学过程中一道联考题的反思引发的探究为例，把探究带来的惊喜与大家共享.

(1)求证：点C在一个椭圆上运动，并求出该椭圆的标准方程.

(2)设直线l:mx+2ny-2=0.

①判断直线l与第(1)小题中椭圆的位置关系，并说明理由；

②过点A作直线l的垂线，垂足为点H，证明：点H在定圆上，并求出该定圆的方程.

(2014年江苏省重点高中高三联考试题)

(m2+2n2)x2-4mx+4(1-n2)=0，

判别式Δ= 16m2-16(m2+2n2)(1-n2)=

②猜想：若点H在定圆P上，则当点C在(0，1)时，H(-1，1)；当点C在(0，-1)时，H(-1，-1),故圆心P必在x轴上.

其中2n2=2-m2，则

因此点H在定圆x2+y2=2上．

反思1第(2)小题中第①题直线l与第(1)小题中的椭圆相切.在直线与圆中，切线与圆心和切点连线的斜率乘积为-1，那么椭圆上任一点处的切线与中心和切点连线的斜率乘积为多少呢？是否也是定值？

反思3第(2)小题中第②题参考答案中通过特殊点探索出定圆的圆心及半径，从而为下面一般性的证明指明了方向.如果没能通过特殊位置找出定圆，该如何把握计算方向呢？有没有其他计算方法可以求出定圆？

因为点C(m，n)在椭圆上，所以m2+2n2=2，将m，n代入化简可得x2+y2=2.

反思4上述2种计算方法的目标都是找出题意中的直接关系，采用了不同的消去途径，思路清晰但计算均比较繁琐，有没有其他简单的消去方法？

再将这2个式子平方相加，可得

(m2+4n2)x2+(m2+4n2)y2=4(1+n2),

将m2+2n2=2代入，得

(2+2n2)x2+(2+2n2)y2=4(1+n2),

从而

x2+y2=2.

这种整体消去法简化了思维，避免了繁杂的运算.解题过程中达到目标的途径有多种，要将多种方法进行比较，从中优选方法，方可避免复杂的运算.

反思5第②题最终的定圆为x2+y2=2，而椭圆的长半轴长的平方也为2，即x2+y2=a2，这是一种巧合，还是一种必然？结合此题的图形联想到非常类似的一道轨迹题：

图1 图2

结合此题笔者产生一个大胆的想法：难道此题中的切线为角的外角平分线吗？若是，则此题可模仿上题采用定义法求出定圆方程.笔者对一般情况进行了大胆地推理与证明，如下：

证法1(直接证法)延长直线AC和BC，倾斜角及直线的夹角如图2所示.根据对称性不妨设点C位于第一象限，由题意可知

结合图形可得

α=θ+(π-γ),β=γ-φ,

因为点C(m,n)在椭圆上，可得

即

b2m2+a2n2=a2b2,

所以

因为点C(m,n)在椭圆上，可得

即

b2m2+a2n2=a2b2，

所以

图3

证法2(间接证法)由于一个角的内角平分线与外角平分线互相垂直，因此要证明直线l为∠ACB的外角平分线，只需证明直线l与∠ACB的内角平分线垂直即可.

为此，设∠ACB的内角平分线为CE(如图3)，且交x轴于点E.设点E坐标为(t,0)，由角平分线的性质定理可得

即

从而

由焦半径公式可得

即

kl·kCE=-1,

即

l⊥CE,

可得直线l为∠ACB的外角平分线.

通过上述2种证法可知椭圆上任一点处的切线即为该点对两焦点张角的外角平分线，由外角平分线及切线的唯一性可得：椭圆上任一点对两焦点张角的外角平分线也是椭圆上该点处的切线.

反思是对思维过程、思维结果进行再认识的检验过程.世界著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔教授指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”“没有反思，学生的理解水平不可能从一个水平升华到更高的水平.”可见，反思在数学学习中非常重要.通过反思学习可以帮助学生学会学习，可以使学生的学习成为探究性、研究性的活动，也可以增强学生的能力，提高学生的创造力，促进他们的全面发展.因此，在教学中，教师应该重视学生的反思学习，积极创造反思条件，引导学生自觉反思，由反思引发探究，从而为数学的学习带来更多的惊喜.