不等式恒成立问题参数范围的确定

●

(黄湾中学 安徽灵璧 234213)

对于不等式恒成立问题，参数范围的确定是一种较为常见的问题，主要表现为以下几类：(1)在给定区间上不等式恒成立；(2)不等式的解集为全体实数；(3)解析式的值恒大于(等于或小于)某值；(4)函数的定义域为全体实数.由于此类问题知识覆盖面较广，综合性很强，对解题的灵活性要求高，因此对学生来说有较大的难度.其实，若能灵活利用知识，对于不等式恒成立问题，其参数范围还是容易确定的.

1 利用一次函数的保号性

若原题可转化为一次函数型，则可利用一次函数的保号性求解，过程将会变得简捷.

例1已知y=(log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1>0(其中a>0,a≠1)，当x∈[1,2]时，y的值恒为正，求b的取值范围.

解由

y= (log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1=

[(logab)2-6logab+1]log2x-(logab)2+1.

设t=log2x，x∈[1,2]，则

y=f(t)=[(logab)2-6logab+1]t-(logab)2+1，

其中t∈[0,1]，于是该问题转化为当t∈[0,1]时，f(t)>0恒成立，求b的取值范围.由

解得

故当a>1时，

当0

即

亦即

从而

解得

2 利用二次函数的判别式

例3不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.

解(1)当a=1时，-1<0，不等式恒成立；当a=-1时，不等式对x∈R不恒成立.

(2)当a2-1≠0时，有

解得

综上可得

( )

A.-7 B.6 C.7 D.8

2-ax-x2<3(1-x+x2)，

即4x2+(a-3)x+1>0对任意x∈R恒成立，故

Δ=(a-3)2-16<0，

解得

-1

由题意知t1+t2=-1+7=6.故选B.

3 分离参数利用函数的最值

若原题较容易分离出变量，而令一边为常见函数，则可转化为这些常见函数的最值问题求解.

例5若不等式sin2x+2acosx-a2+2a-3<0对任意实数x∈R恒成立，求a的取值范围.

解原不等式可化为

cos2x-2acosx+a2-2a+2>0,

设t=cosx，则

f(t)=t2-2at+a2-2a+2=

(t-a)2-2a+2，

其中t∈[-1,1]，从而问题等价转化为f(t)>0在t∈[-1,1]上恒成立，即f(t)在t∈[-1,1]上的最小值大于0.

于是a的取值范围为(-∞,1)∪(3,+∞).

例6设函数f(x)=ax2-2x+2对10，求实数a的取值范围.

解由题设得

即

4 设参引元，利用函数的单调性

适当地引进新变量进行代换，可以简化原题的结构，实现问题的转化和变通.

解由f(x)是奇函数，知

f(-2)=-f(2)，

则

f(sin2x-msinx+m)>f(2).

又f(x)是减函数，知

sin2x-msinx+m<2,

令sinx=t，则0≤t<1，从而

t2-mt+m<2，

即

m(1-t)<2-t2，

解得

[g(t)]min=g(0)=2，

从而

m<2.

例8已知实数x,y满足x2-2x+y2=0，求使x+y+k≥0恒成立的实数k的取值范围.

解将x2-2x+y2=0化为

(x-1)2+y2=1.

因为

5 先探索猜测，再证明

分析本题若直接求解难度会很大，为此可从简单情形入手：

当n=2时，满足条件的m的取值范围为m≤41；

当n=3时，满足条件的m的取值范围为m≤44；

当n=4时，满足条件的m的取值范围为m≤45；

……

为此有如下猜测：m的取值范围为m≤41.

6 以形代数，化抽象为直观

改变观察和思考问题的角度，采用数形结合的方法求解不等式恒成立中参数的范围，能使问题化抽象为直观，取得避繁就简的效果.

例10若|x+3|+|x|≥m对任意x∈R恒成立，求m的取值范围.

分析显然只要求得|x+3|+|x|的最小值即可，而|x+3|+|x|的几何意义是数轴上到-3的点的距离与到原点的距离之和，此和的最小值从数轴上不难知道是3，故m≤3.

图1

7 多法并用，一题多解

对于有些不等式恒成立求参数取值范围的问题，由于综合性强，涉及的知识点多，在求解时，需要综合利用各方面的知识，找到多种求解方法.这有利于提高我们思维的灵活性和创新能力.

例12已知不等式2x2-9x+m≤0在区间[2,3]上恒成立，求m的取值范围.

解法1(解不等式)根据题意，不等式的解集非空，Δ≥0，此时解集为

故

解得

m≤9且m≤10，

故

m≤9.

点评求出不等式的解集，根据解集与给定区间的关系列出含有参数的不等式或不等式组，从而获解.这是一种常规思路，求解过程通常较繁琐.

解法2(讨论方程的根)根据题意，方程2x2-9x+m=0有实根，且2个根分别在区间(-∞,2]，[3,+∞)上.

设f(x)=2x2-9x+m，则f(2)≤0且f(3)≤0，从而m≤9且m≤10，故m≤9.

点评不等式的解往往与方程的根有联系，不等式的解集中的端点常常是对应方程的根，因此当原不等式为二次不等式时，应与韦达定理、实根分布相联系.

解法3(函数的最值)

(1)从数的角度看.

方法1设f(x)=2x2-9x+m，x∈[2,3]，问题等价于f(x)max≤0，而

得

m-9≤0，

即

m≤9.

方法2(分离参数法)问题等价于不等式m≤-2x2+9x在区间[2,3]上恒成立.

设g(x)=-2x2+9x，x∈[2,3]，则问题等价于m≤g(x)min，而

即m≤9.

(2)从形的角度看.

方法1当x∈[2,3]时，f(x)=2x2-9x+m的图像始终不高于直线y=0，也就是函数f(x)=2x2-9x+m的图像的最高点在直线y=0的下方或者在该直线上，即f(3)≤0，从而m≤9.

方法2(分离参数法)问题等价于不等式m≤-2x2+9x在区间[2,3]上恒成立.

点评通过对该例(最常见的恒成立问题)的一题多解，揭示了含参数不等式恒成立问题实质上体现了函数、方程、不等式之间的有机联系.因此求解此类问题常常从不等式的解、方程的根、函数的最值这几个方面入手，结合图形，灵活转化，选择最佳解题策略.