一份特别的数学初高中衔接学习范式

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(浙江师范大学附属中学 浙江金华 321004)

对于刚刚跨出初中校门的学生来说，心中既有解脱，又有担忧，更有期待.解脱的是终于脱离初三的应试训练，担忧的是不知道自己能否适应高中的学习，期待的是高中全新的知识、全新的教师和全新的同学.

初高中衔接就显得极其重要，既要让学生做一些感兴趣的事，摆脱知识的枯燥乏味，摆脱课堂的束缚；又要与学科知识有机结合，完成知识的衔接，为高中学习充电；更带有一定的挑战性，激发学习的自主性，养成良好的学习习惯.

初高中数学的衔接，关键是能给学生提供一份范式，将知识、能力、探究有机融合，让学生去做富有挑战性和创造性的探索.笔者为即将进入高一的学生准备了一份暑假作业范式.

德国数学家高斯说过“数学是科学的皇后”，她的美丽与神秘吸引着我们不断去探索数学的奥妙.那一个个奇妙的数字，那一个个有趣的符号，都是帮助我们开启科学大门的金钥匙.数学来于生活，又用于生活.应用题巧妙地将生活与数学融为一体，以它独特的方式告诉人们生活里处处都有数学.口算、递等式、速算和巧算无不挑战着你我的智慧.在初中阶段你学习了函数、几何、统计与概率等基本知识和常用的逻辑推理方法.到了高中，你将深入学习集合、函数、数列、三角函数与解三角形、平面向量、不等式、空间立体几何、解析几何、概率统计、导数、复数等.科学的皇后是美丽的,让我们携手畅游在科学的海洋里，去揭开这位皇后神秘的面纱，共同探索数学的奥妙吧！

1 认识篇——我的数学我了解

初、高中数学断层的知识内容：

(1)绝对值(绝对值符号内不含字母，不用分类讨论，而高中数学分类讨论成习惯);

(2)因式分解(十字相乘法已不作要求，但在高中是最简单的求根方法);

(3)一元二次方程(韦达定理已不作为初中数学的要求，但在高中却是解题常用定理);

(4)二次函数(初中没有区域限制，但在高中却要研究条件限制下的最值问题);

(5)三角形中的有关概念(初中没有重心与垂心的概念，在高中几何中是常见的).

以上高中数学中的常见知识，在初中数学中却不作要求，因此有必要做好衔接工作，不能输在起跑线上！

2 反思篇——我的数学我清楚

问题1为什么很多题目听懂了，但换个角度、换个条件、换个平台，我还是没有能力解决？

问题2若你感觉数学难，难在哪里？你想通过什么途径克服对数学的恐惧？

问题3你希望高中数学老师能在哪些方面给你帮助？

3 探究篇——我的数学我做主

根据对一元二次方程根与系数的关系即韦达定理作一个示范性探究，体验数学的奥妙与真谛：

一元二次方程不论是在初中数学还是在高中数学中都是一个极为重要的内容，尤其是判别式和韦达定理的应用更是广泛.

(1)判别式.

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

(2)韦达定理.

探究问题1一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0)的根的情况有哪几种？

变式训练1关于x的方程x2-ax+(a-1)=0一定有根吗？为什么？

变式训练2若关于x的方程x2-ax+4=0有不同的实数根，求a的取值范围.

探究问题2韦达定理的使用探究.

使用韦达定理的前提条件是什么？

只有在有根的情形下，才可以使用.

例1若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-1=0的2个根．

分析由韦达定理得

变式训练1求下列式子的值：

(1)(x1-x2)2=________;

变式训练2若关于x的方程x2-ax=0有不同的2个正实数根，求a的取值范围.

变式训练3若关于x的方程x2-ax+4=0有不同的2个负实数根，求a的取值范围.

变式训练4若关于x的方程x2-x-a=0有一正和一负实数根，求a的取值范围.

通过上面的基本练习，你对韦达定理能基本应用了.现在我们换个角度、换个平台对同样的问题进行探究.

探究问题3一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图像有什么关系呢？

方程的根即为对应函数图像与x轴的交点的横坐标.

能力提升已知函数y=x2-2(m+1)x+m2+2m.

(1)求证：函数图像与x轴恒有2个交点A,B；

(2)求|AB|(或点A和点B间的距离).

探究问题4若把条件和结论对调，则问题变为：关于x的方程x2+4x+m=0的2个根x1，x2满足|x1-x2|=2，求实数m的值．你可以完成吗？

感想与初中数学相比，高中数学无论是知识的深度、广度，还是能力要求，都是一次飞跃．高中数学中有很多内容难度大、方法新、分析能力要求高，需要有变化的思维，更需要我们的思维活动要“活”、要“多角度”考虑，要能“概括”、“类比”、“联想”、“抽象”等等.

4 巩固篇——我的数学能完善

任务二次函数是高中与初中数学联系最紧密的知识之一.下面提供这部分内容的探究线索，独立完成该内容的探究.

引入画出函数y=x2-4x+3的图像，指出函数的增减性，并根据图像指出函数何时取到最值.

变式训练1如果x的取值范围为1≤x≤5，那么前面的回答发生了怎样的变化？

变式训练2如果x的取值范围为-1≤x≤5，那么前面的回答发生了怎样的变化？

变式训练3如果x的取值范围为-1≤x≤7，那么前面的回答发生了怎样的变化？

变式训练4若x的取值范围为-1≤x≤a且函数的最大值为8，求a的取值范围？

变式训练5若x的取值范围为a≤x≤7且函数的最小值为-1，求a的取值范围？

数学的变式趣味无穷，你还可以换个角度给自己命题，你能出一道题目给大家看看吗？

能力提升下面的题目是考查前面知识的灵活运用程度，你能完成吗？

(1)已知y=x2+2(a-1)x+2在x≤4上随x的增大而减小，求实数a的取值范围．

(2)若函数y=-x2-2ax(其中0≤x≤1)的最大值为a2，求实数a的取值范围.

变式教学是高中数学的常规教学方法之一，在变化中不断训练我们的思维，拓展我们的思维空间，激发创新意识，充分发挥学生的主观能动性.让你真正感受数学的美、数学的魅力.

5 期望篇——我的数学也美妙

初、高中数学的内容断层还有：十字相乘法、因式分解、立方和(差)公式的运用、三角形的四心(内心、外心、重心、垂心)等，你可以模仿前面的探究方法，试着培养自己的自主学习能力，结合初中课本，搜索相关内容，完成对上面内容的编题、解题，以及对此内容的理解.