分式求值背后的思想方法

徐金星

要想找到快速破题之法，关键就是解题的数学思想要正确，方法要得当. 怎样才能做到这些呢？下面结合近几年的中考试题，跟同学们来一起探究一下本章中常见的数学思想方法在解题中的关键作用，望能给同学们的学习带来裨益.

一、 分类讨论，抽丝剥茧

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，则的值为______.

【分析】很显然，根据题目条件，只知道a、b均不为0，但不能直接求出它们的值. 由于a、b的不确定性，则需对它们分类进行讨论. 结合去绝对值的需要，可以将它们分同正、同负、一正一负来讨论. 当a、b同为正数时，>0， >0，不合题意，舍去；同理，当a、b同为负数时，也舍去；故a、b两数一正一负，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【点评】对于不确定因素的问题，我们需要进行分类讨论. 本题中没有明确指出两数的大小，我们就可以分同正、同负、一正一负三种情况来讨论，看哪种情形满足题目中的条件，进而为问题的解决提供方便.

二、 类比联想，解题轻松

例2（2013·江苏宿迁）先化简，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化简的式子，可知其中有加、减、除、乘方运算，并含有括号，是分式的混合运算. 类比分数的运算法则，先算括号内的，再将除法变为乘法计算.

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴当x=3时，原式==4.

【点评】波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人.” 类比思想是一种很重要的解题思想，同学们应该还记得，在学习一元一次不等式的解法时，类比解一元一次方程的方法，学起来就很轻松. 那么，我们在学习分式时，类比分数的有关知识，不失为一种科学的学习方法.望同学们在以后的学习中注意体会和应用. 解题过程中，有时还要对某些式子先分解因式，约去分子、分母的公因式，使其变成最简分式. 解决这类问题，一般是将分式先化简，再代值计算.

三、 整体考虑，出奇制胜

例3（2013·山东枣庄）先化简，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化简原式可以得到.要求的值，则要求出m的值，可现阶段又没有学过如何解这个方程，那怎么办呢？联想整体思想，看看条件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即将m2+3m看作一个整体，如果所求式子中有或者能够变形得到这个式子，那么问题可解. 仔细观察，则有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【点评】在思考数学问题时，不能只着眼于它的局部特征. 整体思想是把联系紧密的几个量作为一个整体，再进行运算的数学思想. 运用这种思想可以将复杂问题简单化，使解题过程简捷，达到出奇制胜的效果.一般地，运用整体思想的方法有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑和整体构造等.

跟踪练习

1. （2013·重庆市）先化简，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b满足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·广州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江苏泰州）解方程：-=.

参考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴当a=3，

b=1.时，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

经检验：x=-是原方程的解.

∴原方程的解为x=-.

（作者单位：湖北省孝感市肖港初中）

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要想找到快速破题之法，关键就是解题的数学思想要正确，方法要得当. 怎样才能做到这些呢？下面结合近几年的中考试题，跟同学们来一起探究一下本章中常见的数学思想方法在解题中的关键作用，望能给同学们的学习带来裨益.

一、 分类讨论，抽丝剥茧

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，则的值为______.

【分析】很显然，根据题目条件，只知道a、b均不为0，但不能直接求出它们的值. 由于a、b的不确定性，则需对它们分类进行讨论. 结合去绝对值的需要，可以将它们分同正、同负、一正一负来讨论. 当a、b同为正数时，>0， >0，不合题意，舍去；同理，当a、b同为负数时，也舍去；故a、b两数一正一负，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【点评】对于不确定因素的问题，我们需要进行分类讨论. 本题中没有明确指出两数的大小，我们就可以分同正、同负、一正一负三种情况来讨论，看哪种情形满足题目中的条件，进而为问题的解决提供方便.

二、 类比联想，解题轻松

例2（2013·江苏宿迁）先化简，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化简的式子，可知其中有加、减、除、乘方运算，并含有括号，是分式的混合运算. 类比分数的运算法则，先算括号内的，再将除法变为乘法计算.

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴当x=3时，原式==4.

【点评】波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人.” 类比思想是一种很重要的解题思想，同学们应该还记得，在学习一元一次不等式的解法时，类比解一元一次方程的方法，学起来就很轻松. 那么，我们在学习分式时，类比分数的有关知识，不失为一种科学的学习方法.望同学们在以后的学习中注意体会和应用. 解题过程中，有时还要对某些式子先分解因式，约去分子、分母的公因式，使其变成最简分式. 解决这类问题，一般是将分式先化简，再代值计算.

三、 整体考虑，出奇制胜

例3（2013·山东枣庄）先化简，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化简原式可以得到.要求的值，则要求出m的值，可现阶段又没有学过如何解这个方程，那怎么办呢？联想整体思想，看看条件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即将m2+3m看作一个整体，如果所求式子中有或者能够变形得到这个式子，那么问题可解. 仔细观察，则有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【点评】在思考数学问题时，不能只着眼于它的局部特征. 整体思想是把联系紧密的几个量作为一个整体，再进行运算的数学思想. 运用这种思想可以将复杂问题简单化，使解题过程简捷，达到出奇制胜的效果.一般地，运用整体思想的方法有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑和整体构造等.

跟踪练习

1. （2013·重庆市）先化简，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b满足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·广州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江苏泰州）解方程：-=.

参考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴当a=3，

b=1.时，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

经检验：x=-是原方程的解.

∴原方程的解为x=-.

（作者单位：湖北省孝感市肖港初中）

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要想找到快速破题之法，关键就是解题的数学思想要正确，方法要得当. 怎样才能做到这些呢？下面结合近几年的中考试题，跟同学们来一起探究一下本章中常见的数学思想方法在解题中的关键作用，望能给同学们的学习带来裨益.

一、 分类讨论，抽丝剥茧

例1 （2013·湖南永州）已知+=0，则的值为______.

【分析】很显然，根据题目条件，只知道a、b均不为0，但不能直接求出它们的值. 由于a、b的不确定性，则需对它们分类进行讨论. 结合去绝对值的需要，可以将它们分同正、同负、一正一负来讨论. 当a、b同为正数时，>0， >0，不合题意，舍去；同理，当a、b同为负数时，也舍去；故a、b两数一正一负，于是ab=-ab，故==-1.

解：-1.

【点评】对于不确定因素的问题，我们需要进行分类讨论. 本题中没有明确指出两数的大小，我们就可以分同正、同负、一正一负三种情况来讨论，看哪种情形满足题目中的条件，进而为问题的解决提供方便.

二、 类比联想，解题轻松

例2（2013·江苏宿迁）先化简，再求值：

1-÷，其中x=3.

【分析】看看所化简的式子，可知其中有加、减、除、乘方运算，并含有括号，是分式的混合运算. 类比分数的运算法则，先算括号内的，再将除法变为乘法计算.

解：

1-÷

=÷

=·=.

∴当x=3时，原式==4.

【点评】波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人.” 类比思想是一种很重要的解题思想，同学们应该还记得，在学习一元一次不等式的解法时，类比解一元一次方程的方法，学起来就很轻松. 那么，我们在学习分式时，类比分数的有关知识，不失为一种科学的学习方法.望同学们在以后的学习中注意体会和应用. 解题过程中，有时还要对某些式子先分解因式，约去分子、分母的公因式，使其变成最简分式. 解决这类问题，一般是将分式先化简，再代值计算.

三、 整体考虑，出奇制胜

例3（2013·山东枣庄）先化简，再求值：÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化简原式可以得到.要求的值，则要求出m的值，可现阶段又没有学过如何解这个方程，那怎么办呢？联想整体思想，看看条件，易得m2+3m-1=0，即m2+3m=1，即将m2+3m看作一个整体，如果所求式子中有或者能够变形得到这个式子，那么问题可解. 仔细观察，则有 =.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1.

∴÷m

+2-

=÷

=×

=

=

= .

【点评】在思考数学问题时，不能只着眼于它的局部特征. 整体思想是把联系紧密的几个量作为一个整体，再进行运算的数学思想. 运用这种思想可以将复杂问题简单化，使解题过程简捷，达到出奇制胜的效果.一般地，运用整体思想的方法有整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑和整体构造等.

跟踪练习

1. （2013·重庆市）先化简，再求值：

÷

-a-2b-，其中a，b满足a+b=4，

a-b=2.

2. （2012·广州）已知+=（a≠b），求-的值.

3. （2013·江苏泰州）解方程：-=.

参考答案：

1. 解：原式=-.

∵a+b=4，

a-b=2.∴a=3，

b=1.∴当a=3，

b=1.时，原式=-=-.

2. 解：∵+=，∴=，

∴-=-====.

3. 解：去分母，得：（2x+2）（x-2）-x（x+2）=x2-2，解得：x=-，

经检验：x=-是原方程的解.

∴原方程的解为x=-.

（作者单位：湖北省孝感市肖港初中）

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