柯西不等式在中学数学解题过程中的魅力体现*1

纪 宏 伟，吴 国 磊

(江苏教育学院 如皋分院,江苏 如皋 226500)

柯西不等式常见的变形形式有：

通常将以上变形公式称作为分式型柯西不等式，用来处理分式不等式时，常常是一种有力的工具，甚至起到一招制胜之效。

1 证明不等式

点评：本题直接利用变形公式显然得不出结果，但是改变多项式的形态结构，将求证式左边的每一项的分子变形为平方关系，便可看清其内在的结构特征，使得问题一望即解。

例2:已知a1,a2,…,an为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式

由排序不等式易知

故原不等式成立。

证明:由柯西不等式得

(1)

又由柯西不等式得

(2)

由⑴⑵得

点评：本题两次用到柯西不等式，在使用时必须把握住问题的结构特点，选择最佳的切入点和突破口，如本例元素的选取恰到好处，值得我们细细回味。

2 求最值(值域)

2.1 求多字母式子的最值

例4:求实数x、y的值，使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值。

解:引入待定参数a,b,c，由柯西不等式

(a2+b2+c2)(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥[a(y-1)+b(x+y-3)+c(2x+y-6)]2=[(b+2c)x+(a+b+c)y-a-3b-6c]2，

点评：本题展开后求解比较繁杂，但是引入参数构造出柯西不等式的情境，将最小值取值条件归结为不等式右侧能否获得定值，使原题原“形”毕露，可谓神来之笔。

解:由柯西不等式，得

点评：本题不具备直接运用柯西不等式的条件，但通过改变表达式的形式，转化为符合柯西不等式的基本形式，体现了转化与化归思想。

2.2 求含约束条件式子的最值

例7:已知实数x,y,z满足x+y+2z=1，求x2+y2+2z2的最小值。

点评：本题从柯西不等式结构特征出发，通过正确配凑系数，使得变化后的式子内在结构满足柯西不等式取等号的条件，解题过程一气呵成。

点评：本题解法较多，但是从构造柯西不等式的结构特征出发来形成解题思路，通过巧配系数形成与柯西不等式完美对接，有返朴归真之感，体现出数学的简洁美。

例9:已知sin2α+sin2β+sin2γ=1，求|sin2α+sin2β+sin2γ|的最大值。

解:由sin2α+sin2β+sin2γ=1⟹cos2α+cos2β+cos2γ=2，故

(sin2α+sin2β+sin2γ)(cos2α+cos2β+cos2γ)≥(sinα·cosα+sinβ·cosβ+sinγ·cosγ)2

点评；三角变形后，只要熟悉柯西不等式的结构形式以及灵活利用不等式取等条件，问题便迎刃而解了。

3 处理特殊等式问题

点评：本题若直接求解，过程较繁琐，借助柯西不等式，顺利地实现了从不等到相等的转化，干净利落，朴素无华，妙不可言。

解:通过方程组的两式相加并配方，可以得到(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，而第一个方程可化为2x+(3y+3)+(z+2)=18，于是由柯西不等式得

点评：一般地，只有两个方程构成的三元二次方程组的解不是唯一的，但本例的解是唯一的，原因就是它恰好满足柯西不等式等号成立的条件。柯西不等式取等条件具有潜在的功能，它对于此类问题的解决往往是有效的。

点评：为了能够使用柯西不等式，配置上一个因式sinαcosβ+cosαsinβ，从而使证明“峰回路转”，从证明过程看，用柯西不等式显然要比别的方法简洁一些，这正是其美妙的迷人之处。

点评：本题的特殊性在于用不等式来处理等式，从“不等”中挖掘“等”而实现问题的突破，体现了不等式思想解决有关等式问题的辩证解题模式。

惠特霍斯曾说过：“一般地，解题之成功，在很大的程度上依赖于选择一种最合宜的方法”。从本文可知，利用柯西不等式来解决相关问题具有极大的优越性和简捷性，解题过程宛若行云流水，一气呵成，给人以美的享受，值得我们细细领悟和回味。

〔参考文献〕

[1]王芝平. 在解题中学会解题 [M]. 北京：电子工业出版社，2012：56-57.

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[4]谌晓鸿. 柯西不等式在中学数学中的应用 [J]. 内江师范学院学报，2009，26(6)：70-71.

[5]熊师茂. 柯西不等式及其应用 [J]. 数学通讯，2012，7-8：4-7.