一道考研题的三种解法及其启示

窦慧

［摘要］分别运用泰勒公式、和差化积、凑无穷小,可以给出一道题目的三种解法，旨在帮助学生拓展思维，夯实基础，重视初等数学在研究生入学考试中的地位和作用，从而培养其解决问题的能力，提高数学素质.

［关键词］余弦函数泰勒公式凑无穷小和差化积

［中图分类号］O17［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2014）11-0091-02等价在极限理论中举足轻重,经常会有各种类型的关于等价的题目.其中根据等价关系求解参数就是一种典型出题方式,解题关键还是利用等价的定义求解极限.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二、数学三中的第15题就是这一类题目.但是在批阅试卷的过程中,发现该题得分率极低,究其原因是对其中的三角函数之积处理不当.为此给出三种解法,以供参考.

一、 考研题及其三种解法

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二、数学三中的第15题［1］:

已知x→0时，1-cosx·cos2x·cos3x与axn等价，求a，n.

解法1（利用余弦函数的泰勒展开式证明）

x→0时，1-cosx·cos2x·cos3x与axn等价，即■■=1.应用泰勒公式，有cosx=1-■x2+■x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cos2x=1-■（2x）2+■（2x）4+?紫（x5）

=1-2x2+■x4+?紫（x5），

cos3x=1-■（3x）2+■（3x）4+?紫（x5）

=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cosx·cos2x·cos3x=［1-■x2+■x4+?紫（x5）］·［1-2x2+■x4+?紫（x5）］·［1-■x2+■x4+?紫（x5）］，

=1-7x2+?紫（x5）.

因此1-cosx·cos2x·cos3x=7x2+0（x5）,所以可得a=7，n=2.

解法2（利用凑无穷小的方法证明）

1-cosx·cos2x·cos3x＝1-cosx+cosx-cosx·cos2x+cosx·cos2x-cosx·cos2x·cos3x

=（1-cosx）+cosx（1-cos2x）+cosx·cos2x（1-cos3x）,

所以■■

＝■■

=■■+■■+

■cosxcos2x■

=■■+■■+■■

=■■

=1.

因此a=7，n=2.

解法3（利用初等数学中的积化和差证明）

由三角函数的积化和差公式cosα·cosβ=■［cos（α-β）+cos（α+β）］，得

cosx·cos2x·cos3x=■（cosx+cos3x）cos3x

=■（cosx·cos3x+cos23x）

=■（■（cos2x+cos4x）+■（1+cos6x））

=■（1+（cos2x+cos4x+cos6x））.

所以1-cosx·cos2x·cos3x=1-■（1+cos2x+cos4x+cos6x）

=■［（1-cos2x）+（1+cos4x）+（1-cos6x）］.

故■■＝■■■+■■■+■■■

＝■■+■■+■■

=■■=1.

所以a=7，n=2.

二、三种解法的启示

（一）解法1的启示

解法1直接利用余弦函数的泰勒展开式，解题过程简洁明了,只要熟练掌握余弦函数的泰勒展开式

cosx=1-■x2+■x4+?紫（x5）=1-■x2+■x4+?紫（x5），

cos2x=1-■（2x2）+■（2x）4+?紫（x5）

=1-2x2+■x4+?紫（x5），

cos3x=1-■（3x）2+■（3x）x4+?紫（x5）

=1-■x2+■x4+?紫（x5），

则该题的难度系数就大大降低.

但是我们发现在高等数学中泰勒公式的教学效果并不好.据调查因为泰勒公式是教学中的难点，公式较大，阶数较高，在教学过程中许多教师尽量简化泰勒公式的教学，或者是仅仅侧重于公式的形成过程，不强调公式的用途；学生在处理题目时也尽量避开泰勒公式.这种教学方法的结果就是对泰勒公式不熟悉，仅仅知道有该公式，但不知道公式是怎样的，也不知道怎么运用泰勒公式。该解法启示我们要注重基础知识的教学，教师尤其是不能对知识点有好恶之分，任何一个知识点都要做到精讲、精解。对于较难的知识点，教师更要深入浅出、出神入化的把他转化为学生易于接受的形式，譬如可以采用图表法、探究性学习、讨论等教学方法讲解新知识，以降低学生的恐惧感，增强学生的求知欲，唤起学生学习的兴趣，增强教学效果，绝对不能“冷处理”；为了巩固知识点，教师还应该特别留意相应课后题的处理，要不间断的引导学生去做各种各样的练习题，形成一种处理难点问题的习惯。学生在学习过程中更要知难而上，不放过任何一个无论多难的知识点.

（二）解法2的启示

解法2用了一点技巧——凑无穷小,当然紧扣题目特点要凑出1-cosx，1-cos2x，1-cos3x无穷小,然后利用等价，结果也比较明显.

可是这种方法要求较高，要善于观察并有活跃的思维，这要求我们不仅要注重基础知识点的教学，更要注重解题方法的培养、数学思维的形成，学生在平时的学习中要注重善思、善变，一题多解、一题多变和多题一解，从而培养灵动的数学思维，提高数学素质.

无穷小的有关定义和性质是各级各类高等数学考试中出现频率很高的一个考点，熟练掌握无穷小有助于处理和解决许多题目。现将有关知识点梳理一下：

1.当x→0时sinx，arcsinx，tanx，arctax，1-cosx，■-1，ex-1，ln（1+x）均为无穷小，而且与λxm（λ，m∈R且λ≠0，m＞0）等价（本题用到1-cosx~■，1-cos2x~2x2，1-cos3x~■）；

2.无穷小与有界函数的乘积还是无穷小；

3.有限个无穷小的和还是无穷小。

（三）解法3的启示

解法3运用三角函数的积化和差公式cosα·cosβ=■［cos（α-β）+cos（α+β）］，并结合三角函数的等价，解题过程也不复杂.

这种解法要求解题人熟练掌握初等数学中的三角函数的积化和差公式，而日常教学中发现许多大学一年级的学生对该公式了解但不熟悉，试题解答中运用该公式的学生寥寥无几.高中阶段对三角函数要求不高，但是高等数学对三角函数要求非常高，三角函数的定义、性质、公式、导数、积分均为高等数学的重要内容，这就要求教师要注重高中知识和大学知识的衔接，在教学过程中指导学生补上这一内容. 下面给出三角函数的部分公式：

sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ

cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sinα·sinβ=■［cos（α-β）-cos（α+β）］

cosα·cosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］

sinα·cosβ=■［sin（α-β）+sin（α+β）］

［参考文献］

［1］ 张天德，李仁所，李擂.考研数学试题精选精解600题［M］ .济南：山东科学技术出版社，2013,3.

［责任编辑：林志恒］