一次函数中考考点例析

洪飞

一次函数是初中数学的重要内容，也是每年中考数学的重点考查内容。下面对一次函数的常见考点分类例析。

考点1一次函数关系式的确定

例1正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图像都经过点A（1，2），且一次函数的图像交x轴于点B（4，0）。求正比例函数和一次函数的表达式。

解析 由正比例函数y=kx的图像过点（1，2） 得2=k。

所以正比例函数的表达式为y=2x。

由一次函数y=ax+b的图像经过点（1，2）和（4，0）得

a+b=2，4a+b=0。

解得：a=-■，b=■。

所以一次函数的表达式为y=-■x+■。

考点2一次函数的图像及性质

例2 如图1，一次函数y=（m-1）x-3的图像分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B两点，则m的取值范围是（）

A． m＞1 B． m＜1

C． m＜0 D． m＞0

解析 因为函数图像经过二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1。故答案选B。

例3 如图2，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行且经过点A（1，-2），则kb=_________。

解析 因为y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以k=2。

因为y=kx+b的图像经过点A(1，-2)，所以2+b=-2。

解得b=-4，所以kb=2×(-4)=-8。

考点3 一次函数与方程（组）、不等式（组）的综合问题

例4 如图3，一次函数y=k1x+b1的图像l1与y=k2x+b2的图像l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（）

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由图3可知，P点坐标是（-2，3），所以方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3，故答案选A。

■

例5 如图4，直线y=kx+b经过A（3,1）和B（6,0）两点，则不等式0＜kx+b＜■x的解集为________。

解析过点A（3,1）和原点的直线表达式为y=■x，即直线y=kx+b和y=■x交点为A，由图像可知，当x＜6时，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，当x＞3时，y=kx+b的值小于y=■x的值，综上所述，3＜x＜6是不等式0＜kx+b＜■x的解集。故答案填3＜x＜6。

考点4一次函数的应用

例6 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1 000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元。

（1）求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1 000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售一支甲种钢笔可获利润2元，销售一支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

解析（1）设购进甲、乙两种钢笔每支各需x元和y元，根据题意得：100x+50y=1 000，50x+30y=550。 解得 x=5，y=10。

答：购进甲、乙两种钢笔每支各需5元和10元。

（2）设购进甲种钢笔a支，乙种钢笔b支，根据题意可得：5a+10b=1 000，6b≤a≤8b。解得：20≤b≤25。因为a、b为整数，所以b=20，21，22，23，24，25共六种方案，因为5a=1000-10b＞0，所以0＜b＜100，所以该文具店共有6种进货方案。

（3）设利润为W元，则W=2a+3b，因为5a+10b=1 000，所以a=200-2b，所以代入上式得：W=400-b。

因为-1＜0，所以W随着b的增大而减小，所以当b=20时，W最大，此时a=160时，W最大。

所以W的最大值为400-20=380（元）。

答：当购进甲钢笔160支，购进乙钢笔20支时获利最大，最大利润为380元。

练习

1．函数y=■中，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞-1 B．x＜-1 C．x≠-1 D．x≠0

2．一次函数y=kx+b（k≠0）的图像如图5所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．x＜0 B．x＞0

C．x＜2 D．x＞2

3.如图6，已知一次函数y=kx+b（k≠0）图像过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式。

4．某超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图7所示。

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润。

练习参考答案

1．C 2.C

3.解：设一次函数y=kx+b（k≠0）图像与x轴交点为D（d,0）,因一次函数y=kx+b（k≠0）图像过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则■×2d=2，得d=±2。

将两点坐标（0，2）、（2，0）代入一次函数y=kx+b中，得b=2，2k+b=0，k=-1。因此一次函数的解析式为y=-x+2。

4．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由图像可知，

11k+b=10，15k+b=2。解得k=-2，b=32。

所以销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=-2x+32。

（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：

W=（-2x+32）（13-10）=-6x+96。

一次函数是初中数学的重要内容，也是每年中考数学的重点考查内容。下面对一次函数的常见考点分类例析。

考点1一次函数关系式的确定

例1正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图像都经过点A（1，2），且一次函数的图像交x轴于点B（4，0）。求正比例函数和一次函数的表达式。

解析 由正比例函数y=kx的图像过点（1，2） 得2=k。

所以正比例函数的表达式为y=2x。

由一次函数y=ax+b的图像经过点（1，2）和（4，0）得

a+b=2，4a+b=0。

解得：a=-■，b=■。

所以一次函数的表达式为y=-■x+■。

考点2一次函数的图像及性质

例2 如图1，一次函数y=（m-1）x-3的图像分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B两点，则m的取值范围是（）

A． m＞1 B． m＜1

C． m＜0 D． m＞0

解析 因为函数图像经过二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1。故答案选B。

例3 如图2，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行且经过点A（1，-2），则kb=_________。

解析 因为y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以k=2。

因为y=kx+b的图像经过点A(1，-2)，所以2+b=-2。

解得b=-4，所以kb=2×(-4)=-8。

考点3 一次函数与方程（组）、不等式（组）的综合问题

例4 如图3，一次函数y=k1x+b1的图像l1与y=k2x+b2的图像l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（）

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由图3可知，P点坐标是（-2，3），所以方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3，故答案选A。

■

例5 如图4，直线y=kx+b经过A（3,1）和B（6,0）两点，则不等式0＜kx+b＜■x的解集为________。

解析过点A（3,1）和原点的直线表达式为y=■x，即直线y=kx+b和y=■x交点为A，由图像可知，当x＜6时，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，当x＞3时，y=kx+b的值小于y=■x的值，综上所述，3＜x＜6是不等式0＜kx+b＜■x的解集。故答案填3＜x＜6。

考点4一次函数的应用

例6 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1 000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元。

（1）求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1 000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售一支甲种钢笔可获利润2元，销售一支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

解析（1）设购进甲、乙两种钢笔每支各需x元和y元，根据题意得：100x+50y=1 000，50x+30y=550。 解得 x=5，y=10。

答：购进甲、乙两种钢笔每支各需5元和10元。

（2）设购进甲种钢笔a支，乙种钢笔b支，根据题意可得：5a+10b=1 000，6b≤a≤8b。解得：20≤b≤25。因为a、b为整数，所以b=20，21，22，23，24，25共六种方案，因为5a=1000-10b＞0，所以0＜b＜100，所以该文具店共有6种进货方案。

（3）设利润为W元，则W=2a+3b，因为5a+10b=1 000，所以a=200-2b，所以代入上式得：W=400-b。

因为-1＜0，所以W随着b的增大而减小，所以当b=20时，W最大，此时a=160时，W最大。

所以W的最大值为400-20=380（元）。

答：当购进甲钢笔160支，购进乙钢笔20支时获利最大，最大利润为380元。

练习

1．函数y=■中，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞-1 B．x＜-1 C．x≠-1 D．x≠0

2．一次函数y=kx+b（k≠0）的图像如图5所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．x＜0 B．x＞0

C．x＜2 D．x＞2

3.如图6，已知一次函数y=kx+b（k≠0）图像过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式。

4．某超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图7所示。

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润。

练习参考答案

1．C 2.C

3.解：设一次函数y=kx+b（k≠0）图像与x轴交点为D（d,0）,因一次函数y=kx+b（k≠0）图像过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则■×2d=2，得d=±2。

将两点坐标（0，2）、（2，0）代入一次函数y=kx+b中，得b=2，2k+b=0，k=-1。因此一次函数的解析式为y=-x+2。

4．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由图像可知，

11k+b=10，15k+b=2。解得k=-2，b=32。

所以销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=-2x+32。

（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：

W=（-2x+32）（13-10）=-6x+96。

一次函数是初中数学的重要内容，也是每年中考数学的重点考查内容。下面对一次函数的常见考点分类例析。

考点1一次函数关系式的确定

例1正比例函数y=kx和一次函数y=ax+b的图像都经过点A（1，2），且一次函数的图像交x轴于点B（4，0）。求正比例函数和一次函数的表达式。

解析 由正比例函数y=kx的图像过点（1，2） 得2=k。

所以正比例函数的表达式为y=2x。

由一次函数y=ax+b的图像经过点（1，2）和（4，0）得

a+b=2，4a+b=0。

解得：a=-■，b=■。

所以一次函数的表达式为y=-■x+■。

考点2一次函数的图像及性质

例2 如图1，一次函数y=（m-1）x-3的图像分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B两点，则m的取值范围是（）

A． m＞1 B． m＜1

C． m＜0 D． m＞0

解析 因为函数图像经过二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1。故答案选B。

例3 如图2，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行且经过点A（1，-2），则kb=_________。

解析 因为y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以k=2。

因为y=kx+b的图像经过点A(1，-2)，所以2+b=-2。

解得b=-4，所以kb=2×(-4)=-8。

考点3 一次函数与方程（组）、不等式（组）的综合问题

例4 如图3，一次函数y=k1x+b1的图像l1与y=k2x+b2的图像l2相交于点P,则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（）

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由图3可知，P点坐标是（-2，3），所以方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3，故答案选A。

■

例5 如图4，直线y=kx+b经过A（3,1）和B（6,0）两点，则不等式0＜kx+b＜■x的解集为________。

解析过点A（3,1）和原点的直线表达式为y=■x，即直线y=kx+b和y=■x交点为A，由图像可知，当x＜6时，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，当x＞3时，y=kx+b的值小于y=■x的值，综上所述，3＜x＜6是不等式0＜kx+b＜■x的解集。故答案填3＜x＜6。

考点4一次函数的应用

例6 某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1 000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元。

（1）求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元？

（2）若该文具店准备拿出1 000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？

（3）若该文具店销售一支甲种钢笔可获利润2元，销售一支乙种钢笔可获利润3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？

解析（1）设购进甲、乙两种钢笔每支各需x元和y元，根据题意得：100x+50y=1 000，50x+30y=550。 解得 x=5，y=10。

答：购进甲、乙两种钢笔每支各需5元和10元。

（2）设购进甲种钢笔a支，乙种钢笔b支，根据题意可得：5a+10b=1 000，6b≤a≤8b。解得：20≤b≤25。因为a、b为整数，所以b=20，21，22，23，24，25共六种方案，因为5a=1000-10b＞0，所以0＜b＜100，所以该文具店共有6种进货方案。

（3）设利润为W元，则W=2a+3b，因为5a+10b=1 000，所以a=200-2b，所以代入上式得：W=400-b。

因为-1＜0，所以W随着b的增大而减小，所以当b=20时，W最大，此时a=160时，W最大。

所以W的最大值为400-20=380（元）。

答：当购进甲钢笔160支，购进乙钢笔20支时获利最大，最大利润为380元。

练习

1．函数y=■中，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞-1 B．x＜-1 C．x≠-1 D．x≠0

2．一次函数y=kx+b（k≠0）的图像如图5所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．x＜0 B．x＞0

C．x＜2 D．x＞2

3.如图6，已知一次函数y=kx+b（k≠0）图像过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式。

4．某超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元）是一次函数关系，如图7所示。

（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；

（2）如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润。

练习参考答案

1．C 2.C

3.解：设一次函数y=kx+b（k≠0）图像与x轴交点为D（d,0）,因一次函数y=kx+b（k≠0）图像过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则■×2d=2，得d=±2。

将两点坐标（0，2）、（2，0）代入一次函数y=kx+b中，得b=2，2k+b=0，k=-1。因此一次函数的解析式为y=-x+2。

4．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由图像可知，

11k+b=10，15k+b=2。解得k=-2，b=32。

所以销售量y与定价x之间的函数关系式是：y=-2x+32。

（2）超市每天销售这种商品所获得的利润是：

W=（-2x+32）（13-10）=-6x+96。