董文元
高考复习时必须强调落实“三基”,向课堂要效益,向训练要成绩.基础是什么?简单说,就是课本.基础好,就是课本内容掌握得好.无论是哪个层次的学生,都应该把教材吃透,做到定义会说,公式会推,例题会讲,习题会做.课本例题和习题是多年来经过精心筛选后设置的,具有很强的示范性、典型性和探索性,在复习过程中要善于以这些题为原型,通过类比、延伸、迁移、拓展,提出新问题并加以解决、反思,充分挖掘例题的扩张效应,从而提高学生复习的积极性,培养他们的探索精神和创新精神.
一道典型的好题就是一道营养丰富的“滋补大餐”,我们应该细细咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上挂下联、左右逢源、前后呼应、触类旁通、引申拓展,使其教育教学功能发挥到淋漓尽致!绝不能就题论题,造成了资源的浪费与复习效果的低下.下面就一道平面向量习题谈高三复习,供大家参考.
例如图1,P,Q为线段AB的三等分点,用OA,OB表示OP,OQ.
分析由题知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分离
出OP即可.
事实上,因为AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP),
从而得OP=23OA+13OB.(1)
老师:(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?
学生1:依照上题的思路,同样由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.(2)
老师: AP=λPB说明A、P、B三点的位置关系如何?
学生2:三点共线.
老师:(引导启发)观察(1)、(2)中OA,OB的系数,你发现什么规律?
学生3: 很自豪地举手回答系数之和等于1,同学们报以热烈的掌声!
老师:老师故作深沉,是不是一种巧合?能否推广?请同学们思考,推理之后给出答案.
学生4:(黑板推演)O为平面内任一点, 由A、B、P三点共线,
可设AP=tAB,则OP-OA=t(OB-OA).
所以OP=(1-t)OA+t
OB,令m=1-t,n=t.
即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同学4对同学3的回答给于严格的推理,说明这个结论是数学的,数学的就得严谨.
老师:(追问)反过来成立吗?请同学们再思考给出严格的推理.(推演略)
若为同一平面内两个不共线的向量e1,e2,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.
老师:这就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它说明平面内的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共线定理的推广,事实上,平面向量基本定理又可推广到空间向量基本定理,即任一空间向量可用不共线的三个非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的.这三个定理都可以看成向量分解的唯一性,只不过范围不同而已.
老师: 若不共线的一组基底取平面直角坐标系中x轴、y轴正方向的单位向量i,j,a用i,j表示会出现怎样的结果呢?这个问题我们下节课继续研究.接下来请同学们继续思考
老师:OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ结果如何?
同学5:(很轻松的给出结论)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.
老师:当点P,Q为线段AB的三等分点时,有OP+OQ=OA+OB,
如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,你能够得到什么结论?思考之后老师给出推导:
OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).
因为OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB,
所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).
老师:上述结论,你会联想到等差数列的什么性质?
同学7:(很欣然地)在等差数列中,与“首末”两项“等距离”的两项的和是“首末”两项的和,也就是若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q均为正整数).
老师:(乘胜追击)利用这个结论,思考:OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是线段AB的n等分点,则OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).
同学8:(手舞足蹈)“倒序相加法”
令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1
两式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).
教室里响起经久不息的掌声!
老师: (总结)好!请同学们回顾这节课的内容,用一句话语进行总结:
学生8:“数学是自然的,数学是清楚的,数学是严谨的”.
在突出“能力”考查的今天,强调能力决不意味着可以忽视基础知识、基本技能和基本思想方法,对“三基”的考查仍是高考的基调之一.因此,高三数学教学必须按《考试说明》对知识内容的不同层次要求,全面系统地复习,切实抓住“三基”的教与学,让学生真正理解掌握,形成知识网络,融会贯通,举一反三.此题融合了多种数学思想和方法,是高三复习的绝佳素材.
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高考复习时必须强调落实“三基”,向课堂要效益,向训练要成绩.基础是什么?简单说,就是课本.基础好,就是课本内容掌握得好.无论是哪个层次的学生,都应该把教材吃透,做到定义会说,公式会推,例题会讲,习题会做.课本例题和习题是多年来经过精心筛选后设置的,具有很强的示范性、典型性和探索性,在复习过程中要善于以这些题为原型,通过类比、延伸、迁移、拓展,提出新问题并加以解决、反思,充分挖掘例题的扩张效应,从而提高学生复习的积极性,培养他们的探索精神和创新精神.
一道典型的好题就是一道营养丰富的“滋补大餐”,我们应该细细咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上挂下联、左右逢源、前后呼应、触类旁通、引申拓展,使其教育教学功能发挥到淋漓尽致!绝不能就题论题,造成了资源的浪费与复习效果的低下.下面就一道平面向量习题谈高三复习,供大家参考.
例如图1,P,Q为线段AB的三等分点,用OA,OB表示OP,OQ.
分析由题知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分离
出OP即可.
事实上,因为AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP),
从而得OP=23OA+13OB.(1)
老师:(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?
学生1:依照上题的思路,同样由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.(2)
老师: AP=λPB说明A、P、B三点的位置关系如何?
学生2:三点共线.
老师:(引导启发)观察(1)、(2)中OA,OB的系数,你发现什么规律?
学生3: 很自豪地举手回答系数之和等于1,同学们报以热烈的掌声!
老师:老师故作深沉,是不是一种巧合?能否推广?请同学们思考,推理之后给出答案.
学生4:(黑板推演)O为平面内任一点, 由A、B、P三点共线,
可设AP=tAB,则OP-OA=t(OB-OA).
所以OP=(1-t)OA+t
OB,令m=1-t,n=t.
即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同学4对同学3的回答给于严格的推理,说明这个结论是数学的,数学的就得严谨.
老师:(追问)反过来成立吗?请同学们再思考给出严格的推理.(推演略)
若为同一平面内两个不共线的向量e1,e2,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.
老师:这就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它说明平面内的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共线定理的推广,事实上,平面向量基本定理又可推广到空间向量基本定理,即任一空间向量可用不共线的三个非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的.这三个定理都可以看成向量分解的唯一性,只不过范围不同而已.
老师: 若不共线的一组基底取平面直角坐标系中x轴、y轴正方向的单位向量i,j,a用i,j表示会出现怎样的结果呢?这个问题我们下节课继续研究.接下来请同学们继续思考
老师:OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ结果如何?
同学5:(很轻松的给出结论)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.
老师:当点P,Q为线段AB的三等分点时,有OP+OQ=OA+OB,
如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,你能够得到什么结论?思考之后老师给出推导:
OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).
因为OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB,
所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).
老师:上述结论,你会联想到等差数列的什么性质?
同学7:(很欣然地)在等差数列中,与“首末”两项“等距离”的两项的和是“首末”两项的和,也就是若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q均为正整数).
老师:(乘胜追击)利用这个结论,思考:OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是线段AB的n等分点,则OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).
同学8:(手舞足蹈)“倒序相加法”
令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1
两式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).
教室里响起经久不息的掌声!
老师: (总结)好!请同学们回顾这节课的内容,用一句话语进行总结:
学生8:“数学是自然的,数学是清楚的,数学是严谨的”.
在突出“能力”考查的今天,强调能力决不意味着可以忽视基础知识、基本技能和基本思想方法,对“三基”的考查仍是高考的基调之一.因此,高三数学教学必须按《考试说明》对知识内容的不同层次要求,全面系统地复习,切实抓住“三基”的教与学,让学生真正理解掌握,形成知识网络,融会贯通,举一反三.此题融合了多种数学思想和方法,是高三复习的绝佳素材.
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一道典型的好题就是一道营养丰富的“滋补大餐”,我们应该细细咀嚼、美美品味,充分地消化吸收,上挂下联、左右逢源、前后呼应、触类旁通、引申拓展,使其教育教学功能发挥到淋漓尽致!绝不能就题论题,造成了资源的浪费与复习效果的低下.下面就一道平面向量习题谈高三复习,供大家参考.
例如图1,P,Q为线段AB的三等分点,用OA,OB表示OP,OQ.
分析由题知AP=12PB,要用OA,OB表示OP,只需把AP,PB全部用OA,OB,OP表示,再分离
出OP即可.
事实上,因为AP=12PB,所以OP-OA=12(OB-OP),
从而得OP=23OA+13OB.(1)
老师:(引申1)若AP=λPB(λ≠-1),能否用OA,OB表示OP呢?
学生1:依照上题的思路,同样由OP-OA=λ(OB-OP)得OP=11+λOA+λ1+λOB.(2)
老师: AP=λPB说明A、P、B三点的位置关系如何?
学生2:三点共线.
老师:(引导启发)观察(1)、(2)中OA,OB的系数,你发现什么规律?
学生3: 很自豪地举手回答系数之和等于1,同学们报以热烈的掌声!
老师:老师故作深沉,是不是一种巧合?能否推广?请同学们思考,推理之后给出答案.
学生4:(黑板推演)O为平面内任一点, 由A、B、P三点共线,
可设AP=tAB,则OP-OA=t(OB-OA).
所以OP=(1-t)OA+t
OB,令m=1-t,n=t.
即OP=mOA+nOB(m+n=1(m,n∈R)).同学4对同学3的回答给于严格的推理,说明这个结论是数学的,数学的就得严谨.
老师:(追问)反过来成立吗?请同学们再思考给出严格的推理.(推演略)
若为同一平面内两个不共线的向量e1,e2,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=λ1e1+λ2e2.
老师:这就是赫赫有名的“平面向量基本定理”,它说明平面内的向量分解的唯一性.平面向量基本定理是向量共线定理的推广,事实上,平面向量基本定理又可推广到空间向量基本定理,即任一空间向量可用不共线的三个非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的.这三个定理都可以看成向量分解的唯一性,只不过范围不同而已.
老师: 若不共线的一组基底取平面直角坐标系中x轴、y轴正方向的单位向量i,j,a用i,j表示会出现怎样的结果呢?这个问题我们下节课继续研究.接下来请同学们继续思考
老师:OQ如何用OA,OB表示?OP+OQ结果如何?
同学5:(很轻松的给出结论)OQ=13OA+23OB,OP+OQ=OA+OB.
老师:当点P,Q为线段AB的三等分点时,有OP+OQ=OA+OB,
如果A1、A2、A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,你能够得到什么结论?思考之后老师给出推导:
OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).
因为OAk=OA+AAn-k=OA+n-knAB=OA+AB-knAB=OB-knAB,
所以OAk+OAn-k=OA+OB(k=1,2,…,n-1).
老师:上述结论,你会联想到等差数列的什么性质?
同学7:(很欣然地)在等差数列中,与“首末”两项“等距离”的两项的和是“首末”两项的和,也就是若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,q均为正整数).
老师:(乘胜追击)利用这个结论,思考:OA=a,OB=b,A1,A2,…,An-1(n∈N,n>1)是线段AB的n等分点,则OA1+OA2+…+OAn-1=(a+b).
同学8:(手舞足蹈)“倒序相加法”
令M=OA1,+OA2+OA3+…+OAn-2+OAn-1,又M=OAn-1+OAn-2+OAn-3+…+OA2+OA1
两式相加得2M=(OA1+OAn-1)+(OA2+OAn-2)+…+(OAn-2+OA2)+(OAn-1+OA1)=(n-1)(OA+OB)即M=n-12(OA+OB).
教室里响起经久不息的掌声!
老师: (总结)好!请同学们回顾这节课的内容,用一句话语进行总结:
学生8:“数学是自然的,数学是清楚的,数学是严谨的”.
在突出“能力”考查的今天,强调能力决不意味着可以忽视基础知识、基本技能和基本思想方法,对“三基”的考查仍是高考的基调之一.因此,高三数学教学必须按《考试说明》对知识内容的不同层次要求,全面系统地复习,切实抓住“三基”的教与学,让学生真正理解掌握,形成知识网络,融会贯通,举一反三.此题融合了多种数学思想和方法,是高三复习的绝佳素材.
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