对课本一道例题解法的反思

李国强

在数学必修4第一章1.4.2节中求三角函数周期的例题2（课本34页）中，开始时总觉得学生有点难理解，当时问了旁边的学生，学生确实同感。后来必修4学完后，经过反思，我对三角函数求周期的问题也有了进一步的了解与认识。现在和大家一起分享我的反思过程。

学习三角函数的图象后，不难发现三角函数值及其图象具有“周而复始”的变化规律，如下图所示的正弦函数和余弦函数的图象y=sinx，x∈R，y∈cosx，x∈R.

通过函数图象我们可以观察到每隔2kπ（k∈Z）个单位，函数图象以及函数值都会重复出现，根据周期函数的定义知：而对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得当x取定定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就是周期函数，而T就是这个函数的周期，所以正弦函数和余弦函数也是周期函数.

三角函数的周期性是三角函数最基本、最重要的性质之一。在必修4第一章1.4.2节中的例题2中就是有关求三角函数周期的例题。下面是摘自课本原题的一个小题。

课本（必修4）第34页求下列函数的周期。

例2 （2） y=sin2x，x∈R，

解：∵sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin2x，

∴由周期函數的定义可知，原函数的周期为π

接触周期函数的高一学生来说难度有点大。

那么有没有什么更好的更容易理解的且又符合我们现有的知识水平的解法呢？笔者总结出了以下三种方法.

一、代换法

课本（必修4）34页求下列函数的周期。

例2 （2） y=sin2x，x∈R.

解：设u=2x，∴y=sinu.∴由正弦函数定义可知sin（u+2kπ）=sinu，即sin（2x+2kπ）=sin2x.

对于以上运用的这种解法，紧扣正弦函数的性质及周期函数的定义，较好地应用了课本所学的知识，使学生能够更好地理解和运用课本知识，做到现学现用，能更好地加深印象，同时也符合学生现有的知识水平。不至于让学生陷入迷惑之中，该种方法较为简单，它用代换的方法把求类似正弦函数周期的问题转化为学生所熟悉的求正弦函数的周期上。既利于理解又可以加深对三角函数周期的理解。

同时还可以从周期函数的定义入手，“对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就是周期函数，而T就是这个函数的周期（解法如下）。

二、定义法

课本（必修4）第34页求下列函数的周期。

例2 求y=sin2x，x∈R的周期及最小正周期。

三、公式法

课本（必修4）第34页求下列函数的周期。

综合以上三种方法，我觉得代换法和定义法可能更适合于作为课本例题的解答，因为它能更好地与课本知识、定义相结合，也更能符合我们的实际知识结构。所以在学完整个章节后我回过头来想了想当时学习时的困惑，同时在与学生的沟通下我总结了这

几种方法。这其实就是一种反思的过程，就像我们平时，每做一件事可能我们事先不是很清楚，但事后只要我们努力地去反思，其实很多事情可以做得更好。

（作者单位 福建省石狮石光华侨联合中学）